正反比例、比例尺与解比例

第4讲 正反比例、比例尺与解比例第一部分 旧知回顾 1.比的含义、各部分名称、读写及求比值化简比的方法。 2.比与分数、除法的关系 3.按一定的比进行分配的应用。 （1）按一定的比进行分配的问题的解决方法。 （2）用按一定的比进行分配的方法计算；（2）用比的意义进行计算。 （3）基本题型： 已知总量及部分量的比，求部分量。 已知其中一个部分量及两个部分量间的比的关系，求另一个部分量和总量。 已知两个部分量的差及这两个部分量的比，求这两个部分量及总量。 （4）较复杂的题型： 把间接的分配量转化为直接的分配量。把隐蔽的分配量转化成明显的分配量。 把比转化成分率。 将部分分量的比转化为所有分量的比。第二部分 新知梳理 1.生活中存在的变量问题 2.正、反比例的异同点相同点不同点特征关系式正比例关系都有两种相关联的量，都是一种量随着另一种量的变化而变化相对应的两个量的比值（商）一定=（一定）反比例关系相对应的两个量的乘积一定xy=(一定） 3.判断两种量成正比例、反比例或不成比例的方法 不是相关联的量 不成比例 两种量 相对应的量的比值一定 成正比例 是相关联的量 相对应的量的乘积一定 成反比例 相对应的量的乘积和商都不是一个定值 不成比例4.图形的放大与缩小（1）保持物体的图像（或图形）原来的形状不变而使物体的图像（或图形）变小/变大，叫做缩小/放大。（2）图像（或图形）缩小/放大后所得到的图像（或图形）与原来图像（或图形）相比，形状相同，图像（或图形）变小/变大。 5.比例尺 意义：图上距离和实际距离的比叫做比例尺。 类型：分类标准类别说明举例按功能分类缩小比例尺把实际距离按一定的比缩小1:100，图上距离1厘米表示实际距离100厘米。放大比例尺把实际距离按一定的比扩大10:1，图上10厘米代表实际距离1厘米。按表现形式分类数值比例尺用数字形式表示比例尺1:2000，图上1厘米代表实际距离2000厘米。线段比例尺用标注有数量关系的线段表示实际距离0 30 60km,图上1厘米代表实际距离60km。 6.比例与解比例（1）比例的意义：表示两个比相等的式子。如：a:b=c:d，其中a与d叫做比例的外项，b与c叫做比例的内项。（2）比例的性质：比例的外项之积等于比例的内项之积。（3）解比例：运用比例的性质求出比例中的未知数x的值叫做解比例。第三部分 能力点拨 能力1 认识生活中相互依存的变量问题例题1.下表是小明的体重随年龄的变化情况，回答各题。年龄出生时6个月1周岁2周岁6周岁10周岁体重/千克3.57.010.014.021.031.5 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说小明10周岁前的体重是如何随着年龄的增长而变化的？例题2.笑笑有一本故事书，在看书之前，她做了一个计划，如下表所示：看的天数1234.看的页数306090120.（1） 看所列的表格中，（ ）和（ ）是相关联的量，看的页数的多少是随着（ ）的变化而变化的。（2） 看的天数与看的页数两种量中相当应的两个数的比值都是（ ）。能力2 巧用路程比解决行程问题例题：甲、乙、丙进行200米赛跑（他们的速度保持不变），甲到终点时，乙还差20米，丙离终点还有25米，问乙到达终点时，丙还差多少米才到达终点？能力3 正比例的意义例题：一辆汽车行驶的速度是每小时90千米，汽车的行驶时间和路程如下表所示，把下表填写完整。从表中你发现什么规律？时间/时12345678路程/千米90180270 我发现的规律是： 。能力4 判断两种量是否成正比例的方法例题：判断下面各题中的两种量是否成正比例，并说明理由。（1） 每袋大米的质量一定，大米的总质量与袋数。（2） 一个人的身高和年龄。（3） 宽一定，长方形的周长与长。（4） 正方形的边长与周长。能力5 用设数法判断两种量是否成正比例例题：圆的面积和半径是否成正比例？能力6 认识正比例的图像问题例题：已知一辆汽车每小时行驶70千米，完成下表：时间/时0 123456789.路程/千米 （1）根据上表的数据完善下图，并在图中描出各点，说出各点的含义（纵轴表示路程，每格代表70千米，横轴表示时间，每格代表1小时）。 （2）根据表中的数据判断时间与路程成什么比例？并说明理由。 （3）连接表中的各点，你发现了什么？ 能力7 用正比例关系解决实际问题例题：小明用弹簧秤称量物体的体重，一次称3千克的黄瓜时，弹簧长12.75厘米，称5千克的西红柿时，弹簧长13.25厘米。在没有称物体时，弹簧长多少厘米？能力8 反比例的意义例题：一个平行四边形的面积是128cm2，请把下面的表格填写完整。从表中的数据来看，你发现什么规律？平行四边形的底/cm1286432168421平行四边形的高/cm1 我发现的规律是： 。能力9 判断两种量是否成反比例的方法例题：判断下面各题中的两种量是否成反比例，并说明理由。 （1） 三角形的面积一定，它的底和高。（2） 比值一定，比的前项和后项。（3） 比赛的路程一定，比赛所用的时间与速度。能力10 用推理的方法解决判断是否成比例的问题 例题：当行驶的路程一定时，车轮的直径和它转动的圈数是否成比例？成什么比例？ 能力11 认识反比例的图像问题例题：用X,Y表示面积为24平方厘米的长方形相邻的两条边长，完成下表：X/cm1234681224.Y/cm (1)根据上表的数据完善下图，并在图中描出各点，说出各点的含义（纵轴表示Y，横轴表示X，每个正方形的边长为1厘米）。 （2）根据表中的数据判断X与Y成什么比例？并说明理由。 （3）连接表中的各点，你发现了什么？ 能力12 用列表法解决图形放缩后周长与面积的变化问题例题： 把一个长5厘米、宽3厘米的长方形各边放大到原来的3倍，它的周长和面积各发生了怎样的变化？ 能力13 比例尺的应用1. 已知比例尺和图上距离，求实际距离例题：在比例尺是1:的地图上，量得南京到北京的距离约是15厘米。南京到北京的实际距离大约是多少千米？2. 已知比例尺和实际距离，求图上距离例题：一个长方形的操场，长110米，宽90米。将它按比例尺画在图纸上，长和宽各应画多少厘米？能力14 利用线段比例尺求实际距离 0 30 60千米例题：在比例尺为 的地图上，量得上海和广州相距约38厘米，两个城市的实际距离是多少千米？能力15 用抓住不变量的方法解比例尺的变换问题例题：在比例尺是1:的地图上，量得甲、乙两个城市间的图上距离是7厘米，如果画在比例尺1:的地图上，甲、乙两个城市之间的图上距离是多少厘米？能力16 运用比例的性质求未知数x例题：求下列各题的未知数x。（1） ：(x-6)=：6 （2）=4:15 （3）2:(5-x)=3:(x+5)1、 填空题1. 圆柱的高一定，体积和底面积成（ ）。2. 单价一定，总价和数量成（ ）。3. 长方形的长一定，（ ）和（ ）成正比例。4. 除数不变，（ ）和（ ）成正比例。（没有余数）5. 圆的周长和（ ）成（ ）比例。6. 总价一定，购买练习本的本数和单价成（ ）比例。7. 用油的总量一定，每天的用油量和用油的天数成（ ）比例。8. a:b=c(a,b,c均不为0），如果c一定，a与b成（ ）比例；如果a一定，b与c成（ ）比例；如果b一定，a与c成（ ）比例。9. =（x,y不为0），x和y成（ ）比例。10. 在一个比例式中。两个外项都质数，它们的积是22，一个内项是这个积的，这个比例式可以是（）。 11.一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是，另一个外项是（）。12.比例尺=（ ）：（ ）。13.在比例尺是1:的地图上，图上距离1厘米表示实际距离（ ）千米，甲、乙两地的实际距离是60千米，在这幅地图上的图上距离为（ ）厘米。14.一个机器零件长6毫米，按10:1的比画在图纸上，要画（ ）毫米。 15.如果学校平面图的比例尺是1:1000，在图上量得操场长30厘米，操场的实际距离长是（ ）米。 16.如图是一幅地图的比例尺，图上1厘米代表实际距离（ ）千米，改写成数值比例尺是（ ）。 0 80 160千米17.一个精密零件，实际长5毫米，在一幅设计图上量得它的长是10厘米，这幅地图的比例尺是（ ）。二、选择题1.表示x和y成正比例关系的是（ ）。 A.x-y=4 B.x+y=10 C.x=3y2. 甲数是乙数的，甲数与乙数（ ）。 A.成正比例 B.不成比例 C.成反比例3.走路的速度一定，（ ）和所用的时间成正比例。 A.总路程 B.时间 C.每小时走的路程4. 表示不是正比例关系的式子是（ ）。 A.=k（k一定） B.xy=k(k一定） C.x=yk(k一定）5.圆锥的体积一定，底面积和高（ ）。 A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例6. 方砖的面积一定，用砖的块数和铺地的面积（ ）。 A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例7. 飞机的速度一定，飞行的时间与路程（ ）。 A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例8. 表示c和a成反比例的式子是（ ）。 A.c+a=0 B.ca=15 C.c=a9. 比例尺1:表示实际距离是图上距离的（ ）。 A. B.倍 C.5倍 10.在一幅地图上量得北京与莫斯科相距20厘米，两个城市的实际为5800千米，这幅地图的比例尺是（ ）。 A.1：290 B.20厘米：5800千米 C.1:三、判断题1.已知3x=5y,则x和y成正比例。 （ ）2. 三角形的底一定，三角形的面积和它的高成正比例。 （ ）3. 成正比例的两种量，一种量扩大，另一种量也随着扩大。 （ ）4. 一堆货物，运走的与剩下的成正比例。 （ ）5.实际距离一定，比例尺越大，图上距离越长。 （ ）6.在一幅平面图上，用4厘米表示40千米的距离，这幅平面图的比例尺是1:10000。（ ）。7.比例尺中，图上距离与实际距离的比一定小于1。 （ ） 四、求未知数(1) 6.5：x3.25：4 (2) (3) 五、解答题1.淘气购买苹果的质量和应付的钱数如下表所示。质量/千克 5 4320.5应付的钱数/元108641（1） 表中的质量和应付的钱数是如何变化的？（2） 用x表示购买苹果的质量，用y表示应付的钱数，你能用式子表示出购买苹果的质量x和应付的钱数y之间的关系吗？2.右面方格纸上的“点”表示轮船的航行速度。 （1）观察右图中的数据把下表填写完整。时间/小时012345678路程/千米（2）时间和路程成什么比例关系？为什么？ （3）不计算，看图回答：这艘轮船2.5小时行驶了多少千米？8小时能行驶多少千米？3.学校新建一座大楼，长是150米，画在平面设计图上的长是25厘米，宽是15厘米。（1）学校新建大楼平面设计图的比例尺是多少？（2）新建大楼占地多少平方米？ 六、解答下列各题1. 甲、乙两地相距8000米，小刚和小强同时从甲地出发到乙地，小刚和小强的速度比是4:3，小刚到达乙地时，小强离乙地还有多少米？2. 有甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，当甲齿轮转2圈时，乙齿轮转3圈，丙齿轮转4圈，这三个齿轮的齿数之比是多少？3. 甲、乙两人同时从A地到B地，若两人都匀速行进，甲用4时走完全程，乙用6时走完全程。则当乙所剩路程是甲所剩路程的4倍时，它们已经出发了多少小时？4. 公路边上有一块直角三角形的草坪，草坪的平面图如下，直角边AB实际长16米，这块草坪的实际面积是多少