第二节-函数极限的定义

1,高等数学,北邮世纪学院基础部,华卫兵,2,2.2函数的极限,3,(复习),数列xn=f(n)可看成自变量为n的函数,定义域为N+.,数列xn的极限为a即当n时，对应函数值f(n)无限接近于确定的数a。,函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限。,4,三种情形时函数的极限：自变量趋于有限值(xx0)时,对应函数值的变化情形；(2)自变量从单侧趋于有限值(xx0)时,对应函数值的变化情形；自变量的绝对值无限增大(x)时,对应函数值的变化情形。,5,人影长度,考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度为H。由日常生活知识知道，当此人直向目标时，其影子长度越短，当人越来越接近终点（数学上如何描述）时，其影子的长度逐渐趋于0（数学上如何描述）。,6,1、xx0时,f(x)的极限,问题1：函数y=f(x)在xx0的过程中，对应函数值f(x)无限接近于确定值A。,引例,在x=1时，g(x)有定义，f(x)无定义，如图可知，当x从左从右无限趋近于1时，g(x)与f(x)都无限接近于2。,问题2:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,7,定义,设f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的e0,总存在d0,使得当0|x-x0|d,恒有|f(x)-A|X时，恒有|f(x)-A|成立，则称x趋于无穷大时函数f(x)以A为极限。记为：,定义,“-X”定义,x+及x-情形,31,任意给定,存在,32,33,例12,这就是说,34,证对于任意正数,这就是说,35,所以结论成立.,证对于任意正数,可取,36,定理1(惟一性),证不妨设以及,由极限的定义，对于任意的正数,(1),37,(2)式均成立，所以,(1)式与,一的.,(2),38,定理2（局部有界性）,证,由此得,有界.,这就证明了在某个空心邻域上有界.,39,注：,试与数列极限的有界性定理作一,(2)有界函数不一定存在极限；,说明定理中“局部”这两个字是关键性的.,比较；,40,定理3（局部保号性）若,则对任何正数,由此证得,41,定理3,推论,42,4、子列收敛性(函数与数列极限的关系),定理4,证：,43,例如:,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,44,例15,证,二者不相等,45,在点x0的极限也存在,并有,46,所以,例题选讲,47,例2,特别又有,48,例3求当x时，下列函数的极限解：由此可见，求x时函数的极限与求数列的极限的方法是相同的。,49,例4求下列极限解：,50,求极限的一般方法直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0)约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g(x0)有意义，则函数极限极限为g(x0)。有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得g(x0)有意义，则极限为g(x0)。若x，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可