（新课标）高考数学复习第二章函数第13讲函数模型及函数的综合应用导学案新人教A版.docx

第13讲函数模型及函数的综合应用【课程要求】1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用3会运用函数的知识和函数思想解决有关函数的综合性问题，培养学生分析问题和解决问题的能力对应学生用书p33【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(3)不存在x0，使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yx(0)的增长速度()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()答案 (1)(2)(3)(4)(5)2必修1p102例3某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A收入最高值与收入最低值的比是31B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为802060(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为(406030305060)45(万元)，故D错误答案D3必修1p104例5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件解析利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案184必修1p107A组T4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_解析设隔墙的长度为x(0x0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调_递增_单调_递增_单调_递增_增长速度越来越快越来越慢相对稳定图象的变化随x增大逐渐表现为与_y_轴平行随x增大逐渐表现为与_x_轴平行随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn400时，y60000100x20000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元答案300(2)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有L，则m的值为()A5B8C9D10解析5min后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln，f(t)a，因此，当kmin后甲桶中的水只有L时，f(k)aa，即，k10，由题可知mk55.答案A(3)如图，矩形ABCD的周长为8，设ABx(1x3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN1，当N沿ADCBA在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数yf(x)的图象大致为()解析由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形因为矩形ABCD的周长为8，ABx，则AD4x，所以yx(4x)(x2)24(1x3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x2时，y4(3，4)，故选D.答案D小结1.构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制2谨记解决这类问题的2个关键(1)准确理解题意(有时为了叙述背景的需要，这类问题的题干有点长，因而认真审题，准确理解题意显得尤为重要)(2)根据具体情境确定相关解题策略(如给出函数图象的实际应用问题，关键在于准确识图；而指数函数、对数函数模型的实际应用问题，关键在于充分利用幂与对数的运算，以及指数函数、对数函数的图象与性质分析来解决问题)3掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数1pH值是水溶液的重要理化参数若溶液中氢离子的浓度为H(单位：mol/L)，则其pH值为lgH在标准温度和气压下，若水溶液pH7，则溶液为中性，pH7时为碱性例如，甲溶液中氢离子浓度为0.0001mol/L，其pH值为lg0.0001，即pH4.已知乙溶液的pH2，则乙溶液中氢离子浓度为_mol/L.若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为_(填中性、酸性或碱性)解析由pH2可得：lg2，即乙溶液中氢离子浓度为0.01mol/L；由乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍可得：丙溶液中氢离子浓度为51010，显然lg7，故丙溶液的酸碱性为碱性答案0.01；碱性2某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x_米解析设横段面的高为h，根据题意知，9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC，由得2x6.所以yBC2x(2x6), y26，当且仅当，即x2时取等号故所求防洪堤的腰长为2米答案23汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗10L汽油D某城市机动车最高限速80km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析根据图象知消耗1L汽油，乙车最多行驶里程大于5km，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80km/h的速度行驶时燃油效率为10km/L，行驶1h，里程为80km，消耗8L汽油，故选项C错；最高限速80km/h，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对答案D函数性质与图象的综合应用例2(1)对于函数f(x)和g(x)，设x|f(x)0，x|g(x)0，若存在，使得|1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”若函数f(x)ex1x2与g(x)x2axa3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是()A2，4 B.C.D2，3解析f(1)e11120，则f(x)ex1x2的零点为1，因为f(x)ex1x2与g(x)x2axa3互为“零点相邻函数”，设g(x)x2axa3的零点为t，所以|1t|1，则0t2，如图所示，由于g(x)x2axa3必过点A(1，4)，所以要使g(x)x2axa3的零点在0，2上，则g(0)g(2)0或解得2a3.故选D.答案D(2)已知函数f(x)2x12x3与g(x)xx1的零点分别为x1，x2，h(x)且h(x3)，则x1，x2，x3的大小关系为()Ax1x2x3Bx1x3x2Cx2x3x1Dx3x1x2解析由f(x)2x12x30得2x12x3，即2x4x6，作出函数y2x与y4x6的图象，由图象知两个图象交点的横坐标x1满足2x11，由g(x)xx10得x1x，作出yx1和yx的图象，由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2x23，作出h(x)和y的图象，由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1x32，综上x1，x2，x3的大小关系为x1x3x2，故选B.答案B小结1.函数图象可以全面地反映函数的性质，其中画图、识图、用图是考查数学素质和数学能力的重要途径，为此，必须掌握画图的基本方法(描点法与变换法)，熟悉基本初等函数的图象，并会灵活应用2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)中，单调性是重中之重，也是高考考查的重点和热点3熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数的性质、图象和特点，是应用函数思想解题的基础，善于挖掘隐含条件，构造出恰当的函数解析式并能合理地运用函数图象和性质是应用函数思想解题的关键4已知函数f(x)是奇函数，当x0且a1)对x恒成立，则实数a的取值范围是_解析由已知得当x0时，f(x)x2x，故x22logax对x恒成立，即当x时，函数yx2的图象不在y2logax图象的上方，由图(图略)知0a1且2loga，解得a1.答案a15已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，则方程f(x)g(x)在区间5，1上的所有实根之和为()A7B8C9D10解析f(x)且f(x2)f(x)，f(x)是周期为2的函数又g(x)，则g(x)3，易知两个函数都关于(2，3)对称，画出f(x)与g(x)的图象如图所示由图象可得：yf(x)和yg(x)的图象在区间5，1上有3个交点，设为A，B，C，其横坐标分别为x1，x2，x3，且x1x2x3，由图易知点A，C关于点(2，3)对称，所以x1x34，又显然x23，所以x1x2x37，故方程f(x)g(x)在区间5，1上的所有实根之和为7.答案A函数与不等式的综合问题例3(1)已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0|x1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0Bf(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)0Df(x1)f(x2)0解析函数f(x)的图象如图所示：且f(x)f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数又0|x1|f(x1)，即f(x1)f(x2)0.答案D(2)若函数yf(x)，xM对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数，都有af(x)f(xT)恒成立，此时T为f(x)的类周期，函数yf(x)是M上的a级类周期函数，若函数yf(x)是定义在区间0，)内的3级类周期函数且T2，当x0，2)，f(x)函数g(x)2lnxx2xm，若x16，8，x2(0，)，使g(x2)f(x1)0成立，则实数m的取值范围是()A.B(，12C(，39 D12，)解析根据题意，对于函数f(x)，当x0，2)时，f(x)分析可得：当0x1时，f(x)2x2，此时f(x)的最大值f(0)，最小值f(1)，当1x2时，f(x)f(2x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，则此时有f(x)，又由函数yf(x)是定义在区间0，)内的3级类周期函数，且T2，则在x6，8)上，f(x)33f(x6)，则有f(x)，则f(8)27f(2)81f(0)，则函数f(x)在区间6，8上的最大值为，最小值为；对于函数g(x)2lnxx2xm, g(x).可得：在(0，1)上，g(x)0，函数g(x)为增函数，则函数g(x)在(0，)上有最小值g(1)m，若x16，8，x2(0，)，使g(x2)f(x1)0成立，必有g(x)minf(x)max，即m，得m的取值范围是(，39答案C小结1.利用函数求最值是函数应用题中的常见题型，其方法是，先建立目标函数，同时指出函数的定义域，然后根据函数式的结构特点，采用适当的方法求出最值或取得最值的条件2分段函数应用题是近几年高考的热点问题，凡是自变量取值有限制条件，而且在不同的区间上函数取值方法不同时，一般要使用分段函数使用分段函数必须注意区间端点值，要注意凡定义域内的点要做到“不重不漏”端点放在哪个区间要视实际问题而定，若在相邻区间上均可定义时，一般放在左端点6已知关于x的函数f(x)(tR)的定义域为D，若存在区间a，bD，使得f(x)的值域也是a，b，则当t变化时，ba的最大值为_解析首先观察到函数f(x)1t为定义域内的增函数；则有：得到f(x)x，则x2(1t)xt20.那么：ba.答案7已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCbacDbc0时，f(x)0，从而g(x)xf(x)是R上的偶函数，且在0，)上是增函数，ag(log25.1)g(log25.1)，20.82，又45.18，则2log25.13，所以020.8log25.13，g(20.8)g(log25.1)g(3)，所以bac.故选C.答案C函数与方程的综合问题例4(1)已知函数yf(x)是定义域为R的偶函数.当x0时，f(x)若关于x的方程f(x)2af(x)b0(a，bR)，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是_解析作出f(x)的图象如下，又函数yf(x)是定义域为R的偶函数，且关于x的方程f(x)2af(x)b0，a，bR有且仅有6个不同实数根，x2axb0的两根分别为x1，1x2或0x11，1x2，由韦达定理可得x1x2a，若x1，1x2，则a，即a，若0x11，1x2，则1a，即a1，从而可知a或a0.若在区间(0，9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_解析作出函数f(x)，g(x)的图象，如图：由图可知，函数f(x)的图象与g(x)(1x2，3x4，5x6，70)，两点(2，0)，(1，1)连线的斜率k，k，综上可知，满足f(x)g(x)在(0，9上有8个不同的实数根的k的取值范围是.答案小结解决含有参数的动函数的常见方法有：1参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题；2对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合；3零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；4掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；5数形结合思想8设fn1xx2xn，其中nN，n2，则函数Gnfn2在内的零点个数是()A0B1C2D与n有关解析先利用导数判断fn在上单调递增，再利用零点存在定理可得结果由fn12x3x2