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文档简介

第四章矩阵分解,本章主要介绍QR分解、满秩分解、奇异值分解。这些分解在计算数学、最优化问题中都扮演着十分重要的角色，尤其是QR分解所建立的QR方法，它对数值代数理论的发展起着关键的作用。,第一节矩阵的满秩分解,一.矩阵的满秩分解,定义设,若存在矩阵及,使得，则称其为A的一个满秩分解.,定理4.3任何非零矩阵均存在满秩分解,注：满秩分解不唯一,例求下列矩阵的满秩分解.,第二节矩阵的QR分解,定义如果方阵可以分解成一个酉（正交）矩阵与一个复（实）上三角矩阵的乘积，即A=QR，此式称为A的一个QR分解.,矩阵的分解在数值代数中起着重要作用，它为计算特征值的数值方法提供了理论依据，并且是求解线性方程组的一个重要工具.,定理4.6如果阶方阵非奇异，则存在酉（正交）矩阵Q和复（实）的正线（主对角元素全为正实数）上三角矩阵R，使得A=QR.且除相差一个对角元的模（绝对值）全等于1的对角阵因子外，分解式是唯一的.,推论1设矩阵，则存在n阶酉（正交）矩阵Q和r阶复（实）的正线上三角矩阵R使得,推论2设A是n阶实对称矩阵，则存在正线上三角矩阵R，使得.,例用Schmidt正交化方法求的QR分解.,
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