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数列的单调性(1)一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫作递增数列(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫作递减数列(3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列(4)如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫作常数列典例已知数列an的通项公式为an，画出它的图像，并判断增减性解图像如图所示，该数列在1,2,3,4上是递减的，在5,6，上也是递减的利用数列的图像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性典例已知数列an的通项公式an，试判断该数列的增减性解an1an.因为nN，所以1n2n0，所以an1an0，即an1an.故该数列为递减数列应用函数单调性判断数列增减性的方法(1)作差法，将an1an与0进行比较；(2)作商法，将与1进行比较(在作商时，要注意an0)题点一：求数列的最大(小)项1已知数列an的通项公式an(n1)n(nN)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解：法一：假设数列an中存在最大项an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.故a1a2a3a11a12，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9a10.法二：假设数列an中有最大项，并设第k项为最大项，则对任意的kN且k2都成立即解得9k10.又kN，数列an中存在最大项是第9项和第10项，且a9a10.题点二：由数列的单调性求参数问题2已设数列an的通项公式为：ann2kn(nN)，若数列an是单调递增数列，求实数k的取值范围 .解：法一：数列an是单调递增数列，an1an0(nN)恒成立又ann2kn(nN)，(n1)2k(n1)(n2kn)0恒成立即2n1k0.k(2n1)(nN)恒成立而nN时，(2n1)的最大值为3(n1时)，k3.即k的取值范围为(3，)法二：结合二次函数yx2kx的图像，要使an是递增数列，只要a1a2即可，即1k3，所以k的取值范围为(3，)题点三：数列与函数的综合应用3已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明数列an是递减数列解：(1)f(x)2x2x，f(log2an)2n，2log2an2log2an2n，an2n，a2
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