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江苏省无锡市2012届高三上学期期末考试试卷 数学 2012.1一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在答题卡的相应位置上1. 已知复数(是虚数单位),则复数的虚部为 2. 已知集合,则 3. 不等式的解集为 4. 已知函数在单调递增,则的取值范围为 5. 随机抽取某产品件,测得其长度分别为,若,则如右图所示的程序框图输出的 6. 函数()的周期为,且函数图象关于点对称,则函数解析式为 7. 对于直线,和平面,有如下四个命题:(1) 若,则 (2) (2)若,则(3) 若,则 (4) 若,则其中正确命题的序号是 8. 直线与圆相交于,两点,若,则的取值范围是 9. 命题:已知椭圆,是椭圆的两个焦点,为椭圆上的一个动点,过作的外角平分线的垂线,垂足为,则的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题:已知双曲线,是双曲线的两个焦点,为双曲线上的一个动点,过作的 的垂线,垂足为,则的长为定值.10. 设是等比数列的前项和,成等差数列,且,则 11. 已知中,则面积的最大值为 12. 设点在平面区域中均匀分布出现,则双曲线的离心率满足的概率为 13. 设点是的三边中垂线的交点,且,则的范围是 14. 设函数,其中,对于任意的正整数(),如果不等式在区间有解,则实数的取值范围为 二、解答题:本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知,.(1) 若,求的值;(2) 求的值.16.(本小题满分14分)如图,在正方体中,、分别是,的中点.求证:(1)平面;(2) 设是过的任一平面,求证:平面.证明:(1)取CD的中点记为E,连接NE,AE由N,E分别为CD1与CD的中点可得NED1D且NE= D1D,又AMD1D且AM= D1D,所以AMEN且AM=EN,即四边形AMNE为平行四边形,所以MNAE,又AE平面ABCD,所以MN平面ABCD(2)由AG=DE,BAG=ADE=90,DA=AB可得EDAGAB所以AGB=AED,又DAE+AED=90,所以DAE+AGB=90,所以AEBG,又BB1AE,所以AE平面B1BG,又MNAE,所以MN平面B1BG17. (本小题满分14分)如图,是单位圆上的两个质点,点坐标为,质点以弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动;质点以弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动,过点作轴于,过点作轴于BAyxO(1) 求经过秒后,的弧度数;(2) 求质点、在单位圆上第一次相遇所用的时间;(3) 记的距离为,请写出与时间的函数关系式,并求出的最大值. 18.(本小题满分16分)已知长轴在轴上的椭圆的离心率,且过点(1) 求椭圆的方程;(2) 若点为圆上任一点,过点作圆的切线交椭圆于、两点,求证:(为坐标原点).19. (本小题满分16分)已知函数在处的切线方程为,为的导函数,(,).(1) 求,的值;(2) 若存在,使成立,求的范围.20.(本小题满分16分)设数列的前项积为,已知对,当时,总有(是常数).(1) 求证:数列是等比数列;(2) 设正整数,()成等差数列,试比较和的大小,并说明理由;
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