数值计算基础习题集

数值计算基础习题集第1章 引论1、已知，求近似值的有效数字位数、绝对误差限和相对误差限。2、下列各数均为四舍五入得到，指出它们各具有几位有效数字及绝对误差限和相对误差限： (1) 6000 (2)7000.00 (3)2.0002 3、将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。(1) 2.1514 (2) 392.85 (3) 0.0039224、已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 (2) 0.296 5、已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。(1) 0.3941 (2)293.481 (3) 0.00381 6、已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。(1) 1.8921 (2) 22.351 (3) 48361 注：相对误差与有效数字的关系请使用以下定理定理：设x是准确值，x*是近似值，其中都是09十个数字之一，且。（1）若x*有n 位有效数字，则其相对误差限为。（2）若x*的相对误差限为，则x*有n 位有效数字。参考答案1、有效数字位数4位，2、（1）4位，（2）6位，（3）5位，3、（1）2.15，（2）-393，（3）0.00392，4、（1） （2）5、（1）2位 （2）3位 （3）2位6、（1）3位 （2）1位 （3）2位第2章 解线性方程组的直接法1、用高斯顺序消元法解线性方程组2、用高斯列主元消去法解线性方程组 3、用Doolittle三角分解法求解方程组 4、求矩阵的Crout三角分解 5、求矩阵的Cholesky三角分解 参考答案1、2、3、4、5、第3章 插值法与最小二乘法1、已知有y=f(x)的函数表x012y264分别使用待定系数法、Lagrange插值法、Newton插值法求其插值多项式，并给出余项。2、已知函数的一组数据：x012y10.50.2求分段线性插值函数，并计算的近似值。3、已知插值基函数，证明 ：当时，4、由下表求插值多项式，并给出余项。x12y24y -35、已知数据表：x123y3.87.210求其一次拟合多项式。6、求下列矛盾方程组的最小二乘解。 参考答案1、插值多项式：余项：2、 3、略4、插值多项式：余项：5、6、 第4章 数值积分与微分1、给出数值积分公式：确定A、B使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少？2、试确定求积公式的代数精度。3、证明Newton-Cotes系数满足4、分别用梯形公式、Simpson公式、n=4时复合梯形公式计算 5、使用龙贝格算法计算，计算到6、已知有y=f(x)的函数表如下x012y264利用数值微分三点公式计算的近似值。参考答案1、，代数精度：2次2、代数精度：3次3、提示：令f(x)=14、0.75,25/36,0.6975、，6、1第5章 常微分方程数值解法1、取h=0.1, 用改进欧拉法的预报校正公式求初值问题在x=0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数2、解常微分方程初值问题的欧拉公式为1)试用近似求积公式推导出该公式。2)证明该公式精度为一阶3) 若，取步长h=0.2，使用该公式计算的近似值。3、对初值问题试用数值积分法在区间或上对两边积分，分别导出公式梯形公式：中点公式：Simpson公式：并给出各公式的局部截断误差。参考答案1、y(0.1)y1=0.905 y(0.2)y2=0.8192、3），3、局部截断误差：梯形公式：，中点公式：，Simpson公式：第6章 逐次逼近法1、已知方程组求使用简单迭代法（Jacobi迭代法）和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵。2、已知方程1）给出一个该方程的一个不大于1的含根