数学物理方程-习题讲解汇总

习 题 讲 解习 题 讲 解 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 习题一、1习题一、1 长为长为 l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为零， 另一端有恒定热流 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为零， 另一端有恒定热流 q 进入（即单位时间内通过单位 横截面积流入的热量为 进入（即单位时间内通过单位 横截面积流入的热量为 q ), 杆的初始温度分布 为，试写出相应的定解问题。 杆的初始温度分布 为，试写出相应的定解问题。 () 2 x lx 解解由于杆内无热源，且非稳恒状态，所以温 度分布函数 由于杆内无热源，且非稳恒状态，所以温 度分布函数 u( x, t ) 应满足应满足 2 , txx ua u=0,0.xl t 其中其中 2 . k a c = 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 因为另一端有恒定热流因为另一端有恒定热流 q 进入，所以由进入，所以由Fourier 实验定律有实验定律有 , x l u kq n = = , x l u kq x = = 即即 . xx l q u k = =从而有 因为一端温度为零，所以 从而有 因为一端温度为零，所以 0 0. x u = = 又杆的初始温度分布为，所以又杆的初始温度分布为，所以 () 2 x lx 0 () . 2 t x lx u = = 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 故相应的定解问题为故相应的定解问题为 2 , txx ua u=0,0.xl t 0 0, x u = =. xx l q u k = = 0 () . 2 t x lx u = = 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 习题一、2习题一、2 长为长为 l 的弦两端固定，开始时在的弦两端固定，开始时在 x = c 处受到冲 量 处受到冲 量 k 的作用，试写出相应的定解问题。的作用，试写出相应的定解问题。 解解由于冲量的作用使弦产生振动，因此弦的 位移函数 由于冲量的作用使弦产生振动，因此弦的 位移函数 u( x, t ) 应满足应满足 2 , ttxx ua u=0,0.xl t = 由于冲量只作用在由于冲量只作用在c点上，故应取趋近于零的极限 情况。 点上，故应取趋近于零的极限 情况。 故相应的定解问题为故相应的定解问题为 2 , ttxx ua u=0,0.xl t = 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 ( )( )0.XxX x+=（1） (0)( )0.XX l= （2） 求特征值问题： 由特征值理论知，只有时方程（ ） 求特征值问题： 由特征值理论知，只有时方程（1） 才有符合条件（ ） 才有符合条件（2）的非零解。）的非零解。 0 补充作业：补充作业： 1、 解解 当时，方程（当时，方程（1）的通解为）的通解为0 ( )cossin.X xAxBx=+ 由条件（由条件（2），得），得 0,B =cos0.Al= 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 由于由于A不能为零（否则不能为零（否则 X (x)=0），所以），所以 cos0,l=,0,1,2,3,. 2 lkk =+=L即 故求得特征值与特征函数分别为 即 故求得特征值与特征函数分别为 2 21 , 2 k k l + = 21 ( )cos, 2 kk k XxAx l + = 0,1,2,3,.k =L 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 ( )( )0.XxX x+=（3） (0)( )0.XX l= （4） 由特征值理论知，只有时方程（ ） 由特征值理论知，只有时方程（3） 才有符合条件（ ） 才有符合条件（4）的非零解。）的非零解。 0 2、 解解 当时，方程（当时，方程（3）的通解为）的通解为 0= ( ).X xABx=+ 由条件（由条件（4），得），得0.B =因此因此 00 ( ).XxA= 当时，方程（当时，方程（3）的通解为）的通解为0 ( )cossin.X xAxBx=+ 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 ( )sincos.XxAxBx= + 所以 由条件（ 所以 由条件（4），得），得 0,B =sin0.Al= 由于由于A不能为零（否则不能为零（否则 X (x)=0），所以），所以 sin0,l= ,1,2,3,.lkk=L即 故 即 故2 , k k l = ( )cos, kk k XxAx l = 1,2,3,.k =L 综合以上两种情况，得特征值与特征函数分别为综合以上两种情况，得特征值与特征函数分别为 2 , k k l = ( )cos, kk k XxAx l = 0,1,2,3,.k =L 习题二，6习题二，6求定解问题求定解问题 2 , txx ua u= 0,0,xl t 0 0,0, xxxx l uu = = （1） （ ） （2） （ ） （3） 0 , t ux = = 令方程（令方程（1）具有变量分离形式的非零解）具有变量分离形式的非零解解解 ( , )( ) ( ),u x tX x T t= 代入方程（代入方程（1），得），得 ( )( )0.XxX x+= 2 ( )( )0,T taT t+=（4） （ ） （5） 又由条件（ ） 又由条件（2），得），得(0)( )0.XX l=（6） 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 ( )( )0,XxX x+=（5） (0)( )0.XX l= （6） 求特征值问题（ ） 求特征值问题（5）（）（6）, 得特征值与特征函数分别为得特征值与特征函数分别为 2 , k k l = ( )cos, kk k XxBx l =0,1,2,3,.k =L 2 ( )( )0,T taT t+= （4） 将代入方程（ ） 将代入方程（4），得），得 k 2 ( )( )0, ak T tT t l += 其通解为其通解为 2 ( ). ak t l kk T tC e = 于是得满足方程（于是得满足方程（1）与条件（）与条件（2）的一组特解）的一组特解 2 cos, ak t l k k C ex l =( , )( )( ) kkk ux tXx T t= 其中其中 . kkk CB C= 由于方程（由于方程（1）与条件（）与条件（2）都是齐次的，因此）都是齐次的，因此 2 0 cos ak t l k k k C ex l = = 0 ( , )( , ) k k u x tux t = = 仍满足方程（仍满足方程（1）与条件（）与条件（2）。）。 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 又由条件（又由条件（3），得），得 0 cos, k k k Cxx l = = 0 2 cos,0. l k xxdxk ll k C 2 0 1 2 ( , )coscos 2 ak t l l k lkk u x txxdx ex lll = =+ 故原定解问题的解为故原定解问题的解为 ,0, 2 l k = = 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 2 22 11 0, uu += 0, a ( ) a uf = = (0, ).u+ （1） （ ） （ 3 ） （ ） （ 4 ） （2） 习题二，1 7习题二，1 7 0 0,uu = = 设方程（设方程（1）具有变量分离形式的非零解）具有变量分离形式的非零解 ( , )( )( ),uR =代入方程（代入方程（1），得），得 ( )( )0.+ = 2 ( )( )( )0,RRR+= （5） （ ） （6） 又由条件（ ） 又由条件（2），得），得(0)( )0.= =（7） 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 求特征值问题（求特征值问题（6）（）（7）：）： ( )( )0.+ =（6） (0)( )0.= = （7） 得特征值与特征函数分别为 ） 得特征值与特征函数分别为 2 , k k = ( )sin, kk k B =1,2,3,.k =L k 将代入方程（将代入方程（5），得），得 2 2 ( )( )( )0, k RRR += 得得 ( ), kk kkk Rcd =+ 2 ( )( )( )0,RRR+= （5） (0, ),u+（4） 又由条件（又由条件（4），得），得(0),R + 所以所以0, k d = 故故( )(1,2,). k kk Rck =L ( )sin, kk k B = ( )1,2,. k kk Rck =L 于是得方程（于是得方程（1）适合条件（）适合条件（2）（）（4）的一组特解）的一组特解 ( , )( )( ) kkk uR =sin, k k k b = ,1,2,.k =L其中其中, kkk bB c= 1 ( , )sin k k k k ub = =因此因此 2 22 11 0, uu += ( ) a uf = = (0, ),u+ （1） （ ） （3） （ ） （4） （2） 0 0,uu = = 由条件（由条件（3），得），得 1 sin( ) k k k k b af = = 0 2 ( )sin, kk k bfd a = 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 试解出具有放射衰变的热传导方程试解出具有放射衰变的热传导方程 2 0, x xxt ua uAe += 0 . t uT = = 0 0,0, xx l uu = =已知边界条件为 初始条件为 已知边界条件为 初始条件为 解解 相应的定解问题为相应的定解问题为 2 0, x xxt ua uAe += 0 . t uT = = 0 0,0, xx l uu = = 22 1 , x txx A uue aa =+ 习题二，8习题二，8 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 0 . t uT = = 0 0,0, xx l uu = = 22 1 , x txx A uue aa =+ 原问题可分解为：原问题可分解为： 0 0 t V = = 0 0,0, xx l VV = = 22 1 , x txx A VVe aa =+ 0t WT = = 0 0,0, xx l WW = = 2 1 , txx WW a = ()() 直接利用分离变量法解问题（），得直接利用分离变量法解问题（），得 2 1 ( , )sin, k t al k k k W x tC ex l = = 0 2 sin. l k k CTxdx ll = 其中 （ 其中 （11） （ ） （12） 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 对于问题（），令对于问题（），令 1 ( , )( )sin, k k k V x tv tx l = = 2 1 sin, x k k Ak efx al = = 其中其中 2 0 2 sin. l x k Ak fexdx lal = 0 0 t V = = 0 0,0, xx l VV = = 22 1 , x txx A VVe aa =+ () （11） （ ） （12） 由方程（ ） 由方程（11），得），得 2 ( )( ), kkk k vtv tf al += (0)0. k v= 又由条件（又由条件（12），得 （ ），得 （13） （ ） （14） 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 解常微分方程初值问题（解常微分方程初值问题（13）（）（14），得），得 2 2 ( )1. k t al kk al v tfe k = 2 2 1 ( , )1sin. k t al k k alk V x tfex kl = = 故故 1 ( , )( )sin, k k k V x tv tx l = = 因此原问题的解因此原问题的解 ( , )( , )( , ).u x tV x tW x t=+ 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 2 0, x xxt ua uAe += 0 . t uT = = 0 0,0, xx l uu = = 22 1 , x txx A uue aa =+ 习题二，8习题二，8 （1） （ ） （2） （ ） （3） 解解设设u (x, t)=V (x, t )+W (x), () 22 11 ( ), x txx VVWxAe aa =+ ( )0, x WxAe += 0 0,0. xx l WW = = 为了使得关于为了使得关于V 的方程和边界条件都是齐次的，则 选取的 的方程和边界条件都是齐次的，则 选取的W (x)须满足须满足 代入方程（代入方程（1），得），得 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 解之得解之得 () 22 ( )(1)1. xl AA W xeex l = 由原定解问题得由原定解问题得 2 1 , txx VV a = 0 ( ), t VTW x = = 0 0,0, xx l VV = = 对上述问题采用分离变量法，得对上述问题采用分离变量法，得 2 1 ( , )sin, k t al k k k V x tC ex l = = 0 2 ( )sin. l k k CTW xxdx ll = 其中其中 0 0 t u = = 0 0,0, xx l uu = = 2 , txx ua uA=+ 习题二，9习题二，9 （1） （ ） （2） （ ） （3） 解解令令 1 ( , )( )sin, k k k u x tu tx l = = 1 sin, k k k AAx l = = 其中其中 0 2 sin. l k k AAxdx ll = 由方程（由方程（1），得），得 2 2 11 () ( )( ) sinsin, kkk kk akkk utu txAx lll = += 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 于是得于是得 2 ( )( ), kkk ak utu tA l += (0)0. k u= 又由条件（又由条件（3），得 （ ），得 （4） （ ） （5） 解常微分方程初值问题（ ） 解常微分方程初值问题（4）（）（5），得），得 2 2 ( )1. ak t l kk l u tAe ak = 2 2 1 ( , )1sin. ak t l k k lk u x tAex akl = = 故故 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 0 0 t u = = 0 0,0, xx l uu = = 2 , txx ua uA=+ 习题二，9习题二，9 （1） （ ） （2） （ ） （3） 解解设设u (x, t)=V (x, t )+W (x), 22 ( ), txx Va Va WxA=+ 2 ( )0,a WxA+= 0 0,0. xx l WW = = 为了使得关于为了使得关于V 的方程和边界条件都是齐次的，则 选取的 的方程和边界条件都是齐次的，则 选取的W (x)须满足须满足 代入方程（代入方程（1），得），得 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 解之得解之得 2 2 ( )(). 2 A W xxlx a = 由原定解问题得由原定解问题得 2 , txx Va V= 0 ( ), t VW x = = 0 0,0, xx l VV = = 对上述问题采用分离变量法，得对上述问题采用分离变量法，得 2 1 ( , )sin, ak t l k k k V x tC ex l = = 0 2 ( )sin. l k k CW xxdx ll = 其中其中 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 0 ( ) t ug x = = 0 , xx l uA uB = = 2 ( ), txx ua uf x=+ 习题二，1 1习题二，1 1 （1） （ ） （2） （ ） （3） 解解设设u (x, t)=V (x, t )+W (x), 22 ( )( ), txx Va Va Wxf x=+ 2 ( )( )0,a Wxf x+= 0 ,. xx l WA WB = = 为了使得关于为了使得关于V 的方程和边界条件都是齐次的，则 选取的 的方程和边界条件都是齐次的，则 选取的W (x)须满足须满足 代入方程（代入方程（1），得），得 湖南大学数学院朱郁森湖南大学数学院朱郁森 解之得解之得 ( )( ) 22 0000 ( ) (). xlff x