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数学建模试验报告（四）姓名学号班级问题：（微分方程） 讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.（2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.问题的分析和假设： 问题分析： 人口增长与国民收入增长的关系决定人均国民收入指标的变化，人均国民收入与人口增长成反比，与国民收入增长成正比。总资金增长与人口增长都满足指数增长，由题意知：国民平均收入与人口平均资金积累成正比，设此比例系数为a。在国家统计局网站查询得：2012年，我国大陆总人口数为134735万人，总资金（国内生产总值）总量为47.1564万亿元，则a的值约为1。问题假设：为t时刻总资金积累量为t时刻的人口数量为t时刻国民平均收入量为人口平均资金积累k为总资金的相对增长率r为人口的相对增长率建模： 由分析及假设可列出如下方程：一定时期后，增长的人口数量为：；总资金增长量为；由题意知： 由上述公式，微分得：所以当kr时，国民收入增加，即国民平均收入增加。列微分方程如下： 求解的Matlab程序代码：建立.M文件，lab4.m，如下：function dx=lab4(t,x)dx=zeros(3,1);k=0.093;r=0.00479;a=1;dx(1)=k*x(1);dx(2)=r*x(2);dx(3)=a*(k-r)*x(3); 主程序： t,x=ode45(lab4,2011 2100,134735 4715640000 34999.37); figure(1),plot(t,x(:,1),k*) xlabel(时间年),ylabel(总资金积累量亿元) figure(2),plot(t,x(:,2),m-) hold on xlabel(时间年),ylabel(人口总数) figure(3),plot(t,x(:,3),r+) hold on xlabel(时间年),ylabel(国民平均收入量) 计算结果与问题分析讨论：由题意和模型分析知：国民收入量呈指数增长，增长率为（k-r），则当kr时，国民平均收入量才会呈现增长趋势。总资金积累量随时间变化的图像：人口总数随时间变化的图像：国民收入量随时间变化的图像：问题分析： (1) 由图像可以看出：总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入是增长的 (2) 当人口激增时，在一定程度上，人口平均资金积累和国
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