江苏省数学教材《二次函数》单元复习--经典资料

2013版江苏省数学教材二次函数单元复习资料二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年中考热点之一。学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题；一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目。考点1：二次函数的有关概念一般的，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）的函数叫做二次函数。例m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？（1）抛物线的形状二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像是一条抛物线，当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。a和b共同决定对称轴。C决定与y轴交点。（5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值顶点式：y=a(x-h) 2+k顶点坐标（h，k），对称轴x=h, 最大（小）值k。一般式：y=ax2+bx+c顶点坐标，对称轴，最大（小）值为。考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系例1.如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h20t-5t2。考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？例2.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示. 根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是yx22x.(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?考点3：求二次函数的解析式例1.如图13，已知二次函数的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离考点4：二次函数的图象、性质在生活中的应用例1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由例2.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系（注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？例3.(2010河北中考26题)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额成本广告费）若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10a40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额成本附加费）（1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？中考最值问题探究中考压轴题中频繁出现有关最值问题，常让很多同学束手无策，望而生畏，其实解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型（函数增减性、线段公理、三角形三边关系等）进行分析与突破，现结合近年各地试题的特点进行剖析，希望能给同学一定的启示与帮助。一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建，借用线段公理求解例1（湖北荆门）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为( ) A 2 B C 1 D 2解析：PA+PB的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中，两点之间线段最短”的数学模型与原理，故可作B 关于MN的对称点是H，连接AH交MN于点P，AH的长就是PA+PB的线段之和的最小值，借助圆圆周角定理，可知根据AOH90，巧妙构造RtOAH，根据题意运用勾股定理可求出AH=，所以PA+PB的最小值为故选B。点评：本题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用，解决本题的关键做出点B或A关于MN的对称点，然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短,并借助圆心角和圆周角的关系，构造直角三角形运用勾股定理计算最小值来解决问题不管在什么背景图中，有关线段之和的最短问题，常化归与转化为线段公理“两点之间，线段最短”。而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。例2 圆锥底面半径为10cm，高为10cm，（1）求圆锥的表面积；（2）若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离。思路点拨：利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A到M的最短距离（即AM的长）。解析：（1）圆锥的母线长SA=，圆锥侧面展开图扇形的弧长，侧 ，S底=，S表= S底+ S侧= 。（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离，由（1）知，弧AA= ，又SA= AS=，SM=3AM，SM=，在RtASM中， ，所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.点评：对于立体图形中要计算圆锥曲面上两点之间的最短距离，一般把立体的圆锥的侧面展开成扇形，转化为平面图形借助线段公理计算。将立体图形转化为平面图形是初中阶段常用的基本方法与思想。二、在具体情境中最值问题，借用函数图象的增减性求解例3（山东济南）如图，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由解析：（1）由题意得，解得b=2，c=4，故抛物线解析式为y=x22x4（2）由题意得，解得，B点坐标为（4，4）将x=m代入y=x得y=m，点N的坐标为（m，m），同理点M的坐标为（m，m22m4）MN= m（m22m4）m2+3m+4（3）作BCMN于点C，则BC=4m，OP=m，S=MNOP+MNBC=2（m2+3m+4）=2（m）2+，20，当m=时，S有最大值点评：由具体情境酝酿与构建最值问题，通常有两种形式，一是在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解此类问题的关键是通过题意及现实数量关系，确定出相关函数的表达式，另一类是在几何图形中有关面积的最值问题，解这类问题关键是要掌握图形面积的求解与表示，构建相应的函数关系式，进而根据函数图象的增减性确定其最值，并注意问题的实际意义。本题涉及两函数间的距离计算，距离可能是平行于x轴的AB两点间的距离：ABx=Ax-Bx；也可能是平行于y轴的AB两点间的距离：ABy=Ay-By,在本题中还可进一步设问，求线段MN长度的最大值，这种问题在近几年各地中考中频繁出现，解这类题往往是通过用变量表示MN的长度，进而构建相应的函数模型，借助函数图象的增减性进行求解最值。三在线段之差的最值问题，借用三角形三边关系求解。例4：（贺州）如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B（1）求点A、点B的坐标（2）若点P是x轴上任意一点，求证：（3）当最大时，求点P的坐标 解析：（1）抛物线与y轴的交于点B，令x=0得y=2B（0，2）， ，A（2，3）（2）当点P是 AB的延长线与x轴交点时， 当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中， 综合上述： （3）作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PAPB最大时，点P是所求的点 作AHOP于HBOOP，BOPAHP， 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，OP=4，故P（4，0） 点评：点P为任意一点时，要探究PAPB的最大值，可数形结合，将其转化为相关图形（三角形），三边关系始终满足两边之差小于第三边（PAPBAB），而当点A、B、P在同一直线上时存在PAPBAB，此时AB为最大值，今后有关两线段之差的最大值问题，常借助“三角形两边之差小于第三边”，将其最大值转化为一条特殊（三点共线）线段的长。“三角板”与函数图象为背景的中考试题赏析三角板是学生学习数学的常用工具，一幅三角板，由于它的边和角的特殊性，蕴含丰富的数学知识，新课程实施以来，以三角板为背景的中考试题倍受命题者的青昧，大量出现在各地的中考试题中，本文从近年中考试题中以三角板与函数图象为背景的试题加以分类赏析，与读者共享。一、三角板与反比例函数图象的结合例1：（金华）如图1，将一块直角三角板放在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点的双曲线为.在轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，线段经轴对称变换后的像是。 1 点与点重合时，点的坐标是 设，当与双曲线有交点时，的取值范围是 。解析：当点与点重合时，垂直平分，则易知，点的坐标是；由图形的对称变换和含30角的直角三角形的性质易得的取值范围是：或。感悟：涉及反比例函数的问题，有一个非常实用的基本结论：如图2，从反比例函数的图象上任意一点分别作轴，垂足为，轴，垂足为，则矩形的面积=。这个基本结论揭示了反比例函数的本质（几何意义）。运用此结论，还可直接解决一些中考试题。中考链接：1.（鄂州）如图3：点在双曲线上，轴于，且的面积SAOB=2，则。2.（孝感） 如图4，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，、在轴上，若四边形的面积为矩形，则它的面积为 . 3.（遵义）如图5，已知双曲线，点为双曲线上的一点，且轴于点，轴于点，、分别交双曲线于、两点，则的面积为 。4.（东营）如图6,直线和双曲线交于、两点,是线段上的点（不与、重合）,过点、分别向轴作垂线,垂足分别是、,连结、,设面积是、面积是、面积是，则（ ） 答案：由反比例函数的几何意义易知：1，；2，矩形的面积等于2；3，的面积为：； 4，应选。二、三角板与二次函数（抛物线）的结合例2：（株洲）：孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：若测得（如图7），求的值；对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图8所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。解析：设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，又由三角板的特殊性可知，点的坐标为： (，)， 将(，)代入抛物线得，。此问解法较多，现举例如下：如图8，过点作轴于点，解法一：证和抛物线的有关知识可求得点的横坐标；解法二：由解直角三角形和抛物线的有关知识可求得点的横坐标；解法三：利用勾股定理和抛物线的有关知识可求得点的横坐标。 解法一：设（，）（），（，）（），设直线的解析式为：，得，解得，又易知， ，.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）解法二：设（，）（），（，）（），直线与轴的交点为，根据，可得，化简，得. 又易知， ， ，为固定值。故直线恒过其与轴的交点（,）。解法三： 的值也可以通过以下方法求得：由前可知，由，得：，化简，得。例3：（东营）：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点（2，0），点（1，0），如图9所示；抛物线经过点。 求点的坐标；求抛物线的解析式；在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由。解析：如图10，过点作轴，垂足为。易证，得，即点的坐标为（3，1）将点的坐标代入中，求得，即所求抛物线的解析式为：。假设存在点，使是直角三角形。即如图10，若以为直角边，点为直角顶点，则延长至点使得，得到等腰直角三角形，过作轴，垂足为。易证，即，易知点的坐标为（，），经检验在抛物线上。如图11，若以为直角边，点为直角顶点，则过点作，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，同样可证。可得点的坐标为（，1），经检验同样在抛物线上。如图12，若以为直角边，点为直角顶点，则过点作，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，同样可证。可得点的坐标为（2，3），经检验不在抛物线上。评析：例3实际上是由2010北京市密云县的一道中考试题改编而成。中考链接：（2010密云）如图13，将腰长为的等腰(是直角)放在平面直角坐标系中的第二象限，其中点在轴上，点在抛物线上，点的坐标为(1，0) 点的坐标为 ，点的坐标为 ；抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ；将三角板绕顶点逆时针方向旋转90，到达的位置请判断点、是否在(2)中的抛物线上，并说明理由。例4：(绍兴)抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点.如图14，求点的坐标及线段的长；点在抛物线上，直线交轴于点，连接.若含角的直线三角板如图15所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上，求直线的函数解析式；若含角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在直线上，另一个顶点在上，求点的坐标.。解析：把代入抛物线解析式得，即 ，为对称轴，。（2）如图15，过点分别作轴，垂足分别为，。先证四边形为矩形，再证，可得四边形为正方形。即，为等腰直角三角形，即、的坐标为，设直线的函数解析式为，求得，所求直线的函数解析式为。当点在对称轴的右侧时，如图16，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为，设点，赏析：以上试题，借助三角板和函数基本图形的基本特征出发，体现了以下特点：1.试题背景突出学科核心主干.把握数学问题的本质核心主干是数学知识的结构中的“连结点”，在上面的试题中，题目以函数图象为载体，将三角板在函数图象中的不同放置方式作为试题的基本背景，如例1将含的直角三角板放在直角坐标系中与反比例函数图象相结合设置了一个操作性的对称变换的综合性试题。例4分别将含、角的直线三角板按题中要求放置，考查了一次函数、二次函数、三角形全等和相似等初中数学的核心内容。试题的巧妙之处在于问题中的三角板为求解问题提供的数量依据。把握数学问题的本质，体现数形结合。2.试题解法基于数学活动经验，关注学生的学习过程以上试题的一个基本特点是：基于学生数学活动经验，关注“过程与方法”在获得、应用数学知识的过程中的重要作用。解决以上试题的数学活动经验主要包括2个层次：第一，来源于日常生活经验，如对的“三角板”的直接认识；第二，建立在日常生活经验基础之上的探究活动，如例2将一把含30角的直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点处旋转，探索在旋转过程中三角板与抛物线的交点的连线段总经过一个固定的点（，）。3.试题考查注重理性数学思维，体现能力立意命题理念数学不仅是一种重要的“工具”和“方法”，而是人们学习的一种思维模式。在解决以上试题的过程中，学生要通过观察