河北省2011年高考数学一轮复习-23函数的奇偶性-精品导学案.资料

用心 爱心 专心 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 2.32.3 函数的奇偶性函数的奇偶性 【高考目标定位】 一、考纲点击 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2、会运用函数图象理解和研究函数的性质。 二、热点难点提示 1、函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是明年高考考查的重点，常与函数的单调 性、周期性等知识交汇命题。 2、在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属 中、低档题。 【考纲知识梳理】 一、函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内 任意一个，都有 f(-x)=f(x)， 那么函数 f(x)是偶函数。 关于 y 轴对称 奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内 任意一个，都有 f(-x)=-f(x)， 那么函数 f(x)是奇函数。 关于原点对称 注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的-x 在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称； 2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式 化简后等于零。 二、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单 调性相反（填 “相同” 、 “ 相反” ） 。 2、在公共定义域内， （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义，则 f(0)=0. 4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；x 6、可逆性： 是偶函数；)()(xfxf)(xf 奇函数；)()(xfxf)(xf 7、等价性：)()(xfxf0)()(xfxf 用心 爱心 专心 )()(xfxf0)()(xfxf 8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；y 9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶 函数、非奇非偶函数。 【热点、难点精析】 一、函数奇偶性的判定 1、相关链接 判断函数奇偶性的一般步骤 （1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是 偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定 f(-x)与 f(x)之间的关系 若 f(-x)=-f(x)（或 f(-x) +f(x)=0） ，则为奇函数； 若 f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则 f(x)为偶函数； 若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x) f(x)且 f(-x)- f(x)，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 一些重要类型的奇偶函数 函数 f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数 f(x)=ax-a-x为奇函数； 函数 f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a0 且 a1）为奇函数； 函数 f(x)=loga()为奇函数（a0 且 a1）; 1 1 x x 函数 f(x)= loga()为奇函数（a0 且 a1） 2 1xx 2、例题解析 例 1讨论下述函数的奇偶性： );111(1)()3( ; )0)(1(1 )0(0 )0)(1(1 )()2(; 2 2116 )() 1 ( 22 2 xxogxf xxxn x xxxn xfxf x xx );0( | )()4( 22 a aax xa xf常数 解：（1）函数定义域为 R， )( 2 2116 1 4 161 211 16 1 2 2 2116 )(xfxf x xx x x x x x x xx ， f(x)为偶函数； （另解）先化简： 1441 4 116 )( xx x x xf ，显然 )(xf 为偶函数；从这可以看 用心 爱心 专心 出，化简后再解决要容易得多。 （2）须要分两段讨论： 设 );()1(1 1 1 1)1(1)( , 0, 0 xfxxn xx nxxnxf xx 设 )()1(1 1 1 1)1(1)( , 0, 0 xfxxn xx nxxnxf xx 当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f(x)=f(x)； 由、知，对 xR 有 f(x) =f(x)， f(x)为奇函数； （3） 1 01 01 2 2 2 x x x ，函数的定义域为 1x ， f(x)=log21=0(x=1) ，即 f(x)的图象由两个点 A（1，0）与 B（1，0）组成，这两点 既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数； （4）x2a2, 要分 a 0 与 a 0 时， ), 0() 0 , ( | aa aax axa 函数的定义域为 x xa xfax 22 )(, 0| ，当 a 0 时，f(x)为奇函数； , 2 , 2 , 2 )(, 0| 21 22 a x a x ax xa xfax 称的两点取定义域内关于原点对 )(,0, 0 3 3 5 3 ) 2 () 2 (xfa a f a f时当 既不是奇函数，也不是偶函数 例 2f（x）是定义在（，55，）上的奇函数，且f（x）在 5，）上单调递减，试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明 解析：任取x1x25，则x1x25 因f（x）在5，上单调递减，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2） f（x1）f（x2） ，即f（x）在（，5上单调减函数 二、分段函数的奇偶性 1、分段函数奇偶性的判定步骤 分析定义域是否关于原点对称； 对 x 的值进行分段讨论，寻求 f(X)与 f(-X)在各段上的关系； 综合（2）在定义域内 f(X)与 f(-X)的关系，从而判断 f(X)的奇偶性。 注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 2、例题解析 用心 爱心 专心 例已知函数。试判断的奇偶性 2 2 4 (0) ( ) 4 (0) xx x x f x xx x x ( )f x 分析：确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与()fx( )f x()fx 的关系结论。( )f x 解答：由题设可知函数的定义域关于原点对称。 当时，0 x 0 x 2 22 2 22 4 ( ), ()()44 (), ( )(). 0,0, 4 ( ), ()()44 (), ( )(). 0()( ) ( ) xx f x x xxxx fx xx f xfx xx xx f x x xxxx fx xx f xfx fxf x f x 则 当 则 综上所述，对于x都有成立， 为偶函数。 三、抽象函数的奇偶性 1、相关链接 判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤 利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现 f(x),f(-x)）; 巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 找出 f(X)与 f(-X)关系，得出结论。 例 1 ( )()( )( ) ( ) 3. f xxyRf xyf xf y f x f 已知函数对一切、都有。 (1)试判断的奇偶性； (2)若=a，用a表示f 12 分析：（1）判断 f(x)奇偶性，即找出 f(-x)与 f(x)之间的关系，令 y=-x,有 f(0)=f(x) +f(-x)，再想法求 f(0)即可; （2）寻找 f(12)与 f(-3)之间的关系，注意用（1）问的结论。 解答： 用心 爱心 专心 1( ) ()( )( ), 0(0)2 (0),(0)0. ,(0)( )(), ()( ),( ) f xR xyf xyf xf y xyfff yxff xfx fxf xf x 显然的定义域是，关于原点对称。 又函数对一切、都有 令，得 再令得 为奇函数。 (2)( 3)( ) (3)( 3). ()( )( ), (12)(66)(6)(6)2 (6)3 (33)4 (3)4 . faf x ffa f xyf xf y xyR fffffffa 且为奇函数， 又、， 例 2 设函数 )(xf 在 ),( 上满足 )2()2(xfxf ， )7()7(xfxf ，且 在闭区间0，7上，只有 0)3() 1 ( ff 。 （1）试判断函数 )(xfy 的奇偶性； （2）试求方程 0)(xf 在闭区间 2005,2005 上的根的个数，并证明你的结论。 解析：（1）由 )2()2(xfxf ，得函数 )(xfy 的对称轴为 2x )5() 1(ff 而 ) 1() 1 (0)5(fff ，即 )(xf 不是偶函数 又 )(xf 在0，7上只有 0)3() 1 ( ff 0)0(f 从而知函数 )(xfy 不是奇函数 故函数 )(xfy 是非奇非偶函数 （2） )7()7( )2()2( xfxf xfxf )14()4( )14()( )4()( xfxf xfxf xfxf )10()(xfxf 从而知函数 )(xfy 的周期为 T=10 又 0) 1 ()3( ff 0)9()7()13()11(ffff 故 )(xf 在0，10和 0 ,10 上均有 2 个根，从而可知函数 )(xfy 在0，2000上有 400 用心 爱心 专心 个根，在2000，2005上有 2 个根，在 0 , 2000 上有 400 个根，在 2000,2005 上没有 根。 函数 )(xfy 在 2005,2005 上有 802 个根。 四、函数的奇偶性与单调性的综合应用 例 1定义在 R 上的函数 )(xf 满足对任意 Ryx、 恒有 )()()(yfxfxyf ，且 )(xf 不恒为 0。 （1）求 ) 1 (f 和 ) 1(f 的值； （2）试判断 )(xf 的奇偶性，并加以证明； （3）若 0x 时 )(xf 为增函数，求满足不等式 0)2() 1(xfxf 的x的取值集合。 解析： （1）令 1 yx ，得 ) 1 () 1 () 1 (fff 0) 1 (f 令 1 yx ，得 ) 1() 1() 1 (fff 0) 1(f （2）令 1y ，由 )()()(yfxfxyf ，得 ) 1()()(fxfxf 又 0) 1(f )()(xfxf 又 )(xf 不恒为 0 )(xf 为偶函数 （3）由 0)2() 1(xfxf 知 )2() 1(xfxf 又由（2）知 |)(|)(xfxf )2()1(xfxf 又 )(xf 在 ), 0 上为增函数 xx21 故x的取值集合为 2 1 |xx 例 2 设是定义在上的函数，对任意，恒有。( )f xR, x yR)()()(yfxfyxf 求的值; )0(f 用心 爱心 专心 求证为奇函数; ( )f x 若函数是上的增函数，已知，求的取值范围。( )f xR2) 1()2(, 1) 1 (afaff且a 解： 令 y=x=0 得 f(0)=2f(0)f(0)=0 令 y= -x 得 f(0)=f(x)+f(-x) f(-x)= -f(x) 又函数的定义域为为奇函数R( )f x 又 f(1)=1 2= f(1)+ f(1)=f（1+1）= f(2)()()(yfxfyxf 即为2) 1()2(afaf)2() 1()2(fafaf 又 f(a-1)+f(2)=f(a-1+2)=f(a+1) f(2a) f(a+1) 又函数是上的增函数 ( )f xR 2aa+1 得 a1 的取值范围是a1aa 注：（1）对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“”脱掉，转化为我f 们会求的不等式； （2）奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性， 偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性。 【感悟高考真题】 1、 （2009 全国卷理）函数( )f x的定义域为 R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( D ) (A) ( )f x是偶函数 (B) ( )f x是奇函数 (C) ( )(2)f xf x (D) (3)f x是奇函数 解: (1)f x与(1)f x都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x ， 函数( )f x关于点(1,0)，及点( 1,0)对称，函数( )f x是周期21 ( 1)4T 的周期函 数.(14)(14)fxf x ，(3)(3)fxf x ，即(3)f x是奇函数。故选 D 2、(2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1( 0),4(log2 xxfxf xx ，则 f（3）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】:由已知得 2 ( 1)log 5f , 2 (0)log 42f , 2 (1)(0)( 1)2log 5fff , 用心 爱心 专心 2 (2)(1)(0)log 5fff , 22 (3)(2)(1)log 5(2log 5)2fff ,故选 B. 答案:B. 3、 （2009 全国卷文）函数 y=x(x0)的反函数是 （A） 2 yx（x0） （B） 2 yx （x0） （B） 2 yx（x0） （D） 2 yx （x0） 答案：B 解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数 x0 可知 AC 错,原函数 y0 可知 D 错，选 B. 4、 （2009 四川卷文）已知函数 )(xf 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实 数x都有 )()1 () 1(xfxxxf ，则 ) 2 5 (f 的值是 A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 5 【答案】A 【解析】若x0，则有 )( 1 ) 1(xf x x xf ，取 2 1 x ，则有： ) 2 1 () 2 1 () 2 1 ( 2 1 2 1 1 ) 1 2 1 () 2 1 (fffff （ )(xf 是偶函数，则 ) 2 1 () 2 1 (ff ） 由此得 0) 2 1 (f 于是， 0) 2 1 (5) 2 1 ( 2 1 2 1 1 3 5 ) 1 2 1 ( 3 5 ) 2 3 ( 3 5 ) 2 3 ( 2 3 2 3 1 ) 1 2 3 () 2 5 ( fffffff 5. （2010 北京文数）若 a,b 是非零向量，且a b ， ab ，则函数 ( )() ()f xxabxba 是（A） （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 答案：A 用心 爱心 专心 6. （2010 天津文数）(5)下列命题中，真命题是 (A) mR,fxxmxxR 2 使函数（）=（）是偶函数 (B) mR,fxxmxxR 2 使函数（）=（）是奇函数 (C) mR,fxxmxxR 2 使函数（）=（）都是偶函数 (D) mR,fxxmxxR 2 使函数（）=（）都是奇函数 【答案】A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当 m=0 时，函数 f（x）=x2是偶函数，所以选 A. 7. （2010 江苏卷）5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_ _ 解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由 g(0)=0，得a=1。 【考点精题精练】 一、选择题 1. 已知函数是一个以 4 为最小正周期的奇函数，则等于（A）)(xfy )2(f A. 0 B. C. 4 D. 不能确定 4 解析：由题意知，又周期为 4，因此， )2()2(ff)(xf)2()42()2(fff 综上，可知 0)2(f 2. 设函数是定义在 R 上，周期为 3 的奇函数，若，则（ C )(xf 1 12 )2(, 1) 1 ( a a ff ） A. 且B. 2 1 a1a01a C. 或D. 1a0a21a 解析：由题意分析知，又函数的周期为 3，所以，则由 1) 1(f)(xf) 1()2( ff ，求得或。故选 C。 1 1 12 ) 1()2( a a ff 1a0a 3. 设分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当时，)()(xgxf、0x)()(xgx f ，且，则不等式的解集是（D ） 0)()(xgxf0)3(g0)()(xgxf A. B. ), 3()0 , 3()3 , 0()0 , 3( C. D. ), 3()3,()3 , 0()3,( 用心 爱心 专心 解析：令 )()()(xgxfxF 分别是奇函数、偶函数 )()(xgxf、 为奇函数 )(xF 又，即在上为增函数 0)()()()(xgxfxgxf)(xF) 0 , ( 又 0)3(f0)3(F0)3()3(FF 又在上也是增函数 )(xF), 0( 故的解集为 0)(xF)3 , 0()3,( 4. 设是定义在 R 上以 6 为周期的函数，在（0，3）内单调递减，且的)(xf)(xf)(xfy 图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ B ）3x A. )5 . 6()5 . 3()5 . 1 (fff B. )5 . 6()5 . 1 ()5 . 3(fff C. )5 . 1 ()5 . 3()5 . 6(fff D. )5 . 1 ()5 . 6()5 . 3(fff 解析：在 R 上以 6 为周期，对称轴为，且在（0，3）内单调递减， )(xf x3 ， )5 . 2()5 . 3(ff)5 . 0()5 . 6(ff 5 . 25 . 15 . 0 )5 . 0()5 . 1 ()5 . 2(fff 即 )5 . 6()5 . 1 ()5 . 3(fff 5. 对任意实数，定义为不大于的最大整数（例如等） ，设函数xxx44 . 3 , 34 . 3 ，给出下列四个结论： ； ； 是周期函数；)(xxxf0)(xf1)(xf)(xf 是偶函数，其中正确结论的个数是（ C ）)(xf A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：由题意有 ，且 1xxx0)(xxxf1)(xf 正确 )() 1(1 11) 1(xfxxxxxxxf 用心 爱心 专心 为周期函数 )(xf 9 . 0) 1(1 . 0 1 . 01 . 0) 1 . 0(f ) 1 . 0(1 . 001 . 0 1 . 01 . 0) 1 . 0(ff 不是偶函数，故选 C。 )(xf 6. 若，定义：，例如RxNn) 1()2)(1(nxxxxM n x 3 4 M 。则函数的奇偶性是（ A ） )2()3()4(24xMxsin 11 5 A. 是偶函数不是奇函数 B. 是奇函数不是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 解析： )5)(4()4)(5( 11 5 xxxxM x 11 5 11 )5)(4()4()5() 1( x Mxxxx )(sin)sin()( 11 5 11 5 xfxMxMxf xx ，即 )(xf 为偶函数 7 （2009 湖南卷文）若函数( )yf x的导函数在区间 , a b上是增函数， 则函数( )yf x在区间 , a b上的图象可能是（A） A B C D 解析: 因为函数( )yf x的导函数( )yfx在区间 , a b上是增函数，即在区间 , a b上 各点处的斜率k是递增的，由图易知选 A. 8 （2009 辽宁卷文）已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx 1 ( ) 3 f的 x 取值范围是（A） ababa o x o x y ba o x y o x y b y 用心 爱心 专心 （A） （ 1 3 ， 2 3 ） (B) 1 3 ， 2 3 ） (C)（ 1 2 ， 2 3 ） (D) 1 2 ， 2 3 ） 解析：由于 f(x)是偶函数,故 f(x)f(|x|) 得 f(|2x1|)f( 1 3 ),再根据 f(x)的单调性 得|2x1| 1 3 解得 1 3 x 2 3 9 （2009 宁夏海南卷理）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值设 f（x）=min, x+2,10-x (x 0), 则 f（x）的最大值为 （C） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 10已知 y=f（x） （xR）为奇函数，则在 ( )f x 上的点是 （ C ） A （a，f（-a） ） B （-a，f（a） ） C （-a，-f（a） ） D （a，-f（a） ） 11如果函数是奇函数，那么(A) A1 B2 C-1 D-2 二、填空题 1 （2009 重庆卷理）若 1 ( ) 21 x f xa 是奇函数，则a 1 2 解析：1 12 (),()( ) 211 2 x xx fxaa fxf x 21121 ()21 1 2211 21 22 xx xxxx aaaa 故 2 （2009 北京文）已知函数 3 ,1, ( ) ,1, x x f x xx 若 ( )2f x ，则x 3 log 2 . 解析：由 3 1 log 2 32 x x x ， 1 22 x xx 无解，故应填 3 log 2 . 3已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当x0,+) 时, 3 ( )1f xx 则当x(-,0)时, f(x)的解析式为 3 ( )1f xx ； 4下面四个