材料力学公式汇总

1 目目 录录 1 截面的几何参数 . 2 2 应力和应变 . 2 3 应力状态分析 . 5 4 强度计算 . 7 5 刚度校核 . 9 6 内力和内力图 . 9 7 压杆稳定性校核 . 11 8 动荷载 . 11 9 能量法和简单超静定问题 . 13 2 1 截面几何参数截面几何参数 名称 公式 截面形心 A zdA z A c ， A ydA y A c ； i ii c A Az z， i ii c A Ay y A S z y c ， A S y z c 。 式中： z 为水平方向，y 为竖直方向 面积矩 A Z ydAS， A y zdAS； iiz yAS ， iiy zAS cz AyS ， cy AzS 轴惯性矩 dAyI A z 2 ，dAzI A y 2 ； AiI zz 2 ，AiI yy 2 极惯性矩 dAI A 2 ， yz III 惯性积 dAzyI A zy 如果一个平面对 z(或 y)轴对称，则 Izy=0 主惯性矩 有两正交对称轴的，形心主轴就是两根对称轴。没有对称轴的，由转轴公式对 形心轴的惯性积为 0 的角度，即为形心主惯性轴。 形心主惯性矩是对通过形心的所有轴的惯性矩中的最大值和最小值。Izy=0 的 这对正交坐标轴。 回转半径 A I i z z ， A I i y y 平行移轴 AaII zcz 2 ，AbII ycy 2 ，abAII zcyczy 截面模量 抗弯（弯矩抵抗矩） ： max y I Wz；抗扭（扭转抵抗矩） R I WT 材料在外力作用下表现出变形及破坏的特性。材料的宏观力学性能主要依靠试验方法确定。 如材料的比例极限，弹性极限，屈服极限，延伸率，断面收缩率，弹性模量，泊松比等。 3 2 应力和应变应力和应变 内力 变形 应变能 任意截面 拉压 A N EA lN l . ， ， EA lN V 2 . 2 2 .lN V 2 0cos 2sin 2 0 E l l b b 扭转 圆杆 I T T W T max GI lT. l ， GI T GI lT V 2 . 2 2 T V 2sin 2cos G l 弯曲 z I My bI VS z z * 平面弯曲梁的挠曲线 近似微分方程 )( xMEIvz dx EI xM V z 2 2 )( z I yM max max . z W M max )1 (2 E G 切应力互等 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且相等，其方向都垂直 于两平面交线，共同指向或背离两平面交线。 ：长度 l 范围内扭转角，：单位长度扭转角， ：原来相互正交的棱边的直角夹角的改变量称为切应变。 2.1 矩形截面抗扭矩形截面抗扭 内力 变形 长边中点 短边中点 3 hbG T GI T T 扭转 矩形 2 max hb T max1 矩形截面杆扭转时的系数表矩形截面杆扭转时的系数表 4 2.2 平面弯曲相关公式平面弯曲相关公式 截面类型 最大剪应力 符号说明 矩形截面 bh V 2 3 max 圆形截面 A V 3 4 max 工字形截面梁腹板上的弯曲切 应力近似公式 轧制工字钢梁最大弯曲切应力 计算公式 圆环形薄壁截面梁最大弯曲切 应力发生在中性轴处 双向弯曲梁的合成弯矩 22 yz MMM 拉（压）弯组合矩形截面的中 性轴在 Z 轴上的截距 p y z z i za 2 0 pp yz,是集中 力作用点的坐 标 拉（压）弯组合矩形截面的中 性轴在 Y 轴上的截距 p z y y i ya 2 0 5 3 应力状态分析应力状态分析 公式名称 公式 单元体上任意截面的正应力 2sin2cos 22 x yxyx 单元体上任意截面的剪应力 2cos2sin 2 x yx 主平面方位角 yx x 2 2tan 0 （反号与 x 0） 大主应力 2 2 max 22 x yxyx 小主应力 2 2 min 22 x yxyx 单元体中的最大剪应力 2 31 max 主单元体的八面体面上的剪应 力 2 32 2 31 2 21 3 1 面上的线应变 2sin 2 2cos 22 xyyxyx 面与+ o 90面之间的剪应 变 2cos2sin)( xyyxxy 主应变方向公式 yx xy 0 2tan 大主应变 422 2 2 max xyyxyx 小主应变 422 2 2 max xyyxyx xy 的替代公式 yxxy 0 45 2 6 主应变方向公式 yx yx 0 45 0 2 2tan 大主应变 2 45 2 45 max 222 00 yxyx 小主应变 2 45 2 45 max 222 00 yxyx 简单应力状态下的虎克定理 E x x ， E x y ， E x z 空间应离状态下的虎克定理 zyxx E 1 xzyy E 1 yxzz E 1 平面应力状态下的虎克定理 （应变形式） )( 1 yxx E )( 1 xyy E )( yxz E 平面应力状态下的虎克定理 （应力形式） )( 1 2 yxx E )( 1 2 xyy E 0 z 按主应力、主应变形式写出广 义虎克定理 3211 1 E 1322 1 E 2133 1 E 二向应力状态的广义虎克定理 )( 1 211 E )( 1 122 E )( 213 E 二向应力状态的广义虎克定理 )( 1 21 2 1 E )( 1 12 2 2 E 0 3 剪切虎克定理 xyxy G yzyz G zxzx G 7 4 强度计算强度计算 公式名称 公式 1 第 一 强 度 理 论：最大拉应 力理论。 当 ）f ）f u ut 塑性材料 脆性材料 .( ( * 1 1 时，材料发生脆性断裂破坏。 2 第 二 强 度 理 论：最大伸长 线应变理论。 ）f）（ ）f u ut 塑性材料 脆性材料 ( ()( * 321 1321 ，材料发生脆性断裂破坏。 3 第 三 强 度 理 论：最大剪应 力理论。 当 ）f ）f uc y 脆性材料 塑性材料 ( ( 31 31 时，材料发生剪切破坏。 4 第 四 强 度 理 论：八面体面 剪切理论。 当 ）f ）f uc y 脆性材料 塑性材料 ( 2 1 ( 2 1 2 32 2 31 2 21 2 32 2 31 2 21 时， 材料发生剪切破坏。 5 第一强度理论 的相当应力 1 * 1 6 第二强度理论 的相当应力 ）（ 321 * 2 7 第三强度理论 的相当应力 31 * 3 8 第四强度理论 的相当应力 2 32 2 31 2 21 * 4 2 1 9 由强度理论建 立的强度条件 * 9b 9c 9d 由直接试验建 立的强度条件 maxtt maxcc max 10 轴心拉压杆的 强度条件 maxtt A N maxcc A N 8 11 由强度理论建 立的扭转轴的 强度条件 max1 * 1t T W T (适用于脆性材料) ）（ 321 * 2 =)1 ()0( maxmaxmaxt 1 max t T W T (适用于脆性材料) 2 maxmaxmax31 * 3 2 max T W T (适用于塑性材料) 3 00 2 1 2 1 max 2 maxmax 2 max 2 max 2 32 2 31 2 21 * 4 3 max T W T (适用于塑性材料) 11 由扭转试验建 立的强度条件 max T W T 12 平面弯曲梁的 正应力强度条 件 maxt Z t W M maxc Z c W M 13 平面弯曲梁的 剪应力强度条 件 * max max bI VS Z Z 14 平面弯曲梁的 主应力强度条 件 4 22* 3 3 22* 4 9 15 圆截面弯扭组 合变形构件的 相当弯矩 W M W TMM yZ * 3 222 31 * 3 W M W TMM yZ * 4 222 2 32 2 31 2 21 * 4 75. 0 2 1 16 螺栓的抗剪强 度条件 4 2 dn N 17 螺栓的抗挤压 强度条件 b c b c td N 18 贴角焊缝的剪 切强度条件 7 . 0 w f wf lh N 5 刚度校核刚度校核 公式名称 公式 符号说明 1 构件刚度条件 . max ll 2 扭转轴刚度条件 max GI T 3 平面弯曲梁刚度条件 max l v l v 6内力和内力图内力和内力图 公式名称 公式 符号说明 1 外力偶的换算公式 n N T k e 55. 9 n N T p e 02. 7 T：N.m， N 功率 W， n 转速 r/min 2 分布荷载、集度力、弯 矩间关系 )( )( xq dx xdV )( )( xV dx xdM )( )( 2 2 xq dx xMd )(xq向上为正 10 11 7 压杆稳定压杆稳定 名称 公式 符号说明 细长压杆临界力 临界应力 欧拉公式 2 2 ).(l EI Pcr ；ll. 0 I 取截面各轴惯性矩的最小值 A Pcr cu ， 2 2 E cu 压杆柔度： i l. 取值 一端固定，一端自由：2 一端固定，一端铰支：0.7 两端固定：0.5 两端铰接：1 上端可移动不可转动， 下端 固定：1 上端可移动不可转动， 下端 铰接：2 欧拉公式 适用范围 P P E p：材料的比例极限 抛物线公式 （超出欧拉公式 范围时） 当 s c E 57. 0 时， )(1 2 s c cr s：材料的屈服极限； ：常数，一般取 =0.43 经验直线公式 （超出欧拉公式 范围时） b a s s a、b 为与材料有关的参数 安全系数法校核 压杆稳定 cr w cr P k P P 折减系数法校核 压杆稳定 . A P 折减系数 cr ，小于 1 失稳是考虑杆的整体变形，局部削弱对整体变形影响很小，计算 A、I 时可忽略削弱的尺寸。 8动荷载动荷载 公式名称 公式 符号说明 12 1 动荷系数 j d j d j d j d d N N P P K P-荷载 N-内力 -应力 -位移 d-动 j-静 2 构件匀加速上升或下 降时的动荷系数 g a Kd1 a-加速度 g-重力加速度 3 构件匀加速上升或下 降时的动应力 jjdd g a K)1 ( 4 动应力强度条件 maxmax jdd K 杆件在静荷载作用下 的容许应力 5 构件受竖直方向冲击 时的动荷系数 j d H K 2 11 H-下落距离 6 构件受骤加荷载时的 动荷系数 2011 d K H=0 7 构件受竖直方向冲击 时的动荷系数 j j d g v K 2 11 v-冲击时的速度 8 疲劳强度条件 K max -疲劳极限 -疲劳应力容许值 K-疲劳安全系数 13 9 能量法和简单超静定问题能量法和简单超静定问题 1 外力虚功： Iiee PMPPW . 332211 2 内力虚功： llll TdlNdVddMW 3 虚功原理：变形体平衡的充要条件是：0WWe 4 虚功方程：变形体平衡的充要条件是：WWe 5 莫尔定理： llll dTldNdVdM 6 莫尔定理： llll dx GI TT dx EA NN dx GA VVK dx EI MM 7 桁架的莫尔定理：l EA NN 8 变形能：WU（内力功） 9 变形能： e WU （外力功） 10 外力功表示的变形能： Iiii PPPPU 2 1 2 1 . 2 1 2 1 2211 11 内力功表示的变形能： llll dx GI xT dx EA xN dx GA xKV dx EI xM 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2222 12 卡氏第二定理： i i P U 13 卡氏第二定理计算位移公式： lll iiii l i dx P T GI T dx P N EA N dx P V GA KV dx P M EI M 14 卡氏第二定理计算桁架位移公式：l P N EA N i i 15 卡氏第二定理计算超静定问题：0 dx R M EI M B l By 14 16 莫尔定理计算超静定问题：0 dx EI MM l By 17 一次超静定结构的力法方程：0 1111 P X 18 1 X方向有位移时的力法方程： P X 1111 19 自由项公式：dx EI MM l P P 1 1 20 主系数公式：dx EI M l 2 1 11 21 桁架的主系数与自由项公式： l EA lN 2 1 11 l P P EA lNN1 1 15 10常用数据常用数据 1基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时根据具体情况赋予正负号) EI ML B EI PL B 2 2 EI qL B 6 3 EI ML fB 2 2 EI PL fB 3 3 EI qL fB 8 4 EI ML B 3 , EI ML A 6 EI PL AB 16 2 EI