极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积公式推导

第17卷第4期工 科 数 学Vol . 17,. 4 2001年8月JOURNAL OF MA THEMA T ICS FOR TECHNOLOGYA ug.2001 一类旋转体体积计算法 唐月红 (南京航空航天大学 理学院,南京210016) 摘 要对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法、P. Guldin定理及球坐标下 三重积分计算,给出三种计算方法.本文不仅导出了一类旋转体体积的简单计算公式,而且其中的解题思想方 法有助于学生提高解题能力和数学素养. 关键词高等数学;体积;极坐标 中图分类号 O17212 文献标识码 C 文章编号 100724120(2001)0420106203 一般高等数学教材中均给出了由直角坐标表出面积的旋转体体积计算公式.即,面积 axb, 0yy(x ). 绕ox轴旋转所成旋转体的体积为 V= b a y 2(x) dx,(1) 式中y(x)为单值连续函数.绕oy轴旋转的情形与此相类似. 图1 我们常常还会遇到极坐标表出面积绕轴旋转的体积计算问 题,即,求把面积S 0 , 0rr() 绕极轴旋转所成的体积V.式中r=r()为单值连续函数,若用直 角坐标方程表出往往是多值的.高等数学教材中并未涉及这一问 题.以下导出它的计算方法. 方法之一:积分元素法. (i)求圆扇形 0 , 0rR 绕极轴旋转所得体积V1(见图1).变换到直角坐标系,注意到式 (1), 有 V1= 3 (Rsin) 2(R cos )+ Rcos Rcos(R 2- x 2) dx- 3 (Rsin) 2(R cos) = 3 R 3sin2 cos- 3 R 3sin2 cos+R 3(cos - cos )- 3 R 3(cos3 - cos 3 ). (2) (ii)求V1的体积元素dV1. 视 固定,V1是 的函数.对式(2)两边求微分,得 dV1= 2 3 R 3sin cos2- 3 R 3sin3 +R 3sin -R 3cos2 sind = 2 3 R 3sin d. 故 收稿日期 2000210231 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. V1= dV1+ o( ). (4) V1就是无穷小圆扇形: ,+0,r( ) 绕极轴的旋转体积. (iii)求旋转体体积V. 先写出体积元素dV.故考虑面积 图2 ,+0,r( ) 绕极轴旋转所得体积 V(见图2). 令M= max ,+r ( ), m=m in ,+r ( ), 由式 (4), 则有 2 3 m 3sin + o()V 2 3 M 3sin + o( ), 即 2 3 m 3sin + o ( ) V 2 3 M 3sin + o ( ) . 令 0,由r()的连续性有, li m 0m = li m 0 M=r( ). 由夹逼性得 dV d= 2 3 r 3( )sin,故 dV= 2 3 r 3( )sind.(5) 由此得 V= 2 3 r 3( )sind. 方法之二:运用古尔金(P. Guldin)第二定理1. P. Guldi n第二定理 面积S绕不与它相交的轴的旋转体体积V等于面积S与这面积的重心(,) 所画出的圆周之长的乘积, Vx=S2 .(6) 见图2中无穷小面积: ,+0,r( ) , 其重心集中在 2 3 r( ), ,设均匀面积S的重心坐标为 (x , y ), 则 y = 1 S 2 3 rsin 1 2 r 2d = 1 3S r 3( )sind.(7) 由P. Guldin第二定理,有 V= 2y S = 2 3 r 3( )sind. 图3 方法之三:用球坐标系下的三重积分计算. 取极轴为z轴,则面积为S , 0rr() 绕z轴旋转的旋转体(见图 3) 8: , 0 2, 0rr( ), 则体积 V= 8 dV= 8 r 2sin drdd = 2 0 d d r() 0 r 2sin dr = 2 3 r 3( )sind.(3) 以上我们用三种方法导出了极坐标表出面积绕轴旋转的旋转体体积计算公式.若要求这类旋转体的体 积,只要直接代入式(3 ), 计算十分方便. 例 求由以下方程所围成曲面S绕极轴旋转所成的旋转体体积V. 701第4期 唐月红:一类旋转体体积计算法 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. (i)r=a (1+ cos ) (0 2 ); (ii)(x 2+ y 2)2= a 2(x2- y 2 ). 解 (i)V= 2 3 0r 3( )sind= 2 3 0a 3 (1+ cos ) 3sin d= 8 3 a 3. (ii)写成极坐标方程为r2=a2cos2, V= 2 3 0 r 3sin d= 4a3 3 ?2 0 (cos2) 3 2 sind= a3 4 2 ln 1+2 - 2 3 . 若要求极坐标表出面积S绕轴y=kx旋转所得旋转体体积,只须将坐标轴旋转或变量代换即可.如面 积S: - 2 2 , 0rr()绕垂直于极轴的轴旋转所得的体积为 V= 2 3 r 3( )cosd.(8) 分析方法之一,本文应用了积分元素法思想,设法写出体积元素dV.先考虑圆扇形的简单情况,再 讨论更一般的平面面积S的情形.在求圆扇形旋转体积元素dV1时,利用了求微分的思想.最后利用夹 逼性获得体积元素dV.可以说是一个综合应用高数知识的典型例子.方法之二,通常我们是从已知的平 面图形求重心坐标,而这里借助于古尔金定理反过来由重心求平面图形绕轴旋转的体积.方法之三是由 三重积分反过来解决定积分的问题.方法之二、 之三体现了一种逆向思维处理问题的思想.比较诸方法 不难发现方法之三最为简单.本文涉及的数学思想方法可以帮助学生有效地提高分析问题和解决问题 能力以及创造性能力. 参 考 文 献 1 文丽,吴良大.高等数学M .北京:北京大