江苏省文普全力冲刺高考系列：近3年的南京的解几题套路总结

江苏省文普全力冲刺高考系列：近3年的南京的解几题套路总结据悉，南京教研室孙旭东主任命制解几题可能性极大，南京模拟题孙主任起很大作用，南京风格要注意.定点、定值、定性问题的解法在考前要认真复习.解析几何的重要的方法，特别是重要的计算程序要强化训练.在此背景下，我们真的有必要好好研究南京近3年的模拟试题了.2017一模T17.在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，记直线的斜率分别为，当时，求的值.解：（1），椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，故椭圆的半焦距.3分，故椭圆的方程为.6分（2）方法一(韦达定理）：设，联立，消去，得，.8分所以，又，所以，所以， 10分则. 14分方法二：设， 则，两式作差，得，又，又，在直线上，又在直线上，由可得，. 10分以下同方法一.【总结】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化。涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用韦达定理简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解;涉及中点弦问题往往利用点差法或韦达定理.2017.二模T18如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率过点T(1，0)作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 的值；（3）记直线l与y轴的交点为P若，求直线l的斜率k18（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 1经过点(b，2e)，所以1因为e2，所以1因为a2b2c2，所以 1 2分整理得 b412b2320，解得b24或b28(舍) 所以椭圆C的方程为1 4分（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为T(1，0)，则直线l的方程为yk(x1)联立直线l与椭圆方程 消去y，得 (2k21)x24k2x2k280，所以 6分因为MNl，所以直线MN方程为ykx，联立直线MN与椭圆方程消去y得 (2k21)x28，解得x2因为MNl，所以 8分因为 (1x1)(x21)x1x2(x1x2)1 ，(xMxN)24x2，所以 10分（3）在yk(x1)中，令x0，则yk，所以P(0，k)，从而 (x1,ky1)， (x21，y2)因为 ，所以x1(x21)，即x1x2 12分由(2)知， 由解得 x1，x2 14分因为x1x2， 所以 ， 整理得 50k483k2340，解得k22或k2 (舍) 又因为k0，所以k 16分2017三模T18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且b2（1）求椭圆的离心率；（2）已知a2，四边形ABCD内接于椭圆，ABDC记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M(，)所以(，)，(a，b)因为b2，所以(，)(a，b)b2，整理得a24b2，即a2b 3分因为a2b2c2，所以3a24c2，即a2c所以椭圆的离心率e 5分（2）方法一：由a2得b1，故椭圆方程为y21 从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为 7分因为ABDC，故可设DC的方程为yxm设D(x1，y1)，C(x2，y2)联立消去y，得x22mx2m220，所以x1x22m，从而x12mx2 9分直线AD的斜率k1，直线BC的斜率k2， 11分所以k1k2，即k1k2为定值 16分方法二：由a2得b1，故椭圆方程为y21 从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为 7分设C(x0，y0)，则y021因为ABCD，故CD的方程为y(xx0)y0联立消去y，得x2(x02y0)x2x0y00，解得xx0（舍去）或x2y0所以点D的坐标为(2y0，x0) 13分所以k1k2，即k1k2为定值 16分2016一模T18.如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为.（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；（2）若.求证：；求的最大值解：（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，.2分从而圆的方程为. 4分（2）因为圆与直线相切，所以，即， 6分同理，有，所以是方程的两根， 8分从而. 10分设点，联立，解得，.12分同理，所以 14分， 当且仅当时取等号.所以的最大值为.16分2016二模T18在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：1(ab0)上若点A(a，0)，B(0，)，且（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合若点P(3，0)，直线l过点（0，），求直线l的方程； 若直线l过点(0，1) ，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围解：（1）设C (x0，y0)，则(a，)，(x0，y0)因为，所以(a，)(x0，y0)(x0，y0)，得 2分代入椭圆方程得a2b2因为a2b2c2，所以e4分（2）因为c2，所以a29，b25，所以椭圆的方程为1， 设Q (x0，y0)，则1 6分因为点P(3，0)，所以PQ中点为(，)， 因为直线l过点(0，)，直线l不与y轴重合，所以x03，所以1， 8分化简得x029y02y0 将代入化简得y02y00，解得y00（舍），或y0将y0代入得x0，所以Q为(，)， 所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为1或，所以直线l的方程为yx或yx10分设PQ：ykx+m，则直线l的方程为：yx1，所以xDk将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(59k2)x218kmx9m2450，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，xN，代入直线PQ的方程得yN，12分代入直线l的方程得9k24m5 又因为(18km)24(59k2) (9m245)0， 化得m29k250 14分将代入上式得m24m0，解得0m4，所以k，且k0，所以xDk(，0)(0，)综上所述，点D横坐标的取值范围为(，0)(0，)16分2016三模T17如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点 若直线过椭圆的右焦点，求的面积；求证:解：（1）由题意，得，1，解得a26，b23所以椭圆的方程为1 （2）解法一 椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)由方程组解得或 所以点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，所以PQ 因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，OPQ的面积也为综上所述，OPQ的面积为 解法二 椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)把切线方程 y(x)代入椭圆C的方程，消去y得5x28x60设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2 由椭圆定义可得，PQPFFQ2ae( x1x2)2因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，所以OPQ的面积为综上所述，OPQ的面积为 解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ (ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0因为直线与圆相切，所以，即m22k22将直线PQ方程代入椭圆方程，得(12k2) x24kmx2m260.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)km()m2将m22k22代入上式可得0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0xy0y20，且xy2 (i)当y00时，则直线PQ的直线方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ (ii) 当y00时，由方程组消去y得(2xy)x28x0x86y0设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2 所以x1x2y1y2x1x2因为xy2，代入上式可得0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 2015一模T17在平面直角坐标系中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为的直线经过点，且点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当三点共线时，试确定直线的斜率.解：（1）由题意知，直线的方程为，即， 2分右焦点到直线的距离为， 4分又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，椭圆的方程为； 6分（2）由（1）知， 直线的方程为，8分联立方程组，解得或（舍），即，12分直线的斜率. 14分方法二: 由（1）知， 直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，所以,，当三点共线时有，即，解得或，又由题意知，得或，所以.2015二模T18、如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值.解：（1）因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分故椭圆方程为1由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23故a，b 5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2从而k1 kCB 所以kCB 8分同理kDB 于是直线AD的方程为y1k2(x2)，直线BC的方程为y1(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2显然k1k2直线AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0设点C的坐标为(x1，y1)，则2x1，从而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC 8分所以直线BC的方程为y1(x2)又直线AD的方程为y1k2(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，则由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分2015三模T18在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：xm1与x轴的交点为B，BF2m （1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(2，0)若椭圆C上存在点T，使得，求椭圆C的离心率的取值范围；当m1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若 ，m，求证：m为定值18解：（1）设椭圆C的方程为 1(ab0)由题意，得 解得 所以椭圆方程为1 因为椭圆C过点(，1)，所以1，解得m2或m (舍去）所以m2 4分（2）设点T(x，y)由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22 6分由 得y2m2m因此0m2mm，解得1m2所以椭圆C的离心率e， 10分（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)则(x02，y0)，(