淮海工学院09-11概率论与数理统计试卷和答案

第页 共31页淮 海 工 学 院09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷（A闭卷）答案及评分标准题号 一二三四五六七总分核分人1234分值 241677778888100得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1一袋中有6个白球，4个红球，任取两球都是白球的概率是-（ B ） 2设随机变量，且，则为-（A ） 3设的联合概率密度为，则边缘概率密度-（ C ） 4设是一随机变量，则下列各式中错误的是-（ C ） 5已知，则由切比雪夫不等式得-（ B ） 6设总体，为的一个样本，则-（ C ） 7设总体，未知，为来自的样本，样本均值为，样本标准差为，则的置信水平为的置信区间为-（ D ） 8设总体，未知，检验假设的拒绝域为-（ A ） 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1设表示三个随机事件，则事件“不都发生”可用的运算关系表示为.2随机变量的数学期望，方差，则 8 3设相互独立，且，的概率密度为，则的概率密度为.4设是来自正态总体的一个简单随机样本，分别为样本均值和样本方差，则，.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1已知，分别在下列两种条件下，求的值.（1）若与互不相容；（2）若与相互独立.解 由加法公式 -（1）与互不相容，即， 代入加法公式得， -（2）与相互独立，即 代入加法公式得，得 -2已知随机变量的概率密度函数为求（1）常数；（2） 解 (1) -(2) -3已知随机变量，求随机变量的概率密度函数.解 -,在严格单调增，反函数- -4设随机变量与相互独立，且具有相同的分布律：X12pk0.30.7求（1）的分布律；（2） YX12PX= i10.090.210.320.210.490.7PY= j0.30.71解 （1）-（2） -四、应用题（本题8分）某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为，出售灯泡时需试用. 一、二、三级品在试用时被烧毁的概率分别为0.1, 0.2, 0.3. 现有一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率. 解： 设“一级品”，“二级品”，“三级品”，“灯泡正常”，- - -五、计算题（本题8分）设随机变量在上服从均匀分布，现对进行三次独立观测，试求其中至少有一次“观测值大于3”的概率.解 - -设表示三次独立观测中“观测值大于3”的次数，则- -六、计算题（本题8分）设总体的概率密度为 其中为未知参数，为来自的样本，为相应的样本值，（1）求的最大似然估计量；（2）试问与是不是的无偏估计量？当时，上述两个估计量哪一个较为有效？解 (1) 似然函数 - ， 令，解得，所以的最大似然估计量为 -(2) 估计量都是的无偏估计量。 -又 当时，所以较为有效. -七、应用题（本题8分）根据经验知某种产品的使用寿命服从正态分布，标准差为150小时. 今由一批产品中随机抽查25件，计算得到平均寿命为2536小时，试问在显著性水平0.05下，能否认为这批产品的平均寿命为2500小时？并给出检验过程.( 已知 )解 设产品的使用寿命已知，由题意需检验假设 -采用检验，取检验统计量，则拒绝域为 -将代入算得，未落入拒绝域内，故接受， -即认为这批产品的平均寿命为2500小时. -淮 海 工 学 院09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计试卷（B闭卷）答案及评分标准题号 一二三四五六七总分核分人1234分值 241677778888100得分 一、选择题（本大题共小题，每题分，共分）1设为三事件，则事件“与都发生，而不发生”可用的运算关系表示为-（ C ） 2设随机变量，则-（ C ） 3设的联合密度为，则其边缘概率密度 -（ A ） 4设随机变量，且，则二项分布的参数的值为-（ B ） 5设随机变量具有数学期望，方差，则由切比雪夫不等式，有 -（ A ） 6设总体，其中已知，未知，为来自总体的一个样本，则下列各式不是统计量的是-（ D ） 7设总体，未知，为来自的样本，样本均值为，样本标准差为，则的置信水平为的置信区间为-（ D ） 8设总体，未知，检验，可取检验统计量为-（ C ） 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1一口袋有6个白球，4个红球，“无放回”地从袋中取出3个球，则事件“恰有两个红球”的概率为.2设随机变量，则方程有实根的概率为.3设连续型随机变量的概率密度函数为，则，.4设总体的均值为，方差为，在统计量和中，是的无偏估计量.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1设事件相互独立，且其概率都等于，求事件中最多发生2个的概率.解法一 - -解法二 - -2设随机变量，求随机变量的概率密度.解 -,在为严格单调函数，反函数 - -3设二维随机变量的分布律如下表：YX12311/61/91/1821/3求（1）应满足的条件；（2）若与相互独立，求的值.解 （1） -（2） -4已知的概率密度为，求（1）常数的值； （2）解 （1）由 -（2） -四、应用题（本题分）有朋自远方来，他乘火车、汽车、飞机来的概率分别是 已知他乘火车、汽车、飞机来的话迟到的概率分别是 结果他迟到了，试问他乘火车来的概率是多少？解 设“乘火车”，“乘汽车”，“乘飞机”，“迟到”，- - -五、应用题（本题8分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（分钟）服从指数分布，其概率密度为某顾客在窗口等待服务，若超过10 分钟他就离开已知他一个月要到银行5次以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数写出的分布律，并求解 顾客未等到服务离开的概率为 -由题意 ，其分布律为， -六、计算题（本题分）设总体的概率密度为 其中为未知参数，为来自的样本，为相应的样本值，(1) 求的矩估计量；(2) 求的最大似然估计量.解 (1) ， -令，得的矩估计量的矩估计量为-（2）似然函数 - 取对数有 令 解得的最大似然估计值为的最大似然估计量为 -七、应用题（本题分）假定人的脉搏服从正态分布，正常人的脉搏平均为72次/分钟，现测得16例慢性铅中毒患者的脉搏样本的均值为66次/分钟，标准差为8次/分钟，试问在显著性水平下，慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有无显著差异? 并给出检验过程.解 设脉搏数未知，由题意需检验假设， -采用检验，取检验统计量，则拒绝域为： -将代入算得，落入拒绝域，故拒绝， -即认为慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有显著差异. - 淮 海 工 学 院09 - 10 学年 第1学期 概率论与数理统计试卷（A卷）答案及评分标准题号 一二三四五六七总分核分人1234分值 2418666688810100得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1一袋中有6个白球,4个红球,任取两球都是白球的概率是-（ B ） 2设连续型随机变量的概率密度函数为，则下列错误的是-（ C ） 3已知的概率密度函数为则关于的边缘概率密度函数为-（D ） 4设是随机变量，则下列各式中不正确的是-（ C ） 5设和相互独立, ,则由切比雪夫不等式得-（ C ） 6设是总体的一个样本，分别为样本均值和样本方差，则-（ B ） 7设总体未知。为来自总体的样本，样本均值为，样本标准差为，则的置信水平为的置信区间为-（ C ） ） 8，未知，假设检验的拒绝域为-（ B ） 二、填空题（本大题共小题，每题分，共分）2设若与不相容，则。2已知离散型随机变量，且，则。3设相互独立，且，则。4设随机变量相互独立,其中在上服从均匀分布,服从参数为的泊松分布，记，则。5设， 利用德莫佛拉普拉斯中心极限定理可得， 其中。6设总体，为来自总体的样本，若，则 。三、计算题（本大题共小题，每题分，共分）1设 求。解： -2已知连续型随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数。解： -YX135013设二维随机变量的分布律如右表，若相互独立，求的值。解：由-,-解得-4设随机变量的概率密度函数 求常数及。解：由,即，可得-=-四、计算题（本题分）设某仓库有一批产品，已知其中，分别由甲、乙、丙厂生产，甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，现从这批产品中任取一件，求：（1）取得正品的概率？（2）假设已知取得的是一个正品，那么它出自甲厂的概率是多少？解： 设“取得的产品由甲厂生产”，“取得的产品由乙厂生产”，“取得的产品由丙厂生产”，“取得的产品是正品”，- -五、计算题（本题分）已知某电子元件的寿命（单位：小时）的概率密度函数为（1）1只这种电子元件寿命大于小时的概率为多少？（2）在一批这种元件（元件是否损坏相互独立）中，任取出只，其中至多有4只寿命大于小时的概率是多少？解：寿命在小时以上的概率-设只电子管中寿命在小时以上的个数为，则-六、计算题（本题分）已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量，在某段时间抽测了炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？(显著性水平()解：由题意建立原假设和备择假设，-拒绝域为或.-因为因此接受，-即这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差无显著差异. -七、计算题（本题分）设总体，为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为，其中是未知参数，且，（1）试求的最大似然估计量；（2）试证：对一切，都是的无偏估计；（3）试求的一个无偏估计量。解：（1）服从参数为的泊松分布，则，似然函数为.-，.解得.所以的最大似然估计量为.-（2）对一切，所以都是的无偏估计- 淮 海 工 学 院09 - 10 学年 第1学期 概率论与数理统计试卷（B卷）答案及评分标准题号 一二三四五六七总分核分人1234分值 2418666688810100得分 一、选择题（本大题共小题，每题分，共分）1设一射手每次命中目标的概率为,现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手射击了10次的概率为-（ C ） 2设连续型随机变量的概率密度函数和分布函数分别为，则下列选项中正确的是-（ C ） 3已知的概率密度为,则关于的边缘概率密度为-（ A ） 4设是一随机变量，则下列各式中正确的是-（ D ） 5. 设，则由切比雪夫不等式得-（ C ） 6设是总体的一个样本，分别为样本均值和样本方差，则-（ B） 7设样本来自正态总体，为常数，未知，则的置信水平为的置信区间长度为-（ B ） 8，已知，假设检验的拒绝域为-（ D ） 二、填空题（本大题共小题，每题分，共分）1假设若与相互独立，则。2设随机变量，若，则。3已知的分布函数为，关于的边缘分布函数分别是，则概率可表示为。4已知, 且与相互独立, , 则。5设， 利用德莫佛拉普拉斯中心极限定理可得， 其中。6设总体，分别为样本均值和样本方差，为样本容量，则常用统计量 。三、计算题（本大题共小题，每题分，共分）1已知，=，求，。解： -2设随机变量在区间上服从均匀分布，试写出的概率密度函数，并求的概率密度函数。解： -YX123001/41/411/40021/4003设二维随机变量的分布律如右表。求（1）关于的边缘分布律；（2）的分布律解：关于的边缘分布律为-X012p0.50.250.25的分布律-X+Y12345p00.50.5004若为某连续型随机变量的概率密度函数，求:（1）常数； （2）。解：解：由,即，可得-四、计算题（本题分）某电子设备厂所用的元件由甲、乙、丙三家元件厂提供,根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为,提供元件的份额分别为,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品, 则它出自乙厂的概率是多少?解： 设“取得的元件由甲厂生产”，“取得的元件由乙厂生产”，“取得的元件由丙厂生产”，“取得的元件是次品”，- . -五、计算题（本题分）设二维随机变量具有概率密度.求：（1）关于的边缘概率密度；（2）解：-六、计算题（本题分）设考生的某次考试成绩服从正态分布，从中任取位考生的成绩，其平均成绩为分，标准差为分。问在的显著性水平下，可否认为全体考生这次的平均成绩为分?解：由题意建立原假设和备择假设，-拒绝域为：.-， 统计量 而-故接受，即可以认为这次考试的平均分为分-七、计算题（本题分）设总体具有概率密度其中为未知参数，来自的样本，是相应的样本值。(1) 求的最大似然估计量(2) 问求得的估计量是否是的无偏估计量？为什么？解：(1)构造似然函数 - 取对数有 令 得，所以的最大似然估计量为-(2) - 估计量是的无偏估计量。-（3）由于故-从而， 所以的一个无偏估计量为- 淮 海 工 学 院10 -11学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷答案（A卷）题号一二三四五六七总分核分人(填首卷)1234分值241677778888100得分一、 选择题（本大题共小题，每题分，共分）1对于事件A，B，下列命题正确的是 （ D ）（A）若A，B互不相容，则 与 也互不相容。 （B）若A，B相容，那么 与 也相容。 （C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。（D）若A，B相互独立，那么 与 也相互独立。2袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 ( B )（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/53设，则 ( C )(A) (B) (C) (D) 4设，则满足的参数 ( C )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35设 ( A )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 06设总体，是取自总体的一个样本，则为参数的无偏估计量的是 ( A ) (A) (B) (C) (D) 7设总体，其中已知，未知，为其样本，下列各项中不是统计量的是 ( D )(A) (B) (C) (D) 8设总体，是取自总体的样本，为样本的观测值，为未知，则的置信水平为的置信区间为 （ D ）(A) (B) (C) (D) 二、填空题（本大题共小题，每题分，共分）1一书架上有5本小说，3本诗集以及1本字典，今随机选取3本，则选中2本小说和1本诗集的概率是 2设随机变量，且,相互独立，则3已知，则 0.84 4设随机变量的数学期望，方差为，利用切比雪夫不等式估计得，则 10 三、计算题（本大题共小题，每题分，共分）设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份吗，7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。求先抽到的一份是女生表的概率。 解： 设表示“报名表是取自第地区的考生”，表示“第次取出的报名表是女生表” 。 （1分）由题意，有 ， ， （2分） 由全概率公式， (4分) 2已知连续型随机变量的分布函数为，求：(1) 常数的值； (2) 随机变量的密度函数；(3) 。解： (1) 由右连续性得，即，又由得， 解得 (3分) (2) ， (2分)(3) (2分)3设二维随机变量的密度函数：。（1）求边缘概率密度；（2）和是否独立?解: (1) (3分) (3分)(3) ，不独立 (2分)4盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数的数学期望和方差。解：设X为抽白球的个数，X=0，1, 2，3。 (1分)有下列分布率 X 0 1 2 3 P (3分) (1分) (1分) (1分)四、证明题 （本题分）设三个事件满足,试证明:证明：由于，所以， （3分）所以 (5分)五、计算题（本题分）已知某仪器装有3个独立工作的的同型号电子元件，其寿命（单位：）都服从同一指数分布，概率密度为 试求在仪器使用的最初内，至少有一个电子元件损坏的概率。解：把3个元件编号1，2，3，并设事件为“在仪器使用的最初内，第只元件损坏”。 （1分）设表示第只元件的使用寿命，由题意，服从概率密度为的指数分布，于是， （3分）因此所求事件的概率为。 （4分）六、计算题（本题分）设为总体的一个样本，的密度函数:，, 求参数的矩估计量和极大似然估计量。解： (2分)由知矩估计量为 (2分) (1分) (1分) (1分)故极大似然估计量为 (1分)七、计算题（本题分）某种元件的寿命（以小时计）服从正态分布，均未知，现测得16只元件的寿命的均值=241.5，=98.7259，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）。（）解：提出假设： (3分)拒绝域为：, (1分)计算统计量的值： (2分)没有落入拒绝域，接受，因此认为元件的平均寿命不大于225。(2分) 淮 海 工 学 院10 -11学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷答案（B卷）题号一二三四五六七总分核分人(填首卷)1234分值241677778888100得分一、 选择题（本大题共小题，每题分，共分）1设为对立事件，则下列概率值为1的是 ( C )(A) (B) (C) (D) 2设为两随机事件，且，则下列式子正确的是 ( A )(A) (B) (C) (D) 3袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 ( B )（A） （B） （C） （D） 4设，则( A )(A) (B) (C) (D) 5设( A )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 06设是随机变量的概率密度，则一定成立的是 ( B )(A) 定义域为 (B) 非负 (C) 的值域为 (D) 连续7设随机变量，概率密度为，分布函数，则下列正确的是( B )(A) (B) (C) , (D) , 8设是正态总体的样本，其中已知，未知，则下列不是统计量的是 ( C )(A) (B) (C) (D) 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1设为随机事件，则_0.1_2设随机变量在区间上服从均匀分布，则的概率密度函数为3设随机变量服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估计得4设是来自正态总体的样本，则当时，三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球，今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球。(1) 求此球是白球的概率；(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率. 解: 设表示“取得的为白球” ，分别表示“取得的为第一，二，三盒的球” 则， (3分)由全概率公式得：1/2， (2分)由贝叶斯公式得：4/9 (2分)2已知连续型随机变量的分布函数为，求：(1) 常数的值； (2) 随机变量的密度函数；(3) 。解: (1) 由右连续性得，即, (1分)又由得， (1分)解得 (1分) (2) , (2分)(3) (2分)3设总体为，期望，方差,是取自总体的一个样本，样本均值，样本方差，证明：是参数的无偏估计量。证明：，是取自总体的一个样本，所以， (3分)所以 ， （3分）即是参数的无偏估计量 (1分)4设随机变量与相互独立,概率密度分别为：，求随机变量的期望和方差。 解：因为与相互独立，所以的联合概率密度为 (3分) （2分）（2分） （1分）四、证明题（本题分）设事件相互独立，证明事件与事件也相互独立.证明：由于事件相互独立，所以， （4分）所以 即事件与也相互独立。 (4分)五、计算题（本题分）设二维随机变量的密度函数：。（1）求常数的值；（2）求边缘概率密度；（3）和是否独立?（1）由，得 (2分)(2) (2分) (2分)(3) ，不独立 (2分)六、计算题（本题分）设二维随机变量的概率密度函数：求（1）数学期望与；（2）与的协方差解: , (2分) , (2分) , (2分)=3/160. (2分)七、计算题（本题分）一台包装机包装面盐，包得的袋装面盐重是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤，某日开工后，为检验包装机是否正常，随机抽取他所包装面盐9袋。经测量与计算得，取，问机器是否正常。（查表）解：提出假设 ； （3分）拒绝域的形式为： （1分）计算统计量的值： （3分）落入拒绝域，拒绝，因此认为这天包装机工作不正常。 （1分）淮 海 工 学 院10 - 11 学年 第1学期 概率论与数理统计 试卷（A闭卷）答案及评分标准题号 一二三四五六七总分核分人1234分值 241677778888100