概率论论文-浅谈中心极限定理

浅谈中心极限定理摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。由此足以见得中心极限定理的重要性。目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：林德伯格-莱维中心极限定理：设是独立同分布的随机变量序列，且存在，若记则对任意实数y，有这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。只有当n充分大时,才近似服从标准正态分布，而当n较小时，此种近似不能保证。也就是说，在n充分大时，可用近似计算与有关事件的概率，而n较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当时，则有。现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。在这些行业中就会用得到中心极限定理。例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为=2的泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。1解：设为第i天出售的汽车的数量，则为一年的总销量，由，知3652=730 利用中心极限定理得 P(700)=1-P(700)1=1-(一111)=0.8665在理论中，我们也可用它来解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题。例如，利用中心极限定理证明： 1证明：设独立同分布且P(1)，k=1，2. 则a=l，=1 由泊松分布的可加性知P(n) 又由中心极限定理知： 如果在林德伯格-勒维中心极限定理中，服从二项分布，就可以得到以下的定理。棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0p1），记为n次试验中事件A出现的次数，且记，则对任意实数y，有。它表明，n充分大时，分布近似服从与标准正态分布，常称为“二项分布收敛于正态分布”，正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用也很广泛，例如：假设某校要建新校区，里面有学生5000人，只有一个开水房。由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：(1)未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？(2)至少要装多少个水龙头，才能以95以上的概率保证不拥挤？2解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则 拥挤的概率是： 由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，n=5000，p=0.01，q=0.99， 故 即拥挤的概率为 （2）欲求m，使得，则由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知， 由于 即 查表得 即 故需装62个水龙头，才能以95以上的概率保证不拥挤。保险与我们的生活息息相关。中心极限定理在保险行业方面也有很大应用。例如，某保险公司有2500个人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家属可向保险公司领得20万元。问：(1)保险公司亏本的概率有多大?(2)保险公司一年的利润不少于1010万元，200万元的概率各为多大? 3分析：首先，我们先设一年内死亡的人数为随机变量X，保险公司亏本的概率为P。因为题中人和人之间是独立的，而且死亡的概率都一样为0.002，因此比较容易看出，此题中的X是服从二项分布的，我们也可用二项分布的方法把p具体地求出来，但要想求出绝非易事，更何况还要算上几千个呢？为此我们不妨用中心极限定理来求解它。解：设X为一年内死亡的人数，则， (1)由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知 P(亏本)=1-0.99993=0.00007所以，保险公司亏本的概率为0.00007，几乎为0。(2)由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知P(利润)P(利润)以上结果说明，保险公司几乎不可能亏本不过，关键之处是对死亡率的估计必须正确，如果所估计的死亡率比实际低，甚至低得多，那么，情况就会不同。结论中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明，只要样本容量足够地大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位