概率论与随机过程题集

第二章 概率论与随机过程2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程X(t),且EX(t)=0,() =(),即X(t)为白噪过程。（a）试求谱密度（f）。（b）试求()和EY(t)。CRY(t)X(t)图P2-16解：（a）= 又系统函数= (b) = =2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是，试求其功率密度谱。解：由功率密度谱的定义知 即为所求。2-23 试证明函数 ，= 0，在区间上为正交的，即 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号的级数展开式，其中权值为的样值，且是级数展开式中的正交函数集。证明： 由题得 命题得证。2-24 系统的噪声等效带宽定义为 式中,。利用该定义，试确定图P2-12中的理想带通滤波器和图P2-16中的低通系统的噪声等效带宽。CRY(t)X(t)BB 图P2-12 图P2-16解：(1) 对于图P2-12有 图P2-12的系统的等效带宽为B (2) 对于图P2-16有 = =第三章 信源编码3-4 X、Y是两个离散随机变量,其概率为P(X=x, Y=y)=P(x, y)证明：I(X,Y)，当且仅当X和Y统计独立时等号成立。证明： 0, 当且仅当X和Y统计独立时 此时, 3-5 某DMS信源输出由可能的字符，组成，其发生概率分别是，。证明信源熵至多是。证明： 由熵定义可知 ； 又 1 又 0 当且仅当 时等号成立。3-11 设和是两个联合分布的离散随机变量 （a）证明： (b) 利用上述结果证明： 在什么情况下上式的等号成立? （c） 证明： 当且仅当和独立时上式等号成立。证明：(a) 由离散随机变量的边缘概率可知 同理可知： （b） = 当=1时，等号成立。 (c) 由3-4的结论可知： 若存在不独立，使得 即 不独立，所以与以上推论相互矛盾； 当且仅当相互独立时上式等号成立。3-23 一个无记忆信符源的字集为-5,-3,-1,0,1,3,5,相应的概率分别是0.05,0.1,0.1,0.15,0.05,0.25,0.3,(a) 计算信源熵。(b) 假设信源输出按如下量化规则量化 ,计算量化后的信息熵。解： (a) 由熵的定义可得取2作底可得 (b) 量化后的字符集为,且 此时的熵为 取2作底可得 0.883-25 对下列二进制序列做L-Z信源编码 ：0001001000000110000100000001000000101000100000011010000000110 再从编成的L-Z信源码中恢复原序列。解：将该二进制序列做如下分解，可得到下列码段： 0，00，1，001，000，0001，10，00010，0000，0010，00000，101，00001，000000，11，01，0000000，110 可得L-Z算法字典如下：字典位置字典内容码字100001000000020001000000010300011100000140010000100010150010100000010060011000010010117001111000011080100000010001100901001000000101010010100010001000110101100000010010120110010100111113011010000101001114011100000000101101501111110001111610000010000111710001000000001110018100101100111103-30 某加性高斯白噪声信道的输出是,此处是信道输入，是噪声，概率密度函数为 ，如是及的白高斯输入，计算： (a) 条件差熵。 (b) 平均互信息。解：(a) 已知信源的概率刻度函数为，为加性噪声， ， 条件熵为 (b) 平均互信息为 3-38 考虑一个平稳随机信号序列，其均值为0，自相关序列 1 （n=0） 0.5 (n=) 0 (其它) （a）的一阶最小MSE预测器为，计算预测系数以及相应的最小均方误差。（b）对于二阶预测器重复（a）的问题。解：（a）由 且 ， 可得 0.5 此时最小均方误差为 （b）二阶最小MSE预测器 此时， ， 此时的最小均方误差为 第四章 通信信号与系统的表征4-9 已知一组M个正交信号波形，他们具有相同的能量。现定义一组新的M个波形 ， ，试证明这M个信号波形 有相同的能量，即并且是等相关的，相关系数为证明： 由能量定义可得 ，为正交向量 即M个信号波形 有相同的能量。又 即证。0.50.54-10 考察图P4-10所示的3个波形。0 1 2 3 4t-0.50.50.5t0 40.5 0.5t0 2 4图 P4-10（a）试证明这些波形是标准正交的。（b）如果 1 1 1 试将表示为，2，3的加权线性组合，并求加权系数。证明：（a）由图可知 ， ， ， ，是标准正交的。（b） ，是两两正交的 它们是线形独立的 不能由，线形表示。4-13 低通高斯随机过程的功率密度谱为 试求的功率密度谱和自相关函数。解： 根据题意可知 又 ， 4-17 试对图4-2-1（a）中的信号按，的次序进行格拉姆-施密特（GramSchmidt）正交化，得到标准正交函数集。试利用标准正交函数集将信号表示为向量形式，并求各向量的能量。1t0 2110 2 3tt1-10 2-10 3t图4-2-1（a）解： 的能量为 ，在投影为+= 的能量为 在投影为在投影为 是，的线性组合 信号空间为2 且，3，3，24-18 如图P4-18所示，由，标准正交基函数，试求4个信号的信号空间表示形式。画出信号空间图，并证明这种信号集等价于四相PSK信号集。0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 10 10 1图 P4-18（1）解：的信号空间表示式为 信号空间为 （2）证明：由题可得的能量分别为 ， 即 又 ， ， 可知 当 时 此信号集与四PSK信号集等价。第五章 加性高斯白噪声信道的最佳接收机5-2 有一个信号为： （a）试求该信号的匹配滤波器的冲激响应。（b）试求在时刻匹配滤波器的输出。（c）设信号通过一个相关器，它将输入和进行相关运算。试求时刻相关器的输出值。试与（b）中的结果相比较。解：（a） 由匹配滤波器的定义可知，其冲激响应即为 （b） 匹配滤波器的输出为 在时刻的输出为 （c） 由题可知，信号通过相关器，即，信号进行自相关。 显然与（b）相同。5-6 有一个等效低通（复值）信号，其能量为假设该信号受到AWGN的恶化，其等效低通形式为，则观察到的信号为：，该接收信号通过一个（等效低通）冲激响应为的滤波器。试求，要求（在时刻）使输出SNR最大。解： 当信号受到AWGN影响时，具有匹配于的冲激响应的滤波器使输出SNR最大。 且 在在时刻输出SNR最大5-10 三元通信系统在每个秒内传输下列三个信号之一：，则接收信号为，或，其中为高斯白噪声，。最佳接收机计算以下相关度量将与门限和门限相比较。若,则判