数理统计课件全集

对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值,对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性,第一节基本概念,一、总体和个体,二、样本简单随机样本,一、总体和个体,一个统计问题总有它明确的研究对象.,研究对象的全体称为总体(母体)，,组成总体的每个元素称为个体.,总体,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体称为总体,它是一个随机变量(或多维随机变量)，记为X.,X的分布函数和数字特征称为总体分布函数和总体数字特征.,总体：,例如:研究某批灯泡的寿命时，总体X是这批灯泡的寿命，而其中每个灯泡的寿命就是个体。,每个灯泡的寿命,个体,又如:研究某批国产轿车每公里的耗油量时，总体X是这批轿车每公里的耗油量，而其中每辆轿车的耗油量就是个体。,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)来表示，而每个学生的身高和体重就是个体.,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.,二、样本简单随机样本,1）抽样和样本,样本的抽取是随机的，每个个体是一个随机变量.容量为n的样本可以看作n维随机变量，用X1,X2,Xn表示.,而一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,xn)，称其为样本的一个观察值，简称样本值.,2.X1,X2,Xn相互独立.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:,1.样本X1,X2,Xn中每一个Xi与所考察的总体X有相同的分布.,2）简单随机样本,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示.,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,设X1,X2,Xn是总体X的一个简单随机样本，,1)若X为离散型总体，其分布律是p(x)，则X1,X2,Xn的联合分布律为,p(x1)p(x2)p(xn),2)若X为连续型总体，其概率密度是f(x)，则X1,X2,Xn的联合分布律为,f(x1)f(x2)f(xn),事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.,3）总体、样本、样本值的关系,统计是从手中已有的资料样本值，去推断总体的情况总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,4）经验分布函数,设X1,X2,Xn为取自总体X的样本，x1,x2,xn为其观察值.对于每个固定的x，设事件Xx在n次观察中出现的次数为vn(x)，于是事件Xx发生的频率为：,显然Fn(x)为不减右连续函数，且,称Fn(x)为样本分布函数或经验分布函数.,定理（格列文科）当n时，经验分布函数Fn(x)依概率1关于x一致收敛与总体分布函数，即,定理表明：当样本容量n充分大时，经验分布函数Fn(x)几乎一定会充分趋近总体分布函数F(x),这是用样本来推断总体的理论依据.,第二节统计量与抽样分布,一、统计量,二、统计学中三个常用分布和上分位点,三、抽样分布定理,一、统计量,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）信息集中起来.,定义,若,2已知,则,是统计量，而,例如：,不是统计量.,也是统计量.,是未知参数,几个常用的统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体均值的信息,它反映了总体方差的信息,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k阶矩的信息,它反映了总体k阶中心矩的信息,它们的观察值分别为：,由大数定律可知：,依概率收敛于,例1.从一批相同的电子元件中随机地抽出8个，测得使用寿命（单位：小时）分别为：2300，2430，2580，2400，2280，1960，2460，2000，试计算样本均值、样本方差及样本二阶矩.,解：,抽样分布,统计量是样本的函数，而样本是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，它的分布称为“抽样分布”.,二、统计学中三个常用分布和上分位点,下面介绍三个来自正态总体的抽样分布.,定义:设相互独立,都服从标准正态分布,N(0,1),则称随机变量：,所服从的分布为自由度为n的分布，记为,分布的概率密度为,处的值.,有所改变.,分布的概率密度图形如下：,性质1.,证明：,设,相互独立,则,分布的性质：,这个性质称为分布的可加性.,性质2.,设,且,与,相互独立，则,t的概率密度为：,定义:设XN(0,1),Y,所服从的分布为自由度为n的t分布.记为tt(n).,2、t分布,，且X与Y相互,独立，则称变量,n=4,n=10,n=1,t分布的概率密度函数关于t=0对称，且当n充分大时(n30)，其图形与标准正态分布的概率密度函数的图形非常接近.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.,由定义可见，,3、F分布,则称统计量,服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，,F(n2,n1),定义:设,X与Y相互独立，,n2称为第二自由度，记作FF(n1,n2).,若XF(n1,n2)，则X的概率密度为,注意：统计的三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！,4、上分位点,定义：设随机变量X的概率密度为f(x),对于,任意给定的(045），,4）对于F分布，有：,例2.查表求下列值：,解：,，,例3.设总体X和Y相互独立，同服从,分布，而X1，X2，,X9和Y1，Y2，,Y9,的分布.,分别是来自X和Y的简单随机样本，求统计量,解：,X1，X2，,X15是来自X的简单随机样本，求,解：,试确定常数c,使,解：,故,因此,当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理.这里我们不加证明地叙述.,三、抽样分布定理,（1）样本均值,（2）样本均值与样本方差相互独立。,（3）随机变量,定理2设X1,X2,Xn是取自正态总体,则有,定理3(两个总体样本均值差的分布),且X与Y独立,分别是这两个样本的样本方差,则有,定理4(两个总体样本方差比的分布),且X与Y独立,分别是这两个样本的样本方差,则有,上述4个抽样分布定理很重要，要牢固掌握.,的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?,解：设样本容量为n,则,令,得,即,所以至少取,n=20的样本,解：(1),即,故,(2),故,3掌握给出的四个抽样分布定理。,第六章小结,1.给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要掌,2.给出了分布、t分布、F分布的定义和性质，要会,查表求其上分位点。,握样本均值和样本方差的计算及基本性质。,附：几种重要随机变量的数学期望和方差,一.二点分布,二.二项分布,三.泊松分布,四.均匀分布,五.正态分布,六.指数分布,一.二点分布,若随机变量X服从二点分布，其分布律为：,二.二项分布,随机变量XB(n,p),其分布律为：,由二项分布定义可知，X是n重贝努利试验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，设,则Xk服从二点分布，其分布律为：,若随机变量XB(n,p),则,即：,三.泊松分布,随机变量，其分布律为：,即：,若随机变量X(),则,四.均匀分布,设随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，其概率密度为,即,若随机变量XU(a,b),则,五.正态分布,随机变量，其概率密度为：,（令）,（令）,即,若随机变量XN（,2）,则,六.指数分布,随机变量X服从参数为的指数分布，其概率密度为：,若随机变量X服从参数为的指数分布，则,即,例1.已知求,解：,则,解：,X在区间(1，5)上服从均匀分布,例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从均匀分布，求(1)(X,Y)的概率密度;(2),由X和Y相互独立得：,概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律,第一节大数定律,一个常数，若对于任给的正数0,总成立,随机变量序列依概率收敛于常数,定义,设,是一个随机变量序列，a是,则称随机变量序列,依概率收敛于a，,记为,性质,设n重贝努里试验中事件A发生的次数为n，A在每次试验中发生的概率为p，则对任给的0，总成立,定理1（贝努利大数定律）,即：,三个常见的大数定律,贝努里大数定律的意义,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,定理2（契比雪夫大数定律的特殊情形）,设随机变量序列X1,X2,相互独立，并且具有相同的数学期望和方差，E(Xi)=，D(Xi)=2,i=1,2,则对任给的0，总成立,即,定理2的意义,具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.当n足够大时,实验结果的算术平均几乎是一常数.,因此，在实际应用中，当试验次数足够大时,可用独立重复试验结果的算术平均数来估计随机变量的数学期望.,定理3（契比雪夫大数定律的一般情形）,设随机变量序列X1,X2,相互独立，它们都具有数学期望：E(Xi)=i，并且都具有被同一常数C所限制的方差：D(Xi)=0，总成立,即,定理3的意义,设随机变量序列X1,X2,相互独立，服从同一分布，具有相同的数学期望E(Xi)=,i=1,2,，则对于任给正数0，总成立,定理4（辛钦大数定律）,即,即,这一节我们介绍了大数定律,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,它是随机现象统计规律的具体表现.在理论和实际中都有广泛的应用.,平均结果的稳定性,第二节中心极限定理,客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。,概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的极限分布.,下面介绍常用的三个中心极限定理。,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,，则,定理表明：当n充分大时，标准化随机变量,近似服从标准正态分布.,由此可知：对于独立的随机变量序列，不管服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布,解：设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数，,设X表示100次轰击命中的炮弹数,则,由独立同分布中心极限定理,有,则,(1),(2),例2.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1(元)，1.2(元)，1.5(元)各值的概率分别为0.3，0.2，0.5.某天售出300只蛋糕.求这天的收入至少达400(元)的概率,解：设第i只蛋糕的价格为Xi，i=1,2,300,则Xi的分布律为,由独立同分布中心极限定理知：,即,定理2(德莫佛拉普拉斯中心极限定理）,设n重贝努利试验中事件A发生的次数为n,事件A在每次试验中发生的概率为p,则对于任给实数x,总成立,定理表明：若服从二项分布，当n很大时，,由此可知：当n很大，00,总体X的样本值，求参数的极大似然估计值.,例6.设总体X的概率密度为,解:,两边取对数，得,对求导,并令其为0，,得,这就是的极大似然估计值.,解：,两边取对数，得,对求导，并令其为0，,=0,所以的极大似然估计值为,1.可证明极大似然估计具有下述性质：,设的函数g=g()是上的实值函数,且有唯一反函数.如果是的极大似然估计，则g()也是g()的极大似然估计.,关于极大似然估计的两点说明：,此性质称为极大似然估计的不变性,例8.设X1X2，Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，a0为一给定实数。求p=PXa的极大似然估计,解：,概率密度和分布函数分别为,由总体X服从参数为的指数分布知，X的,两边取对数，得,对求导，并令其为0，,得的极大似然估计值为,因为,所以，p=PXa的极大似然估计值为,2、当似然函数不是可微函数时，须用极大似然原理来求待估参数的极大似然估计.,例9.设XU(a,b),x1,x2,xn是X的一个样本值,求a,b的极大似然估计值与极大似然估计量.,解：,由XU(a,b)知，X的密度函数为,似然函数为,似然函数只有当axi30）的样本，利用中心极限定理，对参数p进行假设检验.,下面先用此方法对双边检验进行假设检验，然后推广到单边检验。,已知总体X服从（0-1）分布，其分布律为,现抽取容量为n（n30）的样本X1,X2,Xn，,样本均值为,则,对参数p的双边检验：,极限定理可知：,当原假设,为真时，由独立同分布中心,原假设,备择假设,得：,因为是p的达到方差界的无偏估计，所以U的,为|U|偏大。即拒绝域应形如：,设显著性水平为，由,值应较集中在零附近，而的拒绝域应体现,pp0,pp0,pp0,pp0,pp0,U检验法,双边检验,单边检验,例1.某药厂在广告上声称该药品对某种疾病的治愈率为80%，一家医院对这种药品临床使用120例，治愈85人，问该药品的广告是否真实(=0.02)？,解：,由于n=120为大样本，设随机变量X为,则X（0-1）分布.,原假设,备择假设,检验统计量为,拒绝域：,=0.02，,所以拒绝H0，,因为,认为该药品的广告不真实.,例2.若在猜硬币正反面的游戏中，某人在100次试猜中共猜中60次，是否可以认为此人有诀窍？(=0.05),解：,由于n=100为大样本，设随机变量X为,则X（0-1）分布.,原假设,备择假设,检验统计量为,拒绝域：,=0.05，,若有诀窍，则猜中的概率p应大于1/2.,所以拒绝H0，,因为,可以认为此人猜硬币有某种诀窍。,第三节单因素方差分析,在第八章第二节中，我们讨论了两个方差相等的正态总体对均值比较的假设检验问题，而在实际应用中还经常需要对有相同方差的多个正态总体均值进行比较的假设检验问题.方差分析就是解决这类问题的有效方法，在实际中有着广泛的应用。,一、基本概念,二、单因素方差分析的数学模型,四、部分总体均值j和方差2的估计,三、单因素方差分析的假设检验,一、基本概念,我们将要考察的对象的某种特征称为指标，影响指标的各种因素称为因子，一般将因子控制在几个不同的状态上，每一个状态称为因子的一个水平.,若一项试验中只有一个因子在改变，而其它的因子保持不变，称这样的试验为单因素试验.多于一个因子在改变的的试验为多因素试验.这里，我们只讨论单因素试验.,实例1.对某种型号的电池进行抽查，随机抽取了来自A,B,C三个工厂的产品，测得其寿命（h)见下表，设各工厂所生产的电池的寿命服从有相同方差的正态分布，问这三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？,电池的寿命（h）,试验的目的是为了考察不同厂家生产的电池平均寿命是否有显著差异。如果有显著差异，表明生产工厂这一因子对电池寿命的影响是显著的.,在此实例中，,指标：,电池的寿命；,因子：,生产电池的工厂；,水平：,工厂A1、A2、A3,在此试验中，除生产电池的工厂这一因子外，其它因子不变，这是一个单因素试验。,实例2.为了比较各个工作日进入某一商场的顾客人数，测得各工作日下午4时5时进入商场的顾客人数如下表，问各个工作日对顾客人数有无显著影响？,试验的目的是为了考察不同工作日顾客的人数是否有显著差异。如果有显著差异，表明工作日这一因子对顾客人数的影响是显著的.,在此实例中，,指标：,顾客人数；,因子：,工作日；,水平：,周一、周二、周一、周四、周五,在此试验中，除工作日这一因子外，其它因子不变，这是一个单因素试验。,二、单因素方差分析的数学模型,设在单因素试验中，影响指标的因子A有s个水平A1，A2，As，将每个水平Aj下要考察的指标作为一个总体称为部分总体，仍记为Aj，则共有s个总体，假设,假设前提：,2）部分总体的方差都相等，即：,1）每个部分总体都服从正态分布，即：,3）不同的部分总体下的样本是相互独立的。,在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本,则,记称其为随机误差，则,由此得：,单因素方差分析的数学模型:,各个随机误差相互独立，和未知.,对每个水平Aj下的样本引进统计量：,样本和：,样本均值：,将单因素试验的数据列表如下：,样本总均值：,单因素试验数据表,（1）检验假设：,不全相等.,（2）求出未知参数和的估计量,单因素方差分析的任务:,根据样本提供的信息，,三、单因素方差分析的假设检验,单因素方差分析法是将样本全部偏差的平方和分解成两个平方和，通过这两个平方和之间的比较，导出假设检验的统计量和拒绝域.,偏差平方和及其分解,总平方和：,效应（组间）平方和：,说明：,SA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均值的差异，它是由因子A取不同水平引起的，所以，称SA是因子A的效应（组间）平方和.,误差（组内）平方和：,平方和分解公式：,说明：,SE表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是误差（组内）平方和.,证明：,又,所以,即：,总平方和=效应（组间）平方和+误差（组内）平方和,SA和SE的统计特征,在单因素方差分析的模型下，,（2）SA和SE相互独立。,定理：,（1）,由定理（1），有,即,结合定理(1)(2)(3)，有,ST，SA，SE的计算方法,记,化简得,单因素方差分析的假设检验：,（1）提出统计假设,不全相等.,（2）取假设统计量,（3）拒绝域：,说明：如果组间差异比组内差异大得多，则说明各水平间有显著差异，H0不真。,单因素方差分析的假设检验的步骤：,（1）提出统计假设,不全相等.,（2）编制单因素试验数据表,（3）根据数据表计算,（4）填制单因素方差分析表,单因素方差分析表,（5）检验，若,否则接受H0，认为因子A对指标没有显著影响.,则拒绝H0，,例1.在显著性水平=0.01下，用单因素方差分析法判断实例1中，三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？,解：,提出统计假设,不全相等.,编制单因素试验数据表,184,46,498,267,83,89,单因素方差分析表,所以拒绝H0，,因为,认为三个工厂所生产的电池的平均寿命有显著差异.,四、部分总体均值j和方差2的估计,前面已说明：,又,所以,可以证明，,例2.试验4种不同的农药，观察它们的杀虫率有无明显的不同，试验结果如下表所示:,1）在显著性水平=0.01下，问4种农药的杀虫率的均值是否有明显不同？2）分别求4种不同农药的杀虫率的均值和方差的估计值。,解：,编制单因素试验数据表,252.6,84.2,361,90.25,59.3,118.6,103.2,51.6,(1)提出统计假设,不全相等.,单因素方差分析表,所以拒绝H0，,因为,认为4种农药的杀虫率的均值是有明显不同的.,(2),第四节分布函数的拟合优度检验,前面几节中讨论了总体分布形式已知时关于总体参数的假设检验。但在许多实际问题中并不能预先知道总体分布的形式。这时，就需要根据样本提供的信息，对总体的分布作出假设，并对此假设进行检验。本节我们将介绍由英国统计学家卡尔皮尔逊提出的拟合优度检验法。,拟合优度检验法的基本原理和步骤：,1.提出原假设,H0：总体X的分布函数为F(x),备择假设H1：,总体X的分布函不是F(x),(1)备择假设可以不必写出.,(2)若X是离散型总体，原假设相当于：,H0：总体X的分布律为：PX=xi=pi,i=1,2,若X是连续型总体，原假设相当于：,H0：总体X的概率密度为f(x).,说明:,(3)若在原假设H0下，总体分布的形式已知，但有r个参数未知，这时需要用极大似然估计法先估计这r个参数.,2.将x轴分成K个互不重迭的小区间：,3.计算样本的n个观察值落入以上每个区间的个数，记为fi（i=1,2,K），称其为实际频数.所有实际频数之和f1+f2+fk等于样本容量n.,4.在原假设H0为真时，计算总体落入每个区间的概率Pi=F（bi）-F（bi-1）（i=1,2,K），于是npi就是落入第i个区间的样本值的理论频数.,反映了实际频数与理论频数的差异.,当原假设H0为真，样本容量又充分大时，两者,并证明了如下定理：,的差异应不会太大，皮尔逊由此引进统计量：,定理（皮尔逊）若n充分大，H0为真时，不论H0中的分布属于什么类型，统计量,总是近似服从自由度为K-r-1的分布，即,其中r是分布中被估计的参数的个数.,由此得,5.检验统计量：,拒绝域：,要适当合并区间以满足这个要求。,拟合优度检验法是在n充分大的条件下得到,的，所以在使用时必须注意n要足够大及npi不能太小，,根据实际经验，要求n50，理论频数npi4，否则,注:,例1.某个城市在某一时期内共发生交通事故600次，按不同颜色小汽车分类如下,如果交通事故的发生与汽车的颜色无关，则每种颜色的小汽车发生交通事故的可能性是一样的.,问：交通事故是否与汽车的颜色有关？,分析：,解：,原假设,检验统计量：,拒绝域：,列表计算,红棕黄白灰蓝,n=600,-25,25,30,-20,35,15,751257080135115,1/61/61/61/61/61/6,100100100100100100,6.25,6.25,9,4,12.25,2.25,40,所以拒绝H0，认为交通事故与汽车的颜色有关.,因为,例2.某电话交换台，在100分钟内记录了每分钟被呼唤的次数X，设fi为出现该X值的频数，结果如下：,问总体X（电话交换台每分钟呼唤次数）服从泊松分布吗？,解：,按题意，原假设,由于未知，首先须用极大似然估计法，求得的估计值（看七章二节例5）：,检验统计量：,拒绝域：,列表计算：,12345678,n=100,7121817201367,1.3099,-0.02-0.340.18-2.293.300.95-1.46-0.32,0.000060.00940.00180.27190.65210.07490.28570.0140,7.0212.3417.8219.2916.7012.057.467.32,0.07020.12340.17820.19290.16700.12050.07460.0732,因为,所以接受H0，,认为电话交换台每分钟呼唤次数X服从泊松分布.,说明:,将n=0和n=1合并，n=8与n9合并是为了,保证理论频数npi4.,例3.为了研究患某种疾病的2159岁男子的血压（收缩压，单位：mm-Hg）这一总体X，抽查了100个男子，得，样本值分组如下：,取=0.10，检验2159岁男子的血压（收缩压）总体X是否服从正态分布。,解：,按题意，原假设,由于,2未知，首先须用极大似然估计法，求得其估计值（看教科书七章二节例2）：,检验统计量：,拒绝域：,列表计算：,H0为真时，,列表计算：,12345678,n=100,58222717957,(，99.5)99.5,109.5)109.5,119.5)119.5,129.5)129.5,139.5)139.5,149.5)149.5,159.5)159.5,),0.06550.10560.17720.22310.19890.13290.06610.0307,6.5510.5617.7222.3119.8913.296.613.07,-1.55-2.564.284.69-2.89-4.292.32,0.36680.62061.03380.98590.41991.38480.5560,5.3678,因为,所以接受H0，,即2159岁男子的血压（收缩压）总体X服从正态分布。,第一节相关分析,一、相关关系的概念,二、样本相关系数,三、样本相关系数的性质,四、总体相关系数的假设检验,自然界中的变量往往相互联系，互相依存，它们之间的关系大致可分为两类：一类是确定性的关系，也就是我们所熟知的函数关系；另一类是非确定性的关系。例如，农作物的单位面积产量与施肥量之间有密切的关系，但是这两个变量之间的关系却不能用函数关系来表达。变量之间的这种非确定性的关系称为相关关系。,一、相关关系的概念,相关关系：,两个变量的变化方向一致或者都是上升趋势，或者都是下降趋势.,两个变量的变化方向相反，一个下降时，另一个上升，或者一个上升时，另一个下降,正相关：,负相关：,相关关系的分类：,当相关关系中自变量变化时，因变量也相应地发生大致均等的变化，其数学模型可归纳为y=ax+b+，其中为自变量以外影响y的随机变量，a，b为常数。,当相关关系中自变量变化时，因变量的变化是不均等的，其数学模型可归纳为y=f(x)+，其中f(x)为非线性函数，为自变量以外