直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用yh0hP0hP()Q 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程. 设点P()是直线上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点. 1)当与直线同方向或P0和P重合时，yh0hP()P0hQP0P|P0P| 则P0QP0Pcos Q PP0Psin2)当与直线反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号P0P|P0P| P0QP0Pcos Q PP0Psin 仍成立设P0Pt，t为参数，又P0Q， tcos Q P =t sin 即是所求的直线的参数方程 P0Pt，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点P0()到点 P()的有向线段的数量，且|P0P|t| 当t0时，点P在点P0的上方； 当t0时，点P与点P0重合； 当t0时，点P在点P0的右侧； 当t0时，点P与点P0重合；yh0hPP0h 当t0时，点P在点P0的左侧；问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一 对应关系？ 我们把直线看作是实数轴， 以直线向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了 一一对应关系.问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2 ， 则P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1问题yh0hP1P0hP24：若P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？ 根据直线参数方程t的几何意义， P1Pt1，P2Pt2，P0为直线 上两点P1、P2的中点，|P1P|P2P| P1PP2P，即t1t2, t1t20 一般地，若P1、P2、P3是直线上的点， 所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点 则t3 （P1P3P2P3, 根据直线参数方程t的几何意义， P1P3= t3t1, P2P3= t3t2, t3t1=(t3t2,) ） 总结：1、 直线参数方程的标准式(1)过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程是 （t为参数）t的几何意义：t表示有向线段的数量，P() P0P=t P0P=t 为直线上任意一点. (2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2=t2t1 P1P2=t 2t 1 (3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3 则P1P2中点P3的参数为t3,P0P3= (4)若P0为P1P2的中点，则t1t20，t1t20,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1t2, t1t2 ，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得| PM| 中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*，M点的坐标为 即 M（，）(3) |AB|t 2t 1 点拨：利用直线的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线上两点间的距离、直线上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例7：已知直线经过点P（1,3）,倾斜角为， (1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离| PQ|； (2)求直线和圆16的两个交点A，B与P点的距离之积. 解：(1)直线经过点P（1,3）,倾斜角为,直线的标准参数方 程为，即（t为参数）代入直线： 得 整理，解得t=4+2 t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几 何意义可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.(2) 把直线的标准参数方程为（t为参数）代入圆的方程16，得,整理得：t28t+12=0， =82-4120,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆16的两个交点A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA| PB|=|t1 t2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(1,6)和B(1,2)，对称轴与轴平行，开口向右， 直线y=2+7被抛物线截得的线段长是4，求抛物线方程. 解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（，2） 方程为(y2)2=2P(x) (P0) 点B(1,2)在抛物线上，(22)2=2P(1) P=8P 代入 得(y2)2=2P2P+16 将直线方程y=2+7化为标准的参数方程tg=2, 为锐角， cos =, sin= 得（t为参数） 直线与抛物线相交于A，B, 将代入并化简得： 0 ，由=0,可设方程的两根为t1、t2， 又|AB|=t 2t 1 4 =(4)2 化简，得(6P)2=100 P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y2)2=3248点拨：(1)（对称性） 由两点A(1,6)和B(1,2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P一个未知量，由弦长AB的值求得P）. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.例9：已知椭圆，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点， 求| F2A| F2B|的最大值.解：由椭圆方程知2，b=,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为（t为参数） 代入椭圆方程整理得（3sin2）t26 t cos9=0 ，=36cos236（3sin2）0此方程的解为t1、t2，分别为A、B两点对应的参数，由韦达定理t1t2= t1 t2 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点 A, B所对应的参数值，| F1A|t1| |F1B|t2| |AB|=t 2t 1 | F1A|F1B|t1|t2|=|t1t2| 由椭圆的第一定义| F1A| F2A|24， | F1B|+| F2B|=24 | F2A| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|F1B| =16-4t 2t 1+|t1t2|=16-4+ =16- 当sin21时，| F2A| F2B|有最大值点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单，因此选择过F1 的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| F2A| F2B| 转化为| F1A|F1B|. 方法总结：利用直线的参数方程 （t为参数），给研究直线与圆锥曲线C：F()=0的位置关系提供了简便的方法. 一般地，把的参数方程代入圆锥曲线C：F()=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，=0,1、(1)当0时， 与C相交有两个交点；2、 当0时，方程=0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入的参数方程即可求的与C的两个交点A和B的坐标.3、 定点P0()是弦AB中点 t1+t2=04、 被C截得的弦AB的长|AB|t1t2|；P0AP0B= t1t2；弦AB中点M点对应的参数为；| P0M |=基础知识测试2：7、 直线(t为参数)与椭圆交于A、B两点，则|AB|等于( ) A 2 B C 2 D 8、直线 （t为参数）与二次曲线A、B两点，则|AB|等于( ) A |t1+t2| B