江苏高考解析几何压轴题30题

1.如图，在平面直角坐标 系 xOy 中，已知椭圆的离心率为 22 22 10 xy ab ab ，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2 2 （1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂 直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程. 解：（1）由题意得， ，且 ，解得 则， 2 2 c a 2 3 a c c 2,1,ac1b 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）当轴时，又，不合题意 ABx2AB 3CP 当与轴不垂直时，设直线的方程为， ABxAB 1yk x 11 ,x yA 22 ,xy 将的方程代入椭圆方程，得， AB 2222 124210kxk xk 则，的坐标为，且 22 1,2 2 22 1 12 kk x k C 2 22 2 , 1212 kk kk 2 222 2 212121 2 2 2 1 1 12 k ABxxyykxx k 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意 0k AB y 从而，故直线的方程为， 0k PC 2 22 12 1212 kk yx kkk 则点的坐标为，从而 P 2 2 52 2, 12 k kk 22 2 2 311 12 kk PC kk 因为，所以，解得 2PCAB 222 2 2 2 3114 2 1 1212 kkk kkk 1k 此时直线方程为或 AB 1yx1yx 2.已知椭圆的离心率为，一个交点到相应的准线的距离为 3，圆 N 的方程为 22 22 :1(0) xy Mab ab 1 2 为半焦距）直线与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点，分别设为 A、B. 2222 ()(xcyac c:(0)l ykxm k （1）求椭圆方程和直线方程； （2）试在圆 N 上求一点 P，使。2 2 PB PA B A O x y l P C 3.如图，已知椭圆 O：y21 的右焦点为 F，点 B，C 分别是椭圆 O 的上、 x2 4 下顶点，点 P 是直线 l：y2 上的一个动点（与 y 轴交点除外） ，直线 PC 交椭圆于另一点 M （1）当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求FBM 的面积； （2）记直线 BM，BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值； 求的取值范围PB PM 解：（1）由题意，焦点，当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，则直线 PM 的方程为，(0,1),(0, 1)BC( 3,0)F1 13 xy 即， 联立，解得或（舍） ，即 2 分 3 1 3 yx 2 2 1, 4 3 1, 3 x y yx 8 3 , 7 1 , 7 x y 0, 1 x y 8 3 1 (, ) 77 M 连 BF，则直线 BF：，即，而， 4 分1 13 xy 330 xy2BFa 22 8 312 3 |33| 3 777 27 1( 3) d 故 5 分 1133 2 2277 MBF SBF d A （2）解法一：设，且，则直线 PM 的斜率为，( , 2)P m 0m 1( 2)1 0 k mm 则直线 PM 的方程为，联立化简得，解得，8 1 1yx m 2 2 1 1, 1, 4 yx m x y 2 2 48 (1)0 xx mm 2 22 84 (,) 44 mm M mm 分 所以， 所以为定值 10 分 2 2 2 1 2 4 1 21 4 8 84 4 m m m km m m m 2 1( 2)3 0 k mm 12 3 13 44 kkm m 由知，(,3)PBm 232 2222 841212 (,2)(,) 4444 mmmm m PMm mmmm 所以， 13 分 3242 222 12121536 (,3) (,) 444 mm mmm PB PMm mmm 令，故， 2 44mt 22 (4)15(4)36788 7 tttt PB PMt ttt 因在上单调递增，故，即的取值范围为16 分 8 7yt t (4,)t 88 7479 4 PB PMt t PB PM (9,) 解法二：设点，则直线 PM 的方程为，令，得. 7 分 000 (,)0M xyx 0 0 1 1 y yx x 2y 0 0 (, 2) 1 x P y 所以，所以 0 1 0 1y k x 0 2 0 0 0 3121 1 y k x x y （定值）.10 分 22 00 0 0 12 2 2 000 0 3131 3113 44 1 yy yy k k xxxy 由知， 0 0 (,3) 1 x PB y 0 00 0 (,2) 1 x PMxy y 所以 2 00 00 000 2 00 0 2 32 1 23 1 1 xyxx PB PMxyy yy y = 13 分 （第（第 4 题图）题图） 2 00 00 0 2 0 0 4 12 72 32 1 1 yy yy y y y 令，则，因为在上单调递减， 0 10,2ty 818 7 tt PB PMt tt 8 7yt t (0,2)t 所以，即的取值范围为 16 分 88 7279 2 PB PMt t PB PM (9,) 4.如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足1 2 2 2 2 b y a x 0ba 1 F 2 FPM 1 PF （） ，为坐标原点.MPMF 1 RMFPO 2 O （1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围.1 48 22 yx ），（22PM2e 解：（1） 22 1 84 xy 12 ( 2,0),(2,0)FF 21 22 ,2, 24 OPF MF M kkk 直线的方程为：，直线的方程为： 4 分 2 F M2(2)yx 1 FM 2 (2) 4 yx 由解得： 点的横坐标为 6 分 2(2) 2 (2) 4 yx yx 6 5 x M 6 5 （2）设 00 (,),(,) MM P xyM xy 1 2FMMP uuuu ruuu r Q 100 2 (,)(,) 3 MM FMxc yxc y 00200 212242 (,),(,) 333333 MxcyF Mxcy ， 即 9 分 2 POF M 00 (,)OPxy 2 000 242 ()0 333 xc xy 22 000 2xycx 联立方程得：，消去得： ，解得： 或 12 22 000 22 00 22 2 1 xycx xy ab 0 y 222222 00 2()0c xa cxaac 0 ()a ac x c 0 ()a ac x c 分 解得：，综上，椭圆离心率 的取值范围为15 0 axa 0 () (0, ) a ac xa c 2 0aacac 1 2 e e 1 ( ,1) 2 分 5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率xoyC)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，左顶点为，过点作斜率为的直线 交椭圆于点，交 2 1 e)0 , 4(AA)0( kklCD 轴于点. （1）求椭圆的方程; （2）已知为的中点，是否存在定点yECPAD ，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明Q)0( kkEQOP Q 理由; （3）若过点作直线 的平行线交椭圆于点，求的最小值.OlCM OM AEAD 解：（1）因为左顶点为，所以，又，所以.2 分( 4 0)A ，4a 1 2 e 2c 又因为，所以椭圆 C 的标准方程为. 4 分 222 12bac 22 1 1612 xy （2）直线 的方程为，由消元得，.l(4)yk x 22 1 1612 (4), xy yk x ， 22 (4) 1 1612 xk x 化简得，所以，. 6 分 22 (4)(43)1612)0 xkxk 1 4x 2 2 2 1612 43 k x k 当时， 2 2 1612 43 k x k 2 22 161224 (4) 4343 kk yk kk 所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.8 2 22 161224 , 4343 ()D kk kk PADP 2 22 1612 , 43 43 () kk kk 3 (0) 4 OP kk k 分 P D M AO x y E 直线 的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，l(4)yk x0 x E(0,4 )k( , )(0)Q m n m OPEQ 则，即恒成立，所以恒成立，所以即1 OPEQ kk 34 1 4 nk km (412)30mkn 4120 30 m n ， ， 3 0 m n ， ， 因此定点的坐标为. 10 分Q( 3,0) （3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，12 分OMlAOMykx 22 1 1612 xy ykx ， M 2 4 3 43 x k 由，得 14 分OMlA 2 DAEA DA MM xxxxxxADAE OMxx 2 2 2 2 2 1612 149 43 4 33 43 4 8 3 k k k k k ，当且仅当即时取等号， 2 2 16 )2(243 3 43 k k 2 2 6 43 43 k k 3 2 k 所以当时，的最小值为 16 分 3 2 k ADAE OM 2 2 6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆(ab0)的两焦点分别为 F1(，0)，F2(，0)， 22 22 1 xy ab 33 且经过点(，) （1）求椭圆的方程及离心率；3 1 2 （2）设点 B，C，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称设 直线 CD，CB，OB，OC 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4，且 k1k2k3k4求 k1k2的值；求 OB2+OC2的值 解：（1）方法一：依题意，c，a2b2+3，2 分3 由，解得 b21(b2，不合，舍去)，从而 a24故所求椭圆方程为：离心率 e 5 分 22 1 3 4 1 3bb 3 4 2 2 1 4 x y 3 2 方法二 由椭圆的定义知，2a4， 即 a2又因 c，故 b21下 2222 11 (33)(0)( 33)(0) 22 3 略 （2）设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则 D(x1，y1)，于是 k1k2 8 分 2121 2121 yyyy xxxx 1 22 2 22 21 yy xx 22 21 22 21 (1)(1) 44 xx xx 1 4 方法一由知，k3k4k1k2，故 x1x2 1 4 12 4y y 所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2，所以，411 分 22 12 16(1)(1) 44 xx 2222 1212 164()xxx x 22 12 xx 又 2，故所以，OB2+OC2 5 14 分 22 2212 12 ()() 44 xx yy 22 2212 12 4 xx yy 22 12 1yy 2222 1122 xyxy 方法二由知，k3k4k1k2将直线 yk3x 方程代入椭圆中，得 9 分 1 4 2 2 1 4 x y 2 1 2 3 4 14 x k 同理，所以，411 分下同方法一 2 2 2 4 4 14 x k 22 12 22 34 44 1414 xx kk 2 2 3 3 44 1 14 14() 4 k k 7.如图，已知椭圆其率心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上、下顶点，过点),0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x M, 2 3 CB, 3 38 M 的直线分别与椭圆交于两点.)0)(2 ,( ttTTCTB,MFE, （1）椭圆的标准方程； （2）若的面积是的面积的倍，求的最大值.MTBCTEFkk y xO F1F2 B C （第 17 题） D 解：（1）由题意，解得，所以，椭圆方程为 4 分 2 3 28 3 , 23 ca ac 2,3ac1b 2 2 1 4 x y （2）解法一解法一： ， 6 分 1 2 TBC SBC tt 直线方程为：，联立，得，所以 到的距离TB 1 1yx t 2 2 1 4 1 1 x y yx t 2 8 4 E t x t 2 22 84 , 44 tt E tt :TC30 xtyt ， 直线方程为：，联立，得8 分 2 22 2 222 4 24 44 212 994 t t t t tt t t d ttt TC 3 1yx t 2 2 1 4 3 1 x y yx t 2 24 36 F t x t 所以，所以 2 22 2436 , 3636 tt F tt TF 2 2 2 22 2436 2 3636 tt t tt ，10 分 222 2222222 222 22 12336129129 36 3636 ttttttt t tt 所以， 2 2222 2 22 22 12921212 11 2236364 94 TEF ttt tt t STF d ttt tt 所以， 令，则，14 分 22 2 2 364 12 TBC TEF tt S k S t 2 1212tm 22 (8)(24)161924 1 3 mm k mmm 当且仅当，即时，取“” ， 所以的最大值为16 分24m 2 3t k 4 3 解法二：解法二：直线方程为，联立，得， 6 分TB 1 1yx t 2 2 1 4 1 1 x y yx t 2 8 4 E t x t 直线方程为：，联立，得， 8 分TC 3 1yx t 2 2 1 4 3 1 x y yx t 2 24 36 F t x t 10 分 1 sin 2 1 sin 2 TBC TEF TB TCBTC STB TC k STE TF TE TFETF TCTB TETF xxxxTB TC TE TFxxxx ， 12 分 22 22 22 436 824 1212 436 tt tt tt tt tt tt 令，则，14 分 2 1212tm 22 (8)(24)161924 1 3 mm k mmm 当且仅当，即时，取“” ，所以的最大值为 16 分24m 2 3t k 4 3 8.如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线 与轴交于点，与椭圆交xoy 22 22 :1(0) xy Cab ab 6 3 lxEC 于、两点. 当直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.ABlxECAB 2 6 3 y x B P A OEF1F2 第 18 题 （1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭CE 3 (,0) 2 A3AO 圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，CPPABE 22 11 EAEB E 并求出该定值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由，设，则， 6 3 c a 3 (0)ak k6ck 22 3bk 所以椭圆的方程为，因直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方C 22 22 1 93 xy kk lxEC6 AB xxk 程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为 5 分yk 2 6 2 3 k 6 3 k C 22 1 62 xy （2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，3x 22 1 62 xy 1y A( 3,1)A 由点的坐标为，所以，直线的方程为，E 3 (,0) 2 2 3 AB kPA 23 () 23 yx 联立直线与椭圆的方程，解得，PAC 37 (,) 55 B 又过原点，于是，所以直线的方程为，PAO(3, 1)P 4PA PA30 xy 所以点到直线的距离，10 分BPA 37 3 55 3 3 25 h 13 36 3 4 255 PAB S （3）假设存在点，使得为定值，设，E 22 11 EAEB 0 (,0)E x 当直线与轴重合时，有，ABx 2 0 2222 22 0 00 1221111 (6)(6)( 6) x EAEBxxx 当直线与轴垂直时， 由，解得，ABx 2222 00 1126 6 2(1) 6 xEAEBx 2 0 222 00 1226 (6)6 x xx 0 3x ，所以若存在点，此时，为定值 2. 12 分 2 0 6 2 6x E(3,0)E 22 11 EAEB 根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为，与AB( 3,0)E 11 ( ,)A x y 22 (,)B xyAB3xmy 椭圆联立方程组，化简得，所以，C 22 (3)2 330mymy 12 2 2 3 3 m yy m 12 2 3 3 y y m 又， 222222 22 111 11 1111 (1)(3)EAm yymyxy 所以， 2 1212 222222222 1212 ()21111 (1)(1)(1) yyy y EAEBmymymy y 将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值 216 分 22 11 2 EAEB (3,0)E 22 11 EAEB 9.如图，在平面直角坐标系中，椭圆 E：的离心率为，xOy 22 22 1(0) xy ab ab 2 2 直线 l：与椭圆 E 相交于 A，B 两点，C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 两点， 1 2 yx2 5AB 且直线 AC，BD 相交于点 M，直线 AD，BC 相交于点 N. （1）求的值；（2）求证：直线 MN 的斜率为定值., a b 解解：（1）因为 e ，所以 c2 a2，即 a2b2 a2，所以 a22b2 2 分 c a 2 2 1 2 1 2 故椭圆方程为1由题意，不妨设点 A 在第一象限，点 B 在第三象限 x2 2b2 y2 b2 由解得 A(b，b)又 AB2，所以 OA，即 b2 b25，解得 b23故 a，b5 分 y 1 2 x， x2 2b2 y2 b2 1，) 2 3 3 3 355 4 3 1 3 6 3 （2）方法一方法一：由（1）知，椭圆 E 的方程为 1，从而 A(2，1)，B(2，1) x2 6 y2 3 当 CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k2，C(x0，y0)，显然 k1k2 从而 k1 kCB 所以 kCB 8 分 y01 x02 y01 x02 y021 x024 3(1sdo1(f(x02,6)1 x024 2 x02 2 x024 1 2 1 2k1 同理 kDB于是直线 AD 的方程为 y1k2(x2)，直线 BC 的方程为 y1(x2) 1 2k2 1 2k1 由解得 从而点 N 的坐标为(，) y1 1 2k1 (x2)， y1k2(x2)， ) 4k1k24k12 2k1k21 2k1k24k21 2k1k21 用 k2代 k1，k1代 k2得点 M 的坐标为(，) 11 分 4k1k24k22 2k1k21 2k1k24k11 2k1k21 所以 kMN 1即直线 MN 的斜率为定值1 14 分 4(k1k2) 4(k2k1) 当 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(2，1) 仍然设 DA 的斜率为 k2，由知 kDB此时 CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点 M(2，1) 1 2k2 1 2k2 2 k2 x y A O B C D M N (第 18 题图) BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点 N(2，1)，从而 kMN1 也成立 2 k2 由可知，直线 MN 的斜率为定值1 16 分 方法二方法二：由（1）知，椭圆 E 的方程为 1，从而 A(2，1)，B(2，1) x2 6 y2 3 当 CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k2显然 k1k2 直线 AC 的方程 y1k1(x2)，即 yk1x(12k1) 由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0 yk1x(12k1)， x2 6 y2 3 1 ) 设点 C 的坐标为(x1，y1)，则 2x1，从而 x1 2(4k124k12) 12k12 4k124k12 2k121 所以 C(，)又 B(2，1)，所以 kBC 8 分 4k124k12 2k121 2k124k11 2k121 2k124k11 2k121 1 4k124k12 2k121 2 1 2k1 所以直线 BC 的方程为 y1(x2)又直线 AD 的方程为 y1k2(x2) 1 2k1 由解得从而点 N 的坐标为(，) y1 1 2k1 (x2)， y1k2(x2)， ) 4k1k24k12 2k1k21 2k1k24k21 2k1k21 用 k2代 k1，k1代 k2得点 M 的坐标为(，) 11 分 4k1k24k22 2k1k21 2k1k24k11 2k1k21 所以 kMN 1即直线 MN 的斜率为定值1 14 分 4(k1k2) 4(k2k1) 当 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(2，1) 仍然设 DA 的斜率为 k2，则由知 kDB此时 CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点 M(2，1) 1 2k2 1 2k2 2 k2 BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点 N(2，1)，从而 kMN1 也成立 2 k2 由可知，直线 MN 的斜率为定值1 16 分 10.在平面直角坐标系中，已知椭圆 C：，的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点xOy 22 22 1(0) xy ab ab 2 2 6 (1,) 2 A 作直线 lx 轴，点 M 为直线 l 上的动点（点 M 与点 A 在不重合） ，点 B 为椭圆右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于点 P （1） 求椭圆 C 的方程；（2） 求证：APOM； （3） 试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由OP OM 11.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、xOy:E 22 22 1(0) xy ab ab AxEB 两点，过、两点且分别与直线、AC垂直的直线相交于点已知椭圆的离心率为CBCABDE ，右焦点到右准线的距离为 （1）求椭圆的标准方程； 5 3 4 5 5 E （2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值DBCD 解：（1）由题意得，解得，所以， 5 3 c a 2 4 5 5 a c c 3,5ac 22 4bac 所以椭圆的标准方程为4 分E 22 1 94 xy （2）设，显然直线的斜率都存在，设为， 0000 (,),(,)B xyCxy,AB AC BD CD 1234 ,k k k k 则， 00 12 00 , 33 yy kk xx 00 34 00 33 , xx kk yy 所以直线的方程为：，,BD CD 00 0000 00 33 (),() xx yxxyyxxy yy 消去得，化简得，故点在定直线上运动10 分y 00 0000 00 33 ()() xx xxyxxy yy 3x D3x x y D C O B A （3）由（2）得点的纵坐标为，又，所以，D 2 00 000 00 39 (3) D xx yxyy yy 22 00 1 94 xy 2 2 0 0 9 9 4 y x 则，所以点到直线的距离 为， 2 0 0 0000 00 9 35 4 (3) 4 D y x yxyyy yy DBCh 0000 59 44 D yyyyy 将代入得，所以面积 0 yy 22 1 94 xy 2 0 3 1 4 y x BCD 2 0 0 119 6 1 2244 ABC y SBC hy ，当且仅当，即 22 00 2 0 0 1 2712727 44 1 242224 yy y y 22 00 1 44 yy 时等号成立， 0 2y 故时，面积的最大值为 16 分 0 2y BCD 27 4 12.如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、xOy 12 ,F F 22 22 1(0) xy ab ab 右焦点，顶点的坐标为，且是边长为的等边三角形. 求椭圆的方B0,b 12 BFF2 1 程； 过右焦点的直线 与椭圆交于两点，记，的面积分别为.若，求直线 的斜率. 2 2 Fl,A C 2 ABF 2 BCF 12 ,S S 12 2SSl 13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ，C， D 分别为线段 OA， ( 3,4), (9,0)AB OB 上的动点，且满足 AC=BD. （1）若 AC=4，求直线 CD 的方程; （2）证明：OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O). 解析：(1) 因为 ( 3,4)A ，所以 22 ( 3)45OA ，1 分 又因为 4AC ，所以 1OC ，所以 3 4 (, ) 5 5 C ，由 4BD ，得 (5,0)D ， 4 分 所以直线的斜率，所以直线的方程为，即6 分 CD 4 0 1 5 37 5 5 CD 1 (5) 7 yx 750 xy （2)设 ( 3 ,4 )(01)Cmmm ，则 5OCm 7 分 则 55ACOAOCm ，因为AC BD ，所以 5 +4ODOBBDm ，所以D点的坐标为 (5 +4,0)m 8 分 又设 OCD 的外接圆的方程为 22 +0 xyDx EyF ，则有10 分 22 2 0, 916340, 54540. F mmmDmEF mmDF 解得 (54),0DmF , 103Em ,所以 OCD 的外接圆的方程为 22 (54)(103)0 xymxmy ，12 分 整理得，令 22 43 =0, +2 =0 xyxy xy ，所以 0, 0. x y （舍）或 2, 1. x y 22 435 (2 )0 xyxym xy 所以OCD的外接圆恒过定点为(2, 1) 14 分 14.如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左xOy 2 2 :C 22 22 1(0) xy ab ab 顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分AOC,P Q,PA QA 别与轴交于两点若直线斜率为时，y,M NPQ 2 2 2 3PQ （1）求椭圆的标准方程；C N M Q A O P x y x y O A B C D F （第 18 题） E （2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论MNPQ 解：（1）设，直线斜率为时，分 00 2 (,) 2 P xxPQ 2 2 2 3PQ 22 00 2 ()3 2 xx 2 0 2x ，椭圆的标准方程为 分 22 21 1 ab 22 2 2 cab e aa 22 4,2abC 22 1 42 xy （）以为直径的圆过定点设，则，且，即，MN(2,0)F 00 (,)P xy 00 (,)Qxy 22 00 1 42 xy 22 00 24xy ，直线方程为： ， ，( 2,0)A PA 0 0 (2) 2 y yx x 0 0 2 (0,) 2 y M x 直线方程为： ， 分QA 0 0 (2) 2 y yx x 0 0 2 (0,) 2 y N x 以为直径的圆为，即， 12 分MN 00 00 22 (0)(0)()()0 22 yy xxyy xx 2 22 000 22 00 44 0 44 x yy xyy xx ，令，解得， 22 00 42xy 22 0 0 2 20 x xyy y 0y 22 20 xy2x 以为直径的圆过定点16 分MN(2,0)F 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 2 2 22 1(0) y x ab ab 的右焦点为(1 0)F ，离心率为 2 2 分别过O， F 的两条 弦 AB ，CD相交于点E（异于A，C两点） ，且OEEF （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC， BD的斜率之和为定值 解（1）由题意，得1c ， 2 2 c e a ，故2a ， 从而 222 1bac， 所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 5 分 （2）证明：设直线AB的方程为ykx， 直线CD的方程为(1)yk x ， 7 分 由得，点A，B的横坐标为 2 2 21k ， 由得，点C， D 的横坐标为 22 2 22(1) 21 kk k ， 9 分 记 11 ( )A x kx， 22 ( )B xkx， 33 ( (1)C xkx， 44 ( (1)D xkx，则直线AC， BD的斜率之和为 1324 1324 (1)(1)kxkxkxkx xxxx 13241324 1324 (1)()()(1) ()() xxxxxxxx k xxxx 12341234 1324 2()()() ()() x xx xxxxx k xxxx 13 分 2 2 222 1324 2(1) 24 20 212121 ()() k k kkk k xxxx 0 16 分 16.椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为 3 2 ，点A在椭圆上，以F为圆心， FA为半径的圆与l的两个公共点是,B D （1）若FBD是边长为的等边三角形，求圆的方程；2 （2）若,A F B三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为2，求椭圆方程mm 解：设椭圆的半长轴是a，半短轴是b，半焦距离是c， 由椭圆C的离心率为 3 2 ，可得椭圆C方程是 22 22 1 4 xy bb ，2 分（只要是一个字母，其它形式同样得分， ） 焦点( 3 ,0)Fb，准线 4 3 b x ，设点 00 (,)A xy， （1）FBD是边长为的等边三角形，则圆半径为，且F到直线l的距离是，223 又F到直线l的距离是 22 3 abb FMc cc ， 所以，所以3 3 b 3b 3 3c 所以，圆的方程是。 6 分 22 (3 3)4xy （2）因为,A F B三点共线，且F是圆心，所以F是线段AB中点， 由B点横坐标是 4 3 b 得， 2 0 42 22 333 33 a xcbbb c ， 8 分 再由 22 00 22 1 4 xy bb 得： 2 222 0 0 2 43 x ybb， 0 6 3 yb，所以直线m斜率 0 0 6 3 2 3 3 b y k xcb 10 分 直线m：2()yxc ，220 xyc12 分 原点O到直线m的距离 2 3 c d ，依题意 2 2 3 c ，6c ，所以2b ，所以椭圆的方程是 22 1 82 xy 15 分 17.如图，在平面直角坐标系中，椭圆 C：（）的左焦点为，右xOy 22 22 1 xy ab 0abF 顶点为 A，动点 M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点） ，设线段交椭圆 C 于xFM 点 P，已知椭圆 C 的离心率为，点 M 的横坐标为 （1）求椭圆 C 的标准方程； 2 3 9 2 （2）设直线 PA 的斜率为，直线 MA 的斜率为，求的取值范围 1 k 2 k 12 kk 解：（1）由已知，得， 2 2 , 3 9 , 2 c a a c M A P F O x y 18.已知椭圆 E： 22 22 1(a0) xy b ab +=过点(0,2），且离心率为 2 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 1xmymR=-，()交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 9 ( 4 -, 0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由 解法一：()由已知得 222 2, 2 , 2 , b c a abc = = =+ 解得 2 2 2 a b c = = = 所以椭圆 E 的方程为 22 1 42 xy += 故 2222 22 012 222 |AB|52553(m +1)25172 |GH|my(m +1)y0 42162(m2)m21616(m2) mm y + -=+=-+= + 所以 |AB| |GH| 2 ，故 G 9 ( 4 -, 0)在以 AB 为直径的圆外 解法二：()同解法一. ()设点 1122 (y ),B(,y ),A xx，则 1122 99 GA(,),GB(,). 44 xyxy=+=+ 由 22 22 1 (m2)y230, 1 42 xmy my xy =- +-= += 得所以 1212 22 23 y +y =,y y = m2m2 m + ， 12121212 9955 GA GB()()(my)(my) 4444 xxy yy y=+=+ A 22 2 1212 22 52553(m +1)25 (m +1)y(y ) 4162(m2)m216 m ym y=+=-+ + 2 2 172 0 16(m2) m + = + 所以cos GA,GB0,GAGB 又，不共线，所以AGB为锐角 故点 G 9 ( 4 -, 0)在以 AB 为直径的圆外 19.如图，圆 O 与离心率为的椭圆 T：（）相切于点 M。 2 3 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba) 1 , 0( 求椭圆 T 与圆 O 的方程； 过点 M 引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D（均不重合）. 1 l 2 l P 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别为、，求的最大值； 1 d 2 d 2 2 2 1 dd 若，求与的方程.MDMBMCMA43 1 l 2 l 解: (1)由题意知: 解得可知: 222 , 1, 2 3 abcb a c 3, 1, 2cba 椭圆的方程为与圆的方程4 分C1 4 2 2 y x O1 22 yx (2)设因为,则),( 00 yxP 1 l 2 l 2 0 2 0 22 2 2 1 ) 1(yxPMdd 因为 所以,7 分1 4 2 0 2 0 y x 3 16 ) 3 1 (3) 1(44 2 0 2 0 2 0 2 2 2 1 yyydd 因为 所以当时取得最大值为，此时点9 分11 0 y 3 1 0 y 2 2 2 1 dd 3 16 ) 3 1 , 3 24 (P (3)设的方程为,由解得；由解：11 1 l1 kxy 1 1 22 yx kxy ) 1