曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘_第1页
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文档简介

一、曲线的凹凸性与拐点,第四模块微积分学的应用,第六节曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘,二、函数图形的描绘,如图所示，凡呈凸形的弧段，,当自变量x由x1增大到x2时，,其上的切线斜率是递减的(如图(a)左，(b)左)，,凡呈凹形的弧段，,当x由x1增大到x2时，,其上的切线斜率是递增的(如图(a)右，(b)右)，,我们将以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性.,一、曲线的凹凸性与拐点,(a),(b),定义1设函数y=f(x)在某区间I内可导，,如果f(x)在I内是递增的，,则称曲线y=f(x)在区间I内是凹的，,I区间称为凹区间；,如果f(x)在I内是递减的，,则称曲线y=f(x)在区间I内是凸的，,I区间称为凸区间.,定义2设函数y=f(x)在区间I内连续，,则y=f(x)在区间I内的凹凸分界点，,叫做曲线y=f(x)的拐点.,定理1设函数y=f(x)在区间I内的二阶导数f(x)0，,则曲线y=f(x)在区间I内是凹的；,若f(x)0，,则在此区间I内曲线y=f(x)是凸的.,定理2(拐点的必要条件),且点(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点，,则f(x0)=0.,若函数y=f(x)在x0处二阶导数f(x0)存在，,注意f(x0)=0是点(x0，f(x0)为拐点必要条件，,而非充分条件.,例如y=x4，则y=12x2，,当x=0时，y(0)=0，,但(0,0)不是曲线y=x4的拐点，,因为点(0,0)两侧二阶导数不变号.,定理3若f(x0)=0，且在x0两侧f(x)变号，,则点(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点.,例1讨论曲线f(x)=x3-6x2+9x+1的凹凸区间与拐点,解定义域为(,).,因为,f(x)=3x2-12x+9，,f(x)=6x-12=6(x-2)，,令f(x)=0，可得x=2.,当x(,2)时，,f(x)0，,此区间是凹区间,当x=2时，f(x)=0，因f(x)在x=2的两侧变号，而f(2)=3，所以(2,3)是该曲线的拐点.,本题也可以下表给出解答：,例2讨论曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点.,解定义域为(,).,因为,令y=0得x=-1，x=1.,当x(,-1)时，,y0，,此区间是凹区间；,当x(1,+)时，,y0，,y|x=1=-60时，y0，,所以x0时，曲线y=f(x)是凸的，,且(0,0)为拐点.,将上述讨论列为下表：,曲线y=3xx3无水平渐近线和垂直渐近线.,综合上述结论，,即可描出所给函数的图形.,y=3xx3,令y=0，,可知曲线y=3xx3与x轴交在,例6描绘函数的图形.,解该函数的定义域为(-,).,该函数为偶函数，,因此,只要作出它在(0,)内的图形，,即可根据其对称性得到它的全部图形,求其一、二阶导数，得,令y=0.,令y=0，,得驻点x=0，,当x时y0，,所以y=0为该函数图形的水平渐近线.,讨论y
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