数字电子技术基础 第二章逻辑代数和逻辑函数化简演示幻灯片

1,第二章逻辑代数和逻辑函数化简,2.1基本逻辑运算和复合逻辑运算,2.2逻辑代数的基本定律及规则,2.3逻辑函数的表示方法及其转换,2.4逻辑函数的化简方法,2,与逻辑,2.1基本逻辑运算和复合逻辑运算,或逻辑,非逻辑,数码,0,1,相反的逻辑状态,3,1.与逻辑：,当决定一事件的所有条件都具备时，这个事件才发生,这样的逻辑关系称为与逻辑。,功能表,2.1.1基本逻辑运算,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,4,真值表,与逻辑的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,开关断用0表示,开关闭合用1表示,灯亮用1表示,灭用0表示,（Truthtable）,5,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,见0为0全1为1,与门（ANDgate),6,2.或逻辑：,决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。,或逻辑关系,真值表,0,1,1,1,开关断用0表示,开关闭合用1表示,灯亮用1表示,灭用0表示,7,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,0,1,1,1,见1为1全0为0,或门（ORgate),8,例：根据输入波形画出输出波形,A,B,见“0”为“0”，全“1”为“1”,见“1”为“1”，全“0”为“0”,&,A,9,3.非逻辑：,只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,非逻辑关系,1,0,0,1,非门（NOTgate),10,(1)与非逻辑,2.1.2复合逻辑运算,真值表,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,Y1,1,1,1,0,见0为1全1为0,逻辑函数式,逻辑符号,11,(2)或非逻辑,2.1.2复合逻辑运算,真值表,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,1,Y2,1,0,0,0,见1为0全0为1,逻辑函数式,逻辑符号,12,(3)与或(非)逻辑,(真值表略),与或非逻辑,与或逻辑,13,(4)异或逻辑,(5)同或逻辑,(异或非),0,1,1,0,00,01,10,11,=AB,1,0,0,1,00,01,10,11,14,曾用符号,美国符号,国标符号,2.1.3逻辑符号对照,15,国标符号,曾用符号,美国符号,16,或：,0+0=0,1+0=1,1+1=1,与：,00=0,01=0,11=1,非：,二、变量和常量的关系(变量：A、B、C),或：,A+0=A,A+1=1,与:,A0=0,A1=A,非：,2.2.1逻辑代数的基本定律,一、常量之间的关系(常量：0和1),2.2逻辑代数的基本定律及规则,17,三、与普通代数相似的定理,交换律,结合律,分配律,证明公式,方法一：公式法,18,证明公式,方法二：真值表法,(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中),ABC,19,四、逻辑代数的一些特殊定理,同一律,A+A=A,AA=A,还原律,证明：,AB,20,五、若干常用公式,分配律,21,(5),即,=AB,同理可证,22,六、关于异或运算的一些公式,异或,同或,AB,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,=AB,23,(4)常量和变量的异或运算,(5)因果互换律,如果,则有,证明,24,课前回顾,刘雪婷,邮箱：liuxuet,25,2.2.2逻辑代数的基本规则,1.代入规则：,等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。,26,27,例如：已知,2.反演规则：求逻辑函数的反函数,则,将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量,已知,则,28,3.对偶规则：,如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。,将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”,例如,对偶规则的应用：证明等式成立,00=0,1+1=1,29,2.3.1逻辑表达式,2.3逻辑函数的表示方法及其转换,2.3.2真值表,2.3.3卡诺图,2.3.4逻辑图,2.3.6逻辑函数表示方法间的相互转换,2.3.5波形图,30,逻辑函数的基本概念,逻辑函数：,如果输入逻辑变量A、B、C的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被唯一确定，则称Y是A、B、C的逻辑函数。并记作,31,逻辑函数具有以下特点：,1.输入变量与输出变量之间的逻辑关系；,2.函数由三种基本逻辑运算组成；,3.输入和输出逻辑变量的取值只能是0或1。,逻辑函数的相等,若两逻辑函数具有相同的真值表，则这两个逻辑函数相等。,32,从逻辑问题建立逻辑函数的过程,在现实生活中，为了解决实际逻辑问题，应根据提出的问题，确定哪些是逻辑自变量，哪些是逻辑因变量，然后研究他们之间的因果关系，列出真值表，再根据真值表写出逻辑表达式。,33,通过一个简单的例子加以介绍。右图是一个控制楼梯照明灯的电路。为了省电，人在楼下开灯，上楼后可关灯；反之亦然。A、B是两个单刀双掷开关，A装在上，B,装在楼下。只有当两个开关同时向上或向下时，灯才被点亮。试用一个逻辑函数来描述开关A、B与照明灯之间的关系。,34,解：,(1)设开关A、B为输入变量:开关接上面为“1”，开关接下面为“0”,设电灯L为输出变量，灯亮L=1，灯灭L=0。,(3)根据真值表，写出逻辑表达式：,(2)列出A、B所有状态及对应输出L的状态，即真值表。,把对应函数值为“1”的变量组合挑出（即第1、4）组合，写成一个乘积项；,最后，将上述乘积项相或，即为所求函数：,01,10,11,1,0,01,35,优点：,书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。,缺点：,逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。,2.3.1逻辑表达式,我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。,36,或与式,与或非式,1.逻辑表达式的类型,与或式,与非-与非式,或与非式,或非-或非式,或非-或式,核心,37,标准与或表达式,2.逻辑函数的标准形式,1）最小项,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,38,（1）最小项的概念：,包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。,(2变量共有4个最小项),(4变量共有16个最小项),(n变量共有2n个最小项),(3变量共有8个最小项),39,对应规律：1原变量0反变量,（2）最小项的性质：,00000001,00000010,00000100,00001000,00010000,00100000,01000000,10000000,000001010011100101110111,ABC,a任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1；,ABC001,ABC101,b任意两个最小项的乘积为0；,c全体最小项之和为1；,d任何两个相邻项均可合并成一项并消去一个互补因子。,40,（3）最小项的编号：,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。,对应规律：原变量1反变量0,000,001,010,011,100,101,110,111,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,41,2）最小项标准表达式,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。,例写出下列函数的标准与或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,42,例写出下列函数的标准与或式：,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,与前面m0相重,43,优点：,直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。,2.3.2逻辑真值表,44,2.3.3卡诺图,优点：,便于求出逻辑函数的最简与或表达式。,缺点：,只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。,1,1,1,1,0,0,0,0,1.变量卡诺图的画法,卡诺图：,最小项方格图(按循环码排列),（1）变量卡诺图一般都化成正方形或矩形,（2）按循环码(格雷码)排列变量取值顺序。,45,卡诺图：,(按循环码排列),G2G1G0,B2B1B0,000,000,001,001,010,011,011,010,100,110,101,111,110,101,111,100,46,2.变量的卡诺图,(四个最小项),A,B,47,三变量的卡诺图：,八个最小项,A,BC,0,1,00,01,卡诺图的实质：,紧挨着,行或列的两头,对折起来位置重合,逻辑相邻：,两个最小项只有一个变量不同,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,48,五变量的卡诺图：,四变量的卡诺图：,十六个最小项,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。,AB,CDE,以此轴为对称轴（对折后位置重合）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,三十二个最小项,49,3.逻辑函数的卡诺图表示法,1）.根据变量个数画出相应的卡诺图；,2）.将函数化为最小项之和的形式；,3）.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余位置填0或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,50,A,B,Y,C,优点：,最接近实际电路。,缺点：,不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。,2.3.4逻辑图,51,波形图,输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形,A,B,Y,优点：,形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。,2.3.5波形图,52,2.3.6逻辑函数各种表示方法间的相互转换,1.真值表,函数式,逻辑图,例设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A)和两名副裁判(B、C)中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。,(1)真值表,函数式,将真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得Y的逻辑函数式。,53,函数式,卡诺图化简,1,1,0,1,0,0,0,0,(2)函数式,逻辑图,A,B,Y,C,54,真值表,函数式,2.逻辑图,55,2.4逻辑函数的化简方法,2.4.1关于逻辑函数化简的几个问题,1.化简的标准（1）与项个数最少（2）每个与项中变量个数最少,卡诺图法,代数法,2.化简的方法,56,2.4.2逻辑函数的代数化简法,1.并项法:,例,例,57,2.吸收法：,例,例,例,58,3.消去法：,例,例,59,4.配项消项法：,或,或,例,例,冗余项,60,综合练习：,61,课前回顾,刘雪婷,邮箱：liuxuet,62,2.4.3利用卡诺图化简逻辑函数,几何相邻：,相接紧挨着,相对行或列的两头,相重对折起来位置重合,逻辑相邻：,例如,两个最小项只有一个变量不同,化简方法：,卡诺图的缺点：,函数的变量个数不宜超过6个。,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。,63,1.卡诺图中最小项合并规律：,(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子,0,4,3,2,1,9,4,6,64,(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,65,(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n个相邻最小项合并可以消去n个因子,总结：,66,2、用卡诺图化简逻辑函数,化简步骤:,(1)画函数的卡诺图,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,例,1,1,1,1,1,1,1,1,解,67,画包围圈的原则：,(1)先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。,(2)圈越大越好，但圈的个数越少越好。,(3)最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。,(4)必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。,不正确的画圈,68,例,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,多余的圈,注意：先圈孤立项,利用图形法化简函数,69,利用图形法化简函数,例,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,70,例,用图形法求反函数的最简与或表达式,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,(2)合并函数值为0的最小项,(3)写出Y的反函数的最简与或表达式,71,2.4.4具有无关项的逻辑函数的化简,1.无关项（约束）的概念和约束条件,(1)约束：,输入变量取值所受的限制,例如，逻辑变量A、B、C，分别表示电梯的升、降、停命令。,A=1表示升，B=1表示降，C=1表示停。,ABC的可能取值,(2)约束项：,不会出现的变量取值所对应的最小项。,不可能取值,001,010,100,000,011,101,110,111,72,(3)约束条件：,(2)在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示。,000,011,101,110,111,由约束项相加所构成的值为0的逻辑表达式。,约束项：,约束条件：,或,2.约束条件的表示方法,(1)在真值表和卡诺图上用叉号()表示。,例如，上例中ABC的不可能取值为,73,3.具有约束的逻辑函数的化简,例化简逻辑函数,化简步骤:,(1)画函数的卡诺图，顺序为：,先填1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,(2)合并最小项，画圈时既可以当1，又可以当0,(3)写出最简与或表达式,解,74,例化简逻辑函数,约束条件,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,(2)合并最小项,(3)写出最简与或表达式,合并时，究竟把作为1还是作为0应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。,注意：,75,第二章小结一、常用逻辑关系及运算,1.三种基本逻辑运算：,与、或、非,2.四种复合逻辑运算：,与非、或非、与或非、异或,二、逻辑代数的公