加法原理和乘法原理及多重集的排列组合（课堂PPT）

加法原理和乘法原理,1,总体结构,1加法原理2乘法原理3集合的排列4集合的组合5多重集的排列6多重集的组合,2,加法原理,加法原理（additionprinciple）把集合S划分为S1,S2,Sn这n块，则S的个数可以通过找到它的每一个部分的元素的个数来确定，我们把这些数相加，得到：SS1S2Sn注意，运用加法原则，把要计数的集合S划分成不太多的易于处理的块S1,S2,Sn,3,加法原理应用,例：一名学生想选修一门数学课程或者一门生物课程。现有4门数学课程和3门生物课程作为该生的选课范围，那么该生的选择有几种？解：应用加法法则:4+3=7(种),4,乘法原理,乘法原理（multiplicationprinciple）令S是元素的序偶（a,b）的集合，其中第一个元素来自大小为p的一个集合，而对于a的每个选择，元素b存在着q种选择。于是S的大小为pq；|S|=pq如果某事件能分成连续n步完成，第一步有r1种方式完成，且不管第一步以何种方式完成，第二步都始终有r2种方式完成，而且无论前两步以何种方式完成，第三步都始终有r3种方式完成，以此类推，那么完成这件事共有r1r2rn种方式注意，运用乘法原则，后步结果可随前步结果而变化，但每一步完成方式的数量却是固定不变，不依赖任何一步。,5,乘法原理应用,例：粉笔有3种不同的长度，8种不同的颜色，4种不同的直径。粉笔有多少个不同的种类？解：3个属性之间没有限制条件，应用乘法原理：384=96种,6,集合的排列,令r为正整数。我们把n个元素的集合S的一个r-排列理解为n个元素中的r个元素的有序排列我们用P(n，r)表示n个元素的r-排列的个数。如果rn，则P(n，r)=0对于正整数n和r，rn，有P（n，r）=n（n-1）（n-2）（n-3）（n-r+1）P（n，r）也可以表示为,7,集合排列的应用,例：将字母表中26个英文字母排序，使得元音字母a,e,i,o,u中任意两个都不能相继出现，这种排序的方法的总数是多少？解：首先要确定21个辅音字母的排序问题，辅音字母的排列方式有21！种。因为元音字母不能相连，所以只能将元音字母放在辅音字母中间的“空隙”里，22个空间放5个元音字母，其排列数为P(22,5).所以排序的方法数为:,8,集合的循环排列,如果不将集合S中的元素排列成线性而是排列成环形，称为循环排列。如下图所示的循环排列所对应的线性排列有：123456234561345612456123561234612345共6个循环排列的一般公式为：,9,集合的组合,令r为非负整数。我们把n个元素的集合S的r-组合理解为从S的n个元素中对r个元素的无序选择。换句话说，S的一个r-组合是S的一个子集，该子集由S得n个元素中的r个组成，即S的元素一个r-子集。如果rn,则=0如果rn，,10,集合组合的应用,例：平面上给出25个点，没有3个点共线。这些点确定多少条直线？确定多少个三角形？解：因为没有3个点处于同一条直线上，每一对点就确定一条直线。因此，所确定的直线的数目等于25-个元素集的2-组合数，所取代的直线个数为:与之类似，每3个点确定一个三角形，因此，所确定的三角形的个数为:,11,多重集的排列,多重集指的是集合S中有多个无区分的重复出现的元素。如：S2a，1b，3c指的是集合S中含有2个a，1个b，3个c，同名元素没有区别。多重集的表示S=n1a1,n2a2,nkak如果S是1个多重集，那么S的一个r-排列是S的r个元素的一个有序排放。如果S的元素总数是n（包括计算重复元素），那么S的n-排列也成为称为S的排列。令S是一个多重集，有k个不同类型的元素，每个元素的重数为，设S的大小为排列数为C(n，)C(n，)C(n，)=令S是一个多重集，有k个不同的元素，每个元素都有无限重复次数，则S的r-排列数：kr,12,多重集排列应用,单词MISSISSIPPI的字母排列数为：解：相当于多重集1M,4I,4S,2P的排列数即：,13,多重集组合,如果S是1个多重集，那么S的r-组合数S中的r个元素的一个无序选择。因此，S的一个r-组合本身就是一个多重集S的一个含r个元素的子多重集。令S为具有k种类型元素的一个多重集，每种元素均具有无限的重复数。则S的r-组合的个数等于也就是证：S=，S的任意一个r-组合均呈x1a1,x2,xkak，其中x1+x2+.+xk=r，xi为非负整数。满足x1+x2+.+xk=r的一组序列x1，x2，xk对应S的一个r-组合。S的r-组合的个数等于x1+x2+.+xk=r的解的个数,14,多重集组合,我们可以这样理解，用1代表组合中的一个元素，共有r个1，用*代表分割符，有（k-1）个。将*插入r个1中，形成了1个新的多重集示例：1111*11*111*1代表元素总数为10，分成4种。第一个*之前为，之后依次为，其个数分别为4个，2个，3个，2个。S的组合数可以理解为在（r+k-1）中找到（k-1）个位置放分隔符即=,15,多重集组合应用,例：一家面包房生产8种面包圈。如果1盒含有12个面包圈，能够买到多少种不同的盒装面包？解：相当于8种类型的12-组合，可