浅析多元函数的最值问题

浅析多元函数最值问题 作 者-欧金秀 宜宾学院数学学院数学与应用数学学院2008级2班 四川 宜宾 644000 指导老师-张 玲摘要 ： 最值问题是数学永恒的话题，也是历年各类考试的热门考点。而在最值求解中，尤以多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变而具有挑战性，本文主要通过消元法、不等式法以及数形结合的方法结合典型的例子阐述求多元函数最值问题的方法技巧与创新思维。关键词： 多元函数 最值 消元 不等式 数形结合 目录1、引言及相关定义22、求最值的方法 32.1消元法 32.1.1 直接消元 32.1.2 拉格朗日乘数法 52.2 不等式法 62.2.1均值不等式 62.2.2琴生不等式 92.2.3幂平均不等式 112.2.4柯西不等式 122.3 数形结合法 13结束语 15致谢词 16参考文献 161、引言及相关定义 函数是数学最重要的内容之一，同时又是解决数学问题的重要理论之一。在科技生产、经济管理等诸多领域中，常常需要解决在一定条件下怎样使得投入最小，产出最多、效益最高等问题。而这些问题即为函数的最值问题，故函数最值的研究也具有重要的价值。如何用最简单高效的方法求函数是最值问题，仍需要不断的探索与创新。 定义1【竞赛数学】： 设函数的定义域为D。如果存在D。使得任意实数xD，都有f(x) ，则称为函数在D上的最大值。可以简记为如果存在D，使得任意实数xD，都有f(x) ，则称为函数在D上的最小值。可以简记为一元函数最值的概念可以类似的推广到多元函数的情形。对于定义域在上的元函数设（）D，若对一切（），总有，或者称在点（）达到最大（小）值，而点（）为最值点。定义2【竞赛数学】： 若有n个变量满足方程（不等式）组 ， 其中mn。求出变量的一组值，使得函数 y= 取得最大值（最小值）。也就是说，如果（）满足方程，且对满足的一切（），总有 或则分别称为函数在条件下的最大值（最小值）。这种最值称为条件最值，条件中的等号也可以部分或全部改为不等号，并称为约束条件，而称为目标函数。最值定理： 若函数在闭区间上连续，则该区间上一定有最值。注：相关定义及定理在此不做证明，可参考数学分析及竞赛数学等。2、求函数最值的方法2.1消元法求函数最值消元法是指通过消去变量(或未知数) 从而达到解题目的的方法。如果能先消去一些变量(或未知数) 使其减少到一个,使数量关系单一化,则便于找到解题途径。多元函数最值难求,关键在于变量较多。如果能够采取合理的手段消元,使变量减少甚至只剩下一个变量,则问题往往迎刃而解。消元法是求多元函数最值的最基本方法。 2.1.1直接消元法 有的函数很容易根据约束条件消去一些变元，就可直接消元。例1. 已知是方程的两个实数根，问当为何值时，有最大值，并求出其最大值。分析： 根据方程有根的条件得出关于k的范围，再由根与系数的关系得到约束条件，进而根据目标函数求其最值。解： 由于所给二次方程有实数根，故判别式 ，即 韦达定理，有 因此，本题实际上就是求在约束条件 下，求目标函数 的最大值。这里包含的变元有，k。为了消去，将代入，得 记 而由可知 于是问题转化求在区间上的最大值，由在I的单调性可知当时，有最大值18.例2. 在约束条件下，求函数 的最大值。分析：约束条件很显然是个椭圆方程，我们可以利用其参数方程将二元转化为一元，达到消元的目的，从而利用一元函数求最值的方法求其最值解：约束条件 可化为 令 ， 则 有 令，由转化为讨论函数 ，当取得最大值时，取得最大值此时 ， 解得 注： 如果约束条件符合某些特征，根据解析几何的有关知识，将其化为参数（或极坐标）方程（或不等式），从而达到消元的目的。例3 设，求的最值。解： 设 （为参数），则 从而 ，因，故当 即 时，当 （即或）时， 本题实际上是在极坐标下，求原点到椭圆上各点的最大和最小距离。一般来说，对于一个条件最值问题，若条件式（等式或不等式）及目标函数都是二元二次的，在极坐标下求解会比较简单。综上述： 值得注意是，消元后，留下的元（变量或未知数）的取值范围往往并不是任意的，而要根据题设条件挖掘出来，而这往往成为解题的关键。2.1.2 Lagrange乘数法 当有些函数很难消元，或者消元后反而使函数变得更复杂，则可利用拉格朗日乘数法求最值。拉格朗日乘数法 如求二元函数 在条件=0下的极值，设拉格朗日函数=解方程组 注意：此法求最值的必要条件，不充分。但是在某些实际问题中，若驻点存在且唯一又在区域的内部，则唯一驻点一定为最值点。 求出的驻点是可能的极值点，比较驻点与边界点函数值大小可得最值。 例1. 要设计一个容量为的长方体开口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？解：设 x , y , z 分别表示长、宽、高， 则有，所求表面积为 令解方程组 得唯一驻点即最值点为， 此时= =例2. 求表面积为而体积为最大的长方体的体积.分析：这是一个有关函数最值的实际问题，先找到目标函数，确定定义域即约束条件，求其极值点，进而确定最值。解： 设长方体的三棱长为，则有 2xy+2yz+2xz=即=2xy+2yz+2xz-=0 (1)作拉格朗日函数 L(x,y,z,)=xyz+(2xy+2yz+2xz-),由 =yz+2(y+z)=0 =xz+2(x+z)=0 得， ， =xy+2(x+y)=0 得 x=y=z (2) 将(2)代入 (1)，得唯一可能极值点x=y=z=。由该问题的实际意义可知，此点就为所求最大值点。即正方形的体积最大，最大体积为V=。综上述：应用拉格朗日求函数的最值要先找到目标函数，确定定义域即约束条件，求其可能最值点，进而确定最值。2.2 不等式法 不等式与函数的最值问题是密切相关。由一个最值问题的解，可以得到一个不等式。例如，若在上的最大值及最小值是A,B则有。而由，使不等式成为求最值的重要工具之一，2.2.1 均值不等式均值不等式：设是n个正数，则其中 当且仅当时取等定理1：设正变数满足方程=S, 这里都是正常数，那么乘积当时为最大。定理2：设正变数满足方程，若都是正常数，那么函数当时为最小。在将均值不等式应用于求最值时,要求比较高,可概括为:“一正、二定、三相等”。即: (1) 所涉及的量必须都正数; (2) 这些正数的“和”或“积”是定值:当积为定值时,可以求和的最小值;当和为定值时,可以求积的最大值; (3) 这些正数必须相等。这三点缺一不可,否则,结论不成立。例1. 如图在平面直角坐标系中，在Y轴的正半轴（原点除外）上给定两个定点A、B，试在X 轴（原点除外）上求一点C，使ACB取得最大值。解：设点A(0，a) B（0，b） C（x，0）其中abc，x0，设=ACB,=OCB, 则OCA=+, , XYABCO， 因当时， 取最大值2， 且在内，是增函数故当时，=ACB取最大值，C点坐标为（）。例2. 已知a，b，c，d，e是满足,，的实数，试确定e的最大值。 解：有题设有， 于是由均值不等式得 有 即 即 所以 以上不等式当且仅当a=b=c=d时等号成立，由此可知，此时a=b=c=d=。 注：此题也可以构造柯西不等式去证明。例3. 求函数 （0）的最小值。解： 设 常数 其中m，n是待定的正整数，这就有 且m，n分别是8,64的因数，于是m=4，n=2，因此 =28 其中等号当且仅当，即x=2时成立，故注：常数，但不能由导出。这是因为不存在实数x，使得，也就是说，不等式中不可能取等号。注： 用均值不等式求最值的解题要点是“和定”积最大，积定和最小”，即当题目条件是和( 积)的形式为定值， 求积(和)的形式的最值时往往可用均值不等式解之 均值不等式是解决多元函数求最值的行之有效的方法。只要满足了“一正、二定、三相等”的条件,就屡试不爽。但在具体解题时,因其技巧性较强, 简单的可以目测，难的可以通过待定系数，进行拆分项或恰当配凑因式。例3很好的证明了此技巧。创设使用均值不等式的条件,因此,需要多做题,细揣摩,才能把握好。2.2.2琴生不等式定理：若在区间I内的上凸函数，则对任意的I，以及任意的 ，必有。若在区间I内的下凸函数，则不等号反向。其中等号当且仅当时成立。推论：若在区间I内的上凸函数，则对任意的I，总有。若在区间I内的下凸函数，则不等号反向。其中等号当且仅当时成立。注：上述重要定理及其推论就是重要的琴生不等式。利用琴生不等式考察最值问题时，必须选择恰当的函数，使其在某个区间内为上凸或下凸函数。例1 设a，b，且。求的最值。分析：用琴生不等式考察最值问题时，必须构建恰当的函数，使其在某个区间内为上凸或下凸函数。解： 构建函数 x0 因为x0，所以0，即为（0，+）的下凸函数。 由琴生不等式有， （1）令，。有，=由（1）知，当且仅当即a=b=时取等。注：此题还可以用柯西不等式或均值不等式求解。例3 证明:在圆的内接n边形中，以正n边形的面积为最大。证明： 设圆的半径为r，内接n边形的面积为s，各边所对的圆心角分别为，则 S=设，由于它在（0，）内上凸，于是有 =所以当时，s取最大，也就是以正n边形的面积最大。综上述：由重要不等式求函数的最值只需构造不等式中相应是形式（或满足条件的函数）并注意不等式取等的条件。2.2.3幂平均不等式幂平均不等式：若，则 等号当且仅当n个正数相等时成立。注：当条件最值里的约束条件是一些正数的同次幂的和为定值时，就可以用幂平均不等式去确定这些正数的另一个同次幂的和的最大值（最小值）。例2 若a0，b0，c0，且.的最小值。分析： 观察要求函数的形式有三次方，而柯西不等式、均值不等式都不含有三次方的形式，且一次的和为定值，可选择幂平均不等式来求解。解： 考察三个正数，的幂平均数， 得 = 其中等号在=时取得，即a=b=c时成立。 另一方面，考虑三个正数a，b，c的幂平均数 由得 = 于是有。把这个结果代入到前面的不等式 得 即 当a=b=c=时，所求函数值最小为注：利用幂平均不等式求最值问题时应注意：.各字母必须是正数；.须恰当选择幂平均数的指数； .几个正数相等的条件必须具备。2.2.4柯西不等式柯西不等式：设，则 当且仅当时，不等式取等柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用广泛,灵活巧妙地运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。在使用时,往往要采取一些方法(如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等) 构造符合柯西不等式的模式及条件,从而达到解决问题的目的。例1 设,且,求u =的最小值。解:由柯西不等式可得,由及可得,， .本题构造出了符合柯西不等式的形式及条件,继而达到解题目的。例2. 设，求函数的最小值。 解：根据已知条件和柯西不等式，我们有 =因此，由此推得只要能找到一组x，y，z使得恰好取得就证明了。为此应用柯西不等式中等号成立的条件，可列出方程 即，代入，求得，所以 当且仅当2.3数形结合法数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合。通过构造图形，培养思维的灵活性、直观性，创造性，使问题化抽象为具体化难为易，。关键是找出满足条件结论的几何特征，构建几何模型，从而达到解决问题的目的。YA例1 求函数的值域。O解： xP 可以看成 即点与点的斜率 而点在半圆 上， 如下图所示 而 y的值域为例2 关于x的二次方程中，均是复数，且 设这个方程的两个根，满足，求的最大值和最小值。解：根据韦达定理有，。由，所以=28，即，故复数m在以A（4,5）为圆心，以7为半径的圆周上，如图所示又因为7，故原点O在圆A内，连接OA，并延长交圆A与点B,C则，XYBAC(4,5)例3 若实数x，y满足，试求的最大值与最小值。分析： x，y满足，所确定的点集为一个正方形ABCD边界而目标函数可化为，把t作为一个参数。它表示以点H（1,0）为圆心的圆心族。因此，要求t的最值，只需求圆族中与正方形ABCD的边界的公共点的具有最值的半径的圆。由图可知，过C 点的圆的半径最大圆的半径HC=6，于是最大点为C(-5,0)由图可知，半径最小的圆是正方形ABCD的两边AB,AD相切的圆此时圆的半径为HE=HF=于是得，最小点有两个E(3,2) F(3,-2)总结：利用给定的函数的特征，构造其函数的特征图，以形助数，利用图形的性质求函数的最值。例4 设0 u 0 ,求的最小值。分析：观察所求函数的最值跟两点间的距离公式很相似，而这两点又刚好在圆和双曲线上，利用其几何特征，解决问题。解:设,则，此时,P 的轨迹是, Q 的轨迹是,()在平面直角坐标系中做出动点P ,Q 的轨迹(如图) ,则,即| OQ| min = .,可得v = 3 。又| OP| = 2 ,| PQ| | OQ| - | OP| = .即当时, . 数形结合解题的关键是寻找满足条件的几何特征，根据特征画出起图形，根据图形的性质达到解决问题的目的。结束语综上可知，多元函数最值的求法种类还有很多，而且随着数学的发展，还会更加丰富，更加有趣。函数最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式。其常用方法有：消元法、不等式法、换元法、数形结合法、向量法等，其解法具有技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变的特点具有挑战性。本文主要通过消元法、不等式法以及数形结合的方法结合典型的例子阐述求多元函数最值问题的方法技巧与创新。在解题时因题而异，上述方法可以独立使用，也可相互渗透。本文采取不同的形式论述各种求最值方法.在论述简单的方法时，引用定理，甚至推论，再辅以例题论述；比较难些的，采用更加