第七讲层次分析法

1,第三章层次分析法,第一节层次分析法的思想和原理第二节层次分析法的模型和步骤第三节层次分析法的应用附录：AHP软件使用简介,2,问题的提出,人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。即项目目标的选择是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的大系统，需要一种可将决策者的经验予以量化，将定性和定量相结合，并对决策对象进行优劣排序、筛选的多目标决策分析方法。,问题的提出,3,对于复杂的社会、经济、人文等问题（城市规划、企业管理、选拔人才、选择职业等），若沿用适应于小生产方式的决策模式凭借历史经验，靠主观判断进行决策，则缺乏应有的科学性，常常造成重大失误。处理这些问题，要考虑的因素有多有少，有大有小。在作比较、判断、评价、决策时，各因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。,问题的提出,问题的提出,4,例1购物买手机，一般要依据质量、功能、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等多因素的综合评价选择去哪个地方。,问题的提出,问题的提出,5,问题的提出,例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。,问题的提出,6,第一节层次分析法的思想和原理,层次分析法(AnalyticHierarchyProcess，AHP)是美国著名的运筹学家TLSatty等人在20世纪70年代提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法。这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便的决策方法。,3.1层次分析法的思想和原理,7,基本思想,它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一定标度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。,3.1层次分析法的思想和原理,8,运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：1.明确问题，建立递阶层次结构；2.构造两两比较判断矩阵；3.由判断矩阵计算权重向量并做一致性检验；4.计算各层次元素的组合权重向量并做一致性检验。,第二节层次分析法的模型和步骤,3.2层次分析法的模型和步骤,9,1、建立问题的递阶层次结构,在研究社会、经济、管理等复杂问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次。层次模型中，用作用线表明上一层次因素同下一层次的因素之间的关系。处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素。,3.2层次分析法的模型和步骤,10,建立问题的递阶层次结构（续）,3.2层次分析法的模型和步骤,只有一个元素，它是问题的预定目标或理想结果。,它包括为实现目标所涉及的中间环节，所需要考虑的准则。该层可由若干层组成。,包括为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。,目标层,准则层,方案层,11,建立问题的递阶层次结构（续）,3.2层次分析法的模型和步骤,模型所涉及的各因素可以组合为属性基本相同的若干层次，层次内部因素之间不存在相互影响或支配关系，或者这种影响可以忽略；层次之间存在自下而上、逐层传递的支配关系，没有下层对上层的反馈作用，或层间的循环影响。,递阶层次结构,12,层次结构实例（1）,3.2层次分析法的模型和步骤,13,层次结构实例（2）,3.2层次分析法的模型和步骤,14,层次结构实例（3）,3.2层次分析法的模型和步骤,15,一个典型的层次可以用下图表示出来：,3.2层次分析法的模型和步骤,16,注意,层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。,3.2层次分析法的模型和步骤,17,递阶层次结构应具有以下特点,(1)从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。(2)整个结构中层次数不受限制。(3)最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过9个，元素多时可进一步分组。(4)对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构。,3.2层次分析法的模型和步骤,18,2、构造成对判断矩阵,涉及到社会、经济、管理、人文等因素的决策问题的主要困难在于，问题所涉及的因素有的有相同的量纲，在数量上是可比的，但更多的因素不易定量地量测和比较，人们凭自己的经验和知识进行判断，受到相当大的主观因素的影响，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的；Saaty等人提出的成对比较法，可以提高诸因素比较的准确程度：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比；对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难。,3.2层次分析法的模型和步骤,19,构造成对判断矩阵,在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素Ck作为准则，对下一层次的元素A1,An有支配关系，我们的目的是在准则Ck之下按它们相对重要性赋予A1,An相应的权重。,3.2层次分析法的模型和步骤,20,成对比较法,要比较n个因素A1,A2,An对于准则Ck相对的重要性即权重，分两种情况：如果A1,A2,An对于Ck的重要性可定量（如可用钱、重量等），其权重可直接确定；如果问题复杂，A1,A2,An对于对于Ck的重要性无法直接定量，而是一些定性的对比，确定权重用两两比较的方法。对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重。,3.2层次分析法的模型和步骤,21,成对比较法,每次取两个因素Ai和Aj，用aij表示Ai和Aj对Ck的影响程度之比，按19的比例标度aij来度量（对重要性程度赋值）；,n个因素彼此比较，便构成一个两两比较的判断矩阵：,成对比较矩阵：,矩阵A的性质：,n个因素的判断矩阵只需给出上三角的n(n-1)/2个元素,正互反矩阵,3.2层次分析法的模型和步骤,22,判断矩阵标度及其含义,当比较两个具有不同性质的因素Ai和Aj对于上一层因素Ck的影响时，采用什么样的相对尺度较好呢？Saaty提出用数字19及其倒数作为标度，理由如下：在估计事物的区别性时，人们常用五种判断来表示：即相等、较强、强、很强、绝对强，当需要更高精度时，还可在相邻判断之间作出比较。这样总共有个数据，既保持了连贯性，又便于在实践中应用；心理学家认为，人们在同时比较若干对象时,能够区别差异的心理极限为72个对象,正好用9个数字表示;将19标度方法与另外26种标度方法进行比较，结果表明19标度是可行的，并且能较好地将思维判断数量化。,3.2层次分析法的模型和步骤,23,判断矩阵标度及其含义,3.2层次分析法的模型和步骤,24,判断矩阵示例,a121/2表示景色A1与费用A2对选择旅游地这个目标C的重要性之比为1:2。,a134表示景色A1与居住条件A3之比为4:1。a237表示费用A2与居住条件A3之比为7:1。,3.2层次分析法的模型和步骤,25,3、计算权重向量并做一致性检验,这一步是要解决在准则Ck下，n个元素A1,An排序权重的计算问题。对于n个元素A1,An，通过两两比较得到判断矩阵A，解特征根问题Aw=maxw所得到的w经归一化后作为元素A1,An在准则Ck下的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征根法。,3.2层次分析法的模型和步骤,26,特征根法理论依据,特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的Perron定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性：定理设n阶方阵A0，max为A的模最大的特征根，则有(1)max必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量；(2)A的任何其它特征根恒有|n如果判断矩阵具有一致性，则maxn特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素aij，当aij离一致性的要求不远时，特征根和特征向量也与一致阵的相差不大，max比n大得越多，判断矩阵的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。可用max-n数值的大小衡量不一致程度,3.2层次分析法的模型和步骤,38,一致性检验指标,如何确定A的不一致程度的容许范围呢？,对于固定的n，随机构造正互反矩阵A（它的元素aijij是从19，11/9中随机抽取的），这样的A是最不一致的，它的CI相当大。取充分大的子样（500个样本以上）得到A的最大特征根的平均值max，计算平均随机一致性指标RI。,随机一致性指标,引入随机一致性指标：,定义一致性指标：,3.2层次分析法的模型和步骤,39,一致性检验指标,一致性比率对于n3的判断矩阵A，等于一致性指标与同阶（n相同）的平均随机一致性指标之比。,一致性检验,A的不一致程度在容许范围之内，可以用特征向量作为权向量。检验不通过，要重新进行成对比较，或对已有的A进行修正。,3.2层次分析法的模型和步骤,40,一致性检验步骤（1）,判断矩阵一致性检验的步骤如下：,(1)计算一致性指标C.I.：,其中n为判断矩阵的阶数；,3.2层次分析法的模型和步骤,41,一致性检验步骤（2）,(2)查找平均随机一致性指标R.I.：,平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。平均随机一致性指标如下：,3.2层次分析法的模型和步骤,42,一致性检验步骤（3）,(3)计算一致性比例C.R.：,当C.R.0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。,3.2层次分析法的模型和步骤,43,层次总排序及一致性检验,问题：如何得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重（总排序权重），从而进行方案选择？,总排序要自上而下地将权重进行合成，并逐层进行总的判断一致性检验。确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。,3.2层次分析法的模型和步骤,44,层次总排序,在层次结构模型中设：,A层m个因素A1,A2,Am对总目标C的排序为：,B层n个因素对上层A中因素为Aj的层次单排序为：,3.2层次分析法的模型和步骤,45,层次总排序,A,B层的层次总排序，即B层第i个因素对总目标的权值为：,计算过程为：,3.2层次分析法的模型和步骤,46,层次总排序,3.2层次分析法的模型和步骤,47,组合一致性检验,除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还要进行组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。从上到下逐层进行一致性检验。,递阶层次结构在k层水平以上的所有判断具有整体满意的一致性。重新考虑模型或重新构造那些CR较大的判断矩阵。,3.2层次分析法的模型和步骤,48,组合一致性检验可逐层进行，定义：,第k层的一致性指标,第k-1层对第一层的组合权向量,第k层的平均随机一致性指标,第k-1层因素的数目,第k层的组合一致性比率：,k=3,4,s,组合一致性检验,3.2层次分析法的模型和步骤,49,层次分析法基本步骤总结,1.建立层次结构模型分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。2.构造成对比较矩阵对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。3.计算单排序权向量并做一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，利用一致性指标进行一致性检验。4.计算总排序权向量并做一致性检验计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。利用一致性指标进行组合一致性检验。,3.2层次分析法的模型和步骤,50,层次分析法的优点,1.系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2.实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3.简洁性层次分析法的基本原理和步骤易于掌握，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。,3.2层次分析法的模型和步骤,51,层次分析法的局限性,第一：只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。第二：该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。第三：从建立层次结构模型到给出成对比较判断矩阵，个人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。,3.2层次分析法的模型和步骤,52,第三节层次分析法的应用,假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等多因素综合评价选择去哪个地方。这是一个多目标决策分析问题，以此为例，介绍层次分析法的应用。,3.3层次分析法的应用,53,构建层次模型,设方案层分别表示苏杭（B1）、北戴河（B2）、桂林（B3）。,3.3层次分析法的应用,54,一个典型的层次可以用下图表示出来：,