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第四节复合函数求导法则及其应用,一、复合函数求导法则,二、初等函数的求导问题,三、一阶微分的形式不变性,四、隐函数的导数,五、对数求导法,六、参数形式的函数的求导公式,一、复合函数求导法则,而函数在处可导，则复合函数,定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数在可导，,即,证明：由在可导也即可微,又由在可导，因此,而,于是,复合函数的求导法则可以写成:,即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求,导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则.,复合函数的微分公式为:,解:,例4.4.1,推广,解:,例4.4.2,例4.4.3,解:,二、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数公式,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,例4.4.4,解:,设函数有导数,（1）若x是自变量时，,三、一阶微分的形式不变性,（2）若x是中间变量时，即是另一变量t的可微函数,则.,结论：不论x是自变量还是中间变量，函数,的微分形式总是.,例4.4.5,设,求.,解:,例4.4.6,设，求.,四、隐函数的导数,解:,定义4.4.1,由方程所确定的函数,称为隐函数。,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,或利用一阶微分的形式不变性对方程两边求微分.,例4.4.7,的导数.,解:法一、方程两边对x求导(注:y看成x的函数),求由方程确定的隐函数,法二、方程两边同时求微分,例4.4.8,设曲线C的方程为，,求过C上点的切线方程，并证明曲线C在该点,显然通过原点.,解:,所求切线方程为,的法线通过原点.,五、对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,例4.4.9,例4.4.10,六、参数形式的函数的求导公式,定义4.4.2,若参数方程确定x与y间的函数关系，,问题:消参困难或无法消参的如何求导？,即,由复合函数求导法则:,也可以直接求微分,两边相除，得,例4.4.11,求摆线在处的切线方程.,解:,所求切线方程为,七.小结,复合函数求导法则,初等函数的求导问题,一阶微分的形式不变性,隐函数的导数,对数求导法,参数形式的函数的求
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