大学物理第三版-赵近芳主编-第二章课件.ppt

第二章,2.1牛顿运动定律,2.4功机械能守恒定律（质点系统）,2.5质点(质点系）角动量角动量守恒定律,2.3动量动量守恒定律（质点系统）,2.6刚体的定轴转动,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）,平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.,刚体的运动基本形式:平动、转动,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.,一、刚体定轴转动的描述,其运动平面转动平面,2.6刚体的定轴转动,如何简化？,注意：对于刚体定轴转动，角速度的方向只有两个，只需在轴上选定正方向，用角速度的正、负就可表示其方向，不必用矢量表示。,由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。,角位移,角坐标,方向:右手螺旋方向,练习4,一刚体以每分钟60转速率绕z轴逆时针匀速转动，设某时刻刚体上某点P的位矢为：,该时刻P点的速度为：,定性分析：正确答案：2,R,该时刻P点的速度为：,正确答案：2,定量计算：,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时（=常量），刚体做匀变速转动.,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,角量与线量的关系,飞轮30s内转过的角度,例1一飞轮半径为0.2m、转速为150rmin-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,例2在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000rmin-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？,解由题意，令，即，积分,得,当t=300s时,转子的角速度,由角速度的定义,在300s内转子转过的转数,二.定轴转动刚体的角动量,转轴，角速度刚体上任一质点转轴与其转动平面交点绕圆周运动半径为,1、刚体对轴的角动量,在轴上确定正方向，角速度表示为代数量，则定义质点对z轴的角动量（即质点对参考点o的角动量在z轴上的投影）为:,刚体对z轴的总角动量为：,刚体对z轴的总角动量为:（即质点对轴上某参考点o的角动量在z轴上的投影）,比较,m表示物体的平动惯性，则J表示转动惯性,2、刚体对轴的转动惯量的计算,若质量连续分布，则,对于单个质点,(质点系),定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。,一些均匀刚体的转动惯量表（教材P62）,2.一长为的细杆，质量均匀分布，求该杆对过杆一端端点且垂直于杆的z轴的转动惯量。,练习,注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。,m2为实心大盘的质量,m1为小盘的质量。,练习,解2：,解3：,解1：,练习4：右图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）,三.刚体的转动定律,1.对轴的力矩,结论：只有在转动平面内投影的切向力才产生对轴的力矩。,当有多个力作用在刚体上：,如图：,为各外力在垂直于转轴平面内的分力,2.刚体定轴转动定律,(分析产生角加速度与外力的关系),力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,比较：,矢量式标量式,即J越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，J越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。,如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出,mi质元位于，其所受外力为，内力为。,d,第一步：刚体中任意一个质元mi的运动。,由牛顿第二定律：,由于只与切向力有关，而与法向力无关，所以将切向分量式两边同乘以ri，变换得,力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,角加速度对所有质量元都相等：,第二步：对整个刚体的各质元求和。,一个质元受到的合力矩：,刚体定轴转动的转动定律的应用,例1、一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。,Mg,Mg,解法1：用刚体的转动定律,例2一定滑轮的质量为，半径为，一轻绳两边分别系和两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。,思路：质点平动与刚体定轴转动关联问题，用隔离法画受力图，分别列方程:,解：在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。,思考：,绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：,解得：,解出：,当m=0时，T1=T2,解：（1）当F100N时，对杆合力矩等于零：,对飞轮，摩擦力产生阻力矩,代入上式得：,飞轮作匀减速转动,(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?,解:设,和分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b),题2-26(a)图题2-26(b)图,例3(习题2.26):已知量如图所示，求：,联立上式求解：,例2.21转动着的飞轮的转动惯量为J，在t0时角速度为.此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数)，当时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？,解(1)由题知，故由转动定律有,即,将代入，求得这时飞轮的角加速度为,(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即,分离变量，并考虑到t0时，两边积分,故当时，制动经历的时间为,四、定轴转动的动能定律,1、转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,2、力矩的功,式中,对i求和，得：,力矩的功率为：,当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。,（力矩的功的一般计算式）,M为作用于刚体上外力矩之和。,3、刚体定轴转动的动能定理,当:12:12力矩作功为：,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体定轴转动的动能定理,4、刚体的势能,其中m为刚体的总质量,yc为刚体质心的高度。,质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。,例题1的解法2：据机械能守恒定律,取滑轮、物体、地球为系统,例2、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：（1）求角加速度：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，该质量元的重力对轴的元力矩为,重力对整个棒的合力矩为,代入转动定律，可得,（2）求角速度方法一：用动能定理,定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对冲量矩。,五、刚体对轴的角动量定理及守恒定律,外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。,对轴的角动量守恒定律,有许多现象都可以用角动量守恒来说明.,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律,电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等,花样滑冰跳水运动员跳水芭蕾舞演员的高难动作,艺术美、人体美、物理美相互结合,开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝相反方向旋转。,J可变，亦可变，但仍有J=常数，故有,被中香炉,惯性导航仪（陀螺）,角动量守恒定律在技术中的应用,刚体角动量守恒定律的两种情况：,1、转动惯量保持不变的刚体,2、转动惯量可变的物体,比较：质点角动量守恒定律,当J增大时，就减小；当J减小时，就增大，从而使J保持不变。,解以飞轮A，B，啮合器C为系统.在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器之间的切向摩擦力.为系统的内力，所产生力矩合为零.系统所受合外力矩也为零，所以系统的角动量守恒.即,为两轮啮合后的共同角速度，于是,例2.24在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上.A轮的转动惯量为，B轮的转动惯量为，开始时A轮每分钟的转速为600转，B轮静止.C为摩擦啮合器.求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,把各量代入上式，得20.9rad/s.,在啮合过程中，摩擦力矩作功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内能.损失的机械能为,解此题可分解为三个简单过程：,(1)棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰.此过程机械能守恒.以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有,例2.25如图，质量为m，长为l的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴O转动.现将棒拉到水平位置(OA)后放手，棒下摆到竖直位置(OA)时，与静止放置在水平面A处的质量为M的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离s后停止.设物体与水平面间的摩擦系数处处相同，求证,(2)棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒(并非动量守恒)和机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为，物块速度为v，则有,(3)碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理,联立以上四式，即可证得：,例1一半径为R、质量为M的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动,质量为m的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周(不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？,思考：1.台为什么转动？向什么方向转动？2.人相对转台跑一周，相对于地面是否也跑了一周？,3.人和台相对于地面转过的角度，有什么关系？,系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：,设人沿转台边缘跑一周的时间和台转动时间都为t：,人相对地面转过的角度：,台相对地面转过的角度：,将代入上式