金融中数学分析方法

金融中的数学分析方法陈勇,一、金融与数学,金融学是一门年轻的学科，最早起源于西方的会计学和法律。二十世纪七十年代以来逐渐发展成为一门相对独立的学科，具有特定的研究对象、研究方法和研究思路。,一、金融与数学,资产组合理论与资本资产定价模型基本假设：投资者是风险厌恶的。数学方法：概率论、均值方差理论期权定价模型基本假设：投资者是风险中性的。数学方法：布朗运动、伊藤公式、随机偏微分方程,一、金融与数学,美式期权定价与复杂期权基本假设：投资者是风险中性的。数学方法：计算机技术（RocketScience)、蒙特卡洛模拟、数值分析、人工智能（遗传算法）、鞅、测度理论,一、金融与数学,信息理论：基本假设：市场价格能反映所有的信息；价格波动符合随机游走假设。数学方法：时间序列数据分析、人工智能（神经网络技术）、概率理论、小波分析、卡尔曼滤波、MCMC,一、金融与数学,时间序列分析跨时序分析与经济建模计算机金融,二、时间序列分析,时间序列的平稳性时间序列的自相关性时间序列的异方差现象,二、时间序列分析,以下是我国1986年至2005年的国民生产总值和人口数，回归结果为：GDP=-74.15+6.7AP。回归合理吗？怎么解决？,二、时间序列分析,实际上，GDP、AP都是随时间递增的，都不是平稳的时间序列数据，因此导致了伪回归。,二、时间序列分析,平稳时间序列：,二、时间序列分析,平稳时间序列：均值不随时间变化而变化的时间序列数据。实际生活当中，平稳时间序列是很少见的。如果用具有共同趋势的非平稳时间序列，采用经典的回归分析方法来进行分析，就会产生伪回归，亦即不存在的、虚假的关系。比如，用你的年龄与我国的GDP回归。,二、时间序列分析,解决办法：一阶差分、二阶差分或三阶差分，或考察两者的增长率的关系。,二、时间序列分析,结论：我国GDP与AP都随时间递增，但两者的增长率与时间没有显著的线性关系。,二、时间序列分析,以下是一只股票A的收益率，你能找出它的波动规律并决定在适当的时候买入卖出吗？,二、时间序列分析,股票A的收益率服从以零为期望值、方差为1的正态分布。由于在每一个时间段的期望值、方差点不变，因此是平稳过程。,二、时间序列分析,时间序列相关的类型分为：自回归过程(AR)移动平均过程(MA),二、时间序列分析,当p=1且Alpha=1时，自回归过程AR就服从布朗运动。,二、时间序列分析,自相关过程p=1，Alpha=1（布朗运动）。,二、时间序列分析,移动平均过程(MA)：加入移动平均趋势的一阶自相关过程。,二、时间序列分析,自相关移动平均过程ARIMA（1，0，1）：,二、时间序列分析,同方差的时间序列：,二、时间序列分析,异方差的时间序列数据ARCH(3)：,二、时间序列分析,时间序列的平稳性：AR时间序列的自相关性：MA时间序列的异方差现象：ARCH,三、跨时序分析与经济建模,跨时序分析(Inter-temporalModel)-消费者效用最大化的跨时序列分析定义1：效用是指个人通过消费商品获得的满足程度,是所消费商品量的函数，即,三、消费者效用跨时序分析,假设1：消费函数是一个递增的凹函数，即,三、消费者效用跨时序分析,我们考察两个时期内个人的消费决策问题。设个人在第1期和第2期消费的商品分别为和，则个人得到的效用为：其中，是个人的偏好贴现因子，且,三、消费者效用跨时序分析,设个人在第1期和第2期的收入水平分别为、，r表示第1期资本市场的借贷利率，则个人的消费预算必须满足以下约束条件：,三、消费者效用跨时序分析,个人的消费行为可以表示为：,三、消费者效用跨时序分析,当上式取等号时（假设个人的寿命为2，月光族）。个人的效用最大化行为必须满足一阶条件（EulerEquilibrium)：,四、计算机金融,随机过程确定性随机过程,可微分,不可微分,四、计算机金融,确定性函数,四、计算机金融,布朗运动,四、计算机金融,从概率论到测度论从正态分布到布朗运动计算随机计算微分Ito微分积分Ito积分概率统计随机过程密度分布测度概率对应概率,四、计算机金融,布朗运动性质、Martingale、马尔珂夫链伊藤公式布朗过程,四、计算机金融,布莱克斯克尔斯期权定价公式从二叉树模型到布莱克斯克尔斯公式无套利均衡模型条件期望模型,四、计算机金融,二叉树模型美式期权与自由边界问题二叉树模型BinomialmodelVSBlack-Scholesmodel,四、计算机金融,蒙特卡洛模拟有限差分法Idea:Idea:产生伪随机数泰勒公式近似地表示微分项,四、计算机金融,蒙特卡洛模拟(MonteCarloSimulation),四、计算机金融,蒙特卡洛模拟(Monte-CarloSimulation)蒙特卡洛模拟的算法及其实现MonteCarloVSBlack-Scholesmodel蒙特卡洛减方差技巧的算法及其实现基于LSM的美