结构优化设计课件.ppt

结构优化设计StructuralOptimization,杨帆西南交通大学力学与工程学院,教学参考书,高健编.机械优化设计基础.科学出版社,2000.1.,北京郭鹏飞韩英仕编著.结构优化设计.东北大学出版社,2005.12.,沈阳（超星）钱令希著.工程结构优化设计.水利电力出版社,1983.3.,北京（超星）陈立周编.机械优化设计方法.冶金工业出版社,2005.3.,北京（超星）,绪论,本课程的基本任务了解结构优化设计的基本原理掌握优化设计中的一般方法掌握优化设计一般方法的计算机实现本课程的目标使学生初步具备利用已学习的优化设计基本原理和一般方法在计算机平台上解决简单的优化设计问题本课程的考察考试+课后作业+上机作业,本课程的主要内容,什么是优化设计优化设计的基本概念和数学模型优化设计的数学基础数值迭代法一维搜索的优化方法无约束优化方法线性规划约束优化问题优化设计实例,什么是优化设计,传统设计确定设计方案根据经验参考其他类似设计设计计算补充方案的细节校核、验证设计方案的可行性少数几个可行设计方案的比较、选优、修正和整合传统设计至多可以得到一个较优的“可行”的方案,优化设计建立数学模型求解优化问题数学方法计算机平台全部满足预定设计条件的可能的方案比较选优优化设计可以得到“相对最优”的设计方案,第一章概述,本章的主要内容1.1优化设计的数学模型1.1.1设计变量1.1.2目标函数1.1.3约束条件1.2优化问题的几何描述,1.1优化设计的数学模型例1：钢板箱材料优化,设计对象：薄钢板制无上盖货箱的长宽高尺寸；设计要求：货箱容积5m3，长度不小于4m；设计目标：钢板用量最少。钢板用量货箱表面积钢板用量最少货箱表面积最小限制条件,优化设计三要素设计变量：设计中需要确定的可变的独立参数。目标函数：判断设计方案优劣的标准。约束条件：对设计变量的限制条件。等式约束不等式约束,弯曲强度扭转强度刚度结构尺寸,已知：轴的一端作用载荷P=1000N，扭矩M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力w=120MPa，许用扭剪应力=80MPa，许用挠度f=0.01cm；密度=7.8t/m，弹性模量E=2105MPa。设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。,优化设计三要素目标函数：设计变量：约束条件：,1.1优化设计的数学模型例2：圆形等截面销轴的优化设计,1.1优化设计的数学模型1.1.1设计变量,设计常量：设计过程中固定不变的参数。如弹性模量、许用应力等设计变量：设计过程中可以调整和优选的独立参数。优化问题的维数：设计变量的个数，亦称设计自由度。自由度，方案数，问题复杂程度，优化作业困难程度设计空间：有所有设计标量定义的实空间，Rn（n是设计变量的个数）。设计空间中的每个点（矢径）对应一个设计方案,1.1优化设计的数学模型1.1.2目标函数（评价函数）,目标函数：评价设计方案优劣的标准（设计指标），如零部件的重量、体积、可靠性、承载能力、成本、寿命等单目标函数优化问题多目标函数优化问题：多目标函数优化问题可通过加权转换为单目标函数优化问题,目标函数越多，设计评价越周全，综合效果越好，但求解越复杂困难,1.1优化设计的数学模型1.1.2目标函数（续一）,目标函数的等值面二维优化问题：等值线三维优化问题：等值面三维以上优化问题：等值（超）曲面等值线（面）的特点等值线越向内，目标函数值越小有心曲线簇的共同中心是目标函数的无约束极小值点,单心等值线簇目标函数是单峰函数中心是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。多心等值线簇目标函数不是单峰函数每个中心只是局部极（小）值点。全局极值点应通过比较各局部极值点和鞍点确定无心等值线簇没有中心点，如线性等值线是一簇平行线可将无穷远作为极值点,1.1优化设计的数学模型1.1.2目标函数（续二）,约束条件的一般形式不等式等式注：，方程数与设计变量数相同，只有唯一的一个确定方案，无优化可言性能约束：根据设计性能或指标建立的约束条件。如强度约束、刚度约束、稳定性约束等边界约束：对设计变量的取值范围的限制。如齿轮的模数、齿数的上下限等约束优化问题和无约束优化问题,1.1优化设计的数学模型1.1.3约束条件,可行域D：约束优化问题中，满足所有约束条件的设计点（方案）的集合可行（设计）点：可行域中的设计点不可行（设计）点：不在可行域中的设计点边界（可行）设计点：位于不等式约束边界上，为该约束允许的极限设计方案（点）例：等式的曲线（面）将设计空间一分为二，一侧为，另一侧为。对于每个约束条件，其可行域是该条件对应的曲线（面）及其一侧，4个约束曲线（面）对应的4个可行域的共同可行域即是它们的交集D。等式与D的交则是线段AB这段在D中的线段。可行的设计点只能在线段AB间的点中选择。,1.1优化设计的数学模型1.1.3约束条件（续）,数学格式说明：优化设计是在满足约束条件的n维实向量空间中的所有设计点X中，寻找使目标函数极小化的设计点极大值问题：线性规划问题：目标函数和所有约束条件均为设计变量的线性函数时，约束优化问题是线性规划问题；否则是非线性规划问题,1.1优化设计的数学模型1.1.4优化设计数学模型的一般形式,（满足于,服从于）,例：非线性规划问题，求最优点X*和最优值f(X*)目标函数是以(2,0)为中心的同心圆可行域是由g1,g2和g3围成的区域D，g4不起作用最优点是D的下边界g2距同心圆中心最近之点，或g2与3.8等值线的切点,1.2优化问题的几何描述,如图，从直径D=100mm的圆木中锯出出矩形梁，选择矩形的长b和高h，以使其抗弯强度（截面系数W=bh2/6）为最大。已知某约束优化问题的数学模型为1)试按一定比例尺画出目标函数f(X)之值分别等于1、2、3、4时的4条等值线，并在图上画出可行域。2）从图上确定无约束最优解(X1*,f1*)和约束最优解(X2*,f2*)。3）该问题属于线性规划问题还是非线性规划问题？4）若在该问题中又加入等式约束h(X)=x1-x2=0后，试确定该问题有无最优解？,第一章习题一（Page6）,第二章优化设计的数学基础与数值迭代法,本章的主要内容2.1函数的方向导数与梯度2.1.1函数的方向导数2.1.2函数的梯度2.2函数的泰勒展开和黑塞矩阵2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.1凸集2.3.2凸函数2.3.3凸规划,2.4无约束优化问题的极值条件2.5约束优化问题的极值条件2.6优化问题的数值迭代法2.6.1基本思想和迭代格式2.6.2迭代计算的终止条件,一元函数的导数二元函数的偏导数一元函数的导数是该函数在点(x)处沿数轴方向的变化率，二元函数的偏导数是该函数在点X=(x1,x2)处沿坐标轴x1和x2方向的变化率,2.1函数的方向导数与梯度2.1.1函数的方向导数,二元函数的方向导数其中当S与x1（或x2）轴方向相同时，二元函数的偏导数是该函数在点X=(x1,x2)处沿坐标轴方向的方向导数,2.1函数的方向导数与梯度2.1.1函数的方向导数（续一）,二元函数的方向导数与偏导数的关系,2.1函数的方向导数与梯度2.1.1函数的方向导数（续二）,三元函数的方向导数多元函数的方向导数,2.1函数的方向导数与梯度2.1.1函数的方向导数（续三）,二元函数的方向导数将偏导数和方向分开二元函数的梯度向量单位方向向量,2.1函数的方向导数与梯度2.1.2函数的梯度,多元函数的梯度向量和单位方向向量函数的梯度与方向导数的关系方向导数是梯度向量在该方向上的投影偏导数是梯度向量在该坐标方向上的投影当导数方向和梯度方向一致时，它们夹角的余弦为最大值1，梯度方向是函数变化率（方向导数）最大的方向，梯度方向的相反方向是函数变化率（方向导数）最小的方向,2.1函数的方向导数与梯度2.1.2函数的梯度（续一）,例：求二元函数在处的梯度及其模偏导数梯度梯度的模,2.1函数的方向导数与梯度2.1.2函数的梯度（续二）,一元函数在点处的泰勒展开二元函数在点处的泰勒展开,2.2函数的泰勒展开和黑塞矩阵,二元函数在点处的泰勒展开二元函数的黑塞矩阵：二元函数的二阶偏导数矩阵。黑塞矩阵是对称矩阵。,2.2函数的泰勒展开和黑塞矩阵（续一）,多元函数在点处的泰勒展开多元函数的梯度多元函数的黑塞矩阵,2.2函数的泰勒展开和黑塞矩阵（续二）,凸集定义：n维欧氏空间En的子集D中的任意两点X1和X2间的连线上的所有点都属于集合D，则D是凸集。凸集的性质：凸集缩放的实数倍仍为凸集两凸集的积（交）仍为凸集,2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.1凸集,教材11页底部：凸集的和（并）是凸集有问题,集合D1和D2交：凸集D1和D2满足凸集D1和D2的交仍是凸集,2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.1凸集（续一）,域D的倍缩放：对应于域的缩放中心X0、Y0，凸集D的倍缩放凸集D满足凸集D缩放倍仍是凸集,2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.1凸集（续二）,凸函数定义：n维欧氏空间En的凸子集D中间的任意两点X1和X2间连线上任意点X*=X1+(1-)X2的函数值f(X*)满足则函数f(X)是凸集D上的凸函数。则函数f(X)是凸集D上的凹函数。f(X)是凸集D上的凸函数，则f(X)是凸集D上的凹函数。,2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.2凸函数,定义在凸集上的凸函数的正实数倍仍是该凸集上的凸函数。定义在凸集上的两个凸函数之和仍为该凸集上的凸函数。对于n维欧氏空间En的凸子集D中的两个任意点X1和X2，凸集D上的一阶可微函数f(X)是凸函数的充分必要条件是：,2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.2凸函数（续一）,教材(1-10)式漏了梯度算子符号,若函数f(X)在n维欧氏空间En的凸子集D中二阶可微，f(X)为该凸集D上的凸函数的充分必要条件是：f(X)的黑塞矩阵H(X)是半正定的；若黑塞矩阵H(X)是正定的，则f(X)为该凸集D上的严格凸函数。若函数f(X)是凸集D中的凸函数，且在凸集D中有极小点，则极小点是唯一的。此局部极小点就是全局极小点。,凸函数的性质,实对称方阵的正定、负定、半正定、半负定和不定各阶主子式为正的实对称方阵是正定矩阵正定矩阵的1倍是负定矩阵各阶主子式不为负的实对称方阵是半正（非负）定矩阵半正（非负）定矩阵的1倍矩阵是半负（非正）定矩阵既不是半正定矩阵，也不是半负定矩阵的实对称方阵是不定矩阵严格凸函数定义：,2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.2凸函数（续二）,凸函数凸函数的正实数倍仍是凸函数，两凸函数之和仍是凸函数,2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.2凸函数（续三）,定义：约束优化问题若均是凸函数，此问题为凸规划。凸规划的性质给定点X0，则点集是凸集。可推出目标函数是有心的。二维等值线是环环相套的。可行域是凸集。凸规划问题的任何局部最优解都是全局最优解。若f(X)可微，X*是凸规划问题的最优解的充分必要条件是：对于XD，均满足。,2.3凸集、凸函数与凸规划2.3.3凸规划,无约束优化问题X*是局部极值点的充分必要条件是：一阶导数(梯度)向量为零二阶导数(黑塞)矩阵为正定(极小值)或负定(极大值),2.4无约束优化问题的极值条件,正定系矩阵的各阶顺序主子式均呈正值；负定系矩阵的各阶顺序主子式呈负值和正值交替变化。,例题：求函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5的极值梯度黑塞矩阵顺序主子式一阶二阶黑塞矩阵正定X*=2,1T是极小点，f(x1,x2)的极小值是0。,2.4无约束优化问题的极值条件（续）,约束优化问题求解约束优化问题，就是求解由约束条件构成的可行域中的目标函数的极值点。若极值点在可行域的内部，约束条件对该极值点不起作用，极值点仅与目标函数相关；若极值点在某约束边界上，则该约束条件对极值点起作用，极值点不仅与目标函数相关也与约束条件相关。库恩塔克(KuhnTucker)条件：若X*是一个局部极小点，则该点处的目标函数的梯度与诸约束面函数的梯度和的线性组合之和为零,2.5约束优化问题的极值条件,拉氏乘子，与不起作用的约束条件对应的为零,库恩塔克条件对一般约束优化问题是必要条件，约束最优解必满足此条件，满足此条件的解未必是最优解。库恩塔克条件对凸规划问题是充分必要条件，约束最优解必满足此条件，满足此条件的解必定是最优解。库恩塔克条件的几何意义：若X*是局部极小点，该点处目标函数的梯度应位于该点处所有起作用的约束面（条件）的梯度和在设计空间所组成的锥角之内非约束极值点约束极值点,2.5约束优化问题的极值条件（续一）,2.5约束优化问题的极值条件（续二）,位于和的锥角之外,非约束极值点,约束极值点,位于和的锥角之内,例题：约束矩阵问题g1(X)不起作用代入KT条件问题是凸规划，X*是约束最优点,2.5约束优化问题的极值条件（续三）,例题：约束矩阵问题g1(X)不起作用代入KT条件无解X*不是约束最优点,2.5约束优化问题的极值条件（续四）,工程实际中的优化问题十分复杂，很难解析求解，与电子计算机技术相结合，多采用数值迭代方法求解。迭代法的基本思想：以选定的初始点X0出发，沿设定的搜索方向S0和迭代步长0搜索，求得一个使目标函数值有所下降的新设计点X1，此为一个迭代步。以X1作为新迭代迭代点，再次重复前述迭代步，不断搜索直至求得满足设计精度要求的逼近理想最优点的计算最优点X*。迭代格式Xk：第k步迭代的初始点Xk+1：第k步迭代产生的新点k：第k步迭代步长，标量Sk：第k步迭代搜索方向，单位向量,2.6优化问题的数值迭代法2.6.1基本思想和迭代格式,优化迭代法只能趋近理想最优解，而无法求解到理想最优解。理想的迭代过程是无限逼近的过程，可以进行无穷次迭代，并无法停止。理想极值点既达不到，也完全没有必要达到。迭代法是在寻求达到一定求解精度的条件下计算出近似最优解。迭代终止准则：满足迭代精度，迭代终止点距准则函数值下降准则绝对条件相对条件梯度准则主要用于涉及目标函数梯度计算时通常前两个准则一起使用。可防止：函数变化剧烈时，点距很小但函数值差很大；函数变化缓慢时，函数值差很小，而近似点距最优点还很远。,2.6优化问题的数值迭代法2.6.2迭代计算的终止准则,试用K-T（库恩-塔克）条件检验点X*=1,1T，是否满足下列非线性规划问题的极小点的必要条件。设某无约束优化问题的目标函数是f(X)=x12+9x22，已知初始迭代点X0=2,2T，第1次迭代所取的方向S0=-4,-36T，步长0=0.05616，第2次迭代所取的方向S1=-3.55069,0.39451T，步长1=0.45556，试计算（1）第1次和第2次迭代计算所获得的迭代点X1和X2；（2）在点X0，X1，X2处的目标函数值（3）用梯度准则判别完成了第2次迭代后能否终止迭代，精度要求=0.01,第二章习题二(Page20),第三章一维搜索的优化方法,本章的主要内容：概述：一维搜索简介3.1确定搜索区间的方法进退法3.2黄金分割法3.2.1基本原理3.2.2区间收缩率3.3二次插值法3.3.1基本原理3.3.2迭代过程和程序框图,第三章一维搜索的优化方法,概述一维搜索简介一维搜索方法：求解一维目标函数()的极小点和极小值的数值迭代防法多维优化问题的一般迭代格式三要素：初始点Xk；迭代方向Sk；迭代坐标k多维优化问题的一维搜索初始点Xk固定；迭代方向Sk固定；迭代坐标k可变数学模型多维优化问题的一维搜索的步骤确定初始搜索的搜索区间在搜索区间内寻找极小点,单峰函数()的极小点*极小点*的左右两侧各点的函数值均大于极小点的函数值(*)函数()在极小点左侧区间为严格单调减函数，在极小点右侧区间为严格单调增函数顺序3个试点1,2,3处的函数值满足“大小大”规律区间(1,3)内的单调性发生变化，极小点必处于此区间中,3.1确定搜索区间的方法进退法,进退法确定搜索区间的步骤给定初始点0和初始步长h0令1=0,h=h0,2=1+h，比较1和2处的函数值1和212：已找到“大小大”中的“大小”两点，需进一步向前进搜索第3个大点3=2+h比较2和3处的函数值2和332：已找到第3个大点，使函数的单调性发生变化，a,b=1,3就是函数()的搜索区间32：未找到第3个大点，函数在2,3和1,2的单调性未改变。令1=2,2=3,h=2h,3=2+h继续向前进搜索，直至找到函数()的搜索区间a,b=1,3,3.1确定搜索区间的方法进退法（续一）,进退法确定搜索区间的步骤（续）12：已找到“大小大”中的“小大”两点，需进一步向后退搜索第3个大点。令1=2,1=2,2=1,2=1,h=h,3=2+h比较2和3处的函数值2和332：已找到第3个大点，使函数的单调性发生变化，a,b=3,1就是函数()的搜索区间32：未找到第3个大点，函数在3,2和2,1的单调性未改变。令1=2，2=3h=2h，3=2+h继续向前进搜索，直至找到函数()的搜索区间a,b=3,1,3.1确定搜索区间的方法进退法（续二）,进退法确定搜索区间流程图,3.1确定搜索区间的方法进退法（续三）,将上节的“进退法”确定的搜索区间a,b，利用迭代法反复使之缩小，直至趋近于极小点附近的满足精度要求的微小区间在区间a,b内部，对称的选取两个点1,2将区间a,b分成3段，若前两段单调性相同，则极小点在后两段中；反之，若后两段单调性相同，则极小点在前两段中前两段单调性相同后两段单调性相同,3.2黄金分割法（0.618法）3.2.1基本原理,黄金分割法：0.618法（华罗庚优选法）前两段单调性相同后两段单调性相同使2作为下次收缩的1使1作为下次收缩的2区间收缩率：每次缩小后的区间的长度与缩小前的区间的长度之比每次迭代的收缩率均不下降，可使每次的伸缩率保持不变黄金分割法的伸缩率为0.618,3.2黄金分割法（0.618法）3.2.2区间收缩率,黄金分割法的迭代终止准则当缩短后的新区间的长度小于等于某一精度，既近似极小点黄金分割法的特点程序结构简单易理解可靠性好计算效率偏低多用于低维优化问题的一维搜索,3.2黄金分割法（0.618法）3.2.2区间收缩率（续一）,例题：用黄金分割法求()=2-7+10的最优解解：用进退法确定搜索区间12，前进23，继续前进23，继续前进满足“大小大”规律，搜索区间为a,b=2,8,3.2黄金分割法（0.618法）3.2.2区间收缩率（续二）,例题：用黄金分割法求()=2-7+10的最优解解（续）：用黄金分割法搜索求优，搜索区间为a,b=2,81e，精度不够，继续缩短搜索区间，1e，精度不够，继续缩短搜索区间，12，,3.2黄金分割法（0.618法）3.2.2区间收缩率（续三）,例题：解（续）,3.2黄金分割法（0.618法）3.2.2区间收缩率（续四）,将上节的“进退法”确定的搜索区间a,b，仍然利用迭代法反复使之缩小，直至趋近于极小点附近的满足精度要求的微小区间在区间a,b内部，选取两个点2,p*，其中p*是由1=a,2,3=b定义的二次曲线的极小点。通常在首次迭代时2取搜索区间的中点且与黄金分割法相似，2和p*将区间a,b分成3段，若前两段单调性相同，则极小点在后两段中，由后三点定义新的二次曲线；反之，若后两段单调性相同，则极小点在前两段中，由前三点定义新的二次曲线,3.3二次插值法3.3.1基本原理,二次曲线的极小点p*的确定三个点的坐标和函数值满足二次曲线的方程极小点的坐标或,3.3二次插值法3.3.1基本原理（续一）,缩短搜索区间的4种情况,3.3二次插值法3.3.1基本原理（续二）,迭代终止的条件：前两种情况中，2储存着上次迭代的近似极小点，两次迭代的近似极小点接近重合两点中函数值小的是最优点首次迭代和紧跟其后的后续迭代中从未由近似极值点坐标修正2时，不进行迭代终止检验,迭代过程给定初始搜索区间a,b和精度e确定区间端点1,3和中点2的坐标,及其函数值1,3,2计算插值函数的极小点坐标4及相应的目标函数的函数值4判断是否终止迭代。例外：首次迭代；紧随首次迭代之后，且未用近似极小点坐标修正2的后续迭代（以4作为下次迭代搜索区间的端点，而不是内点去修正2）。此时，开关指标k=0，2中储存的不是上次迭代的近似极小点坐标对比搜索区间的两个内点的坐标2,4及其函数值2,4，缩短搜索区间。当近似极小点作为下次迭代搜索区间的内点时，置开关指标k=1重复，直至满足迭代终止条件，得到最优点,3.3二次插值法3.3.2迭代过程和程序框图,程序框图,3.3二次插值法3.3.2迭代过程和程序框图（续一）,例题：用二次插值法求()=2-7+10的最优解，已知初始搜索区间为2,8，e=0.01解（续）：初始插值点插值函数的极小点缩短搜索区间插值函数的极小点迭代终止条件最优解,3.3二次插值法3.3.2迭代过程和程序框图（续二）,已知某汽车行驶速度x与每百公里耗油量的函数关系为,，试用0.618法确定速度x在每分钟0.21km时的最经济速度x*。取精度=0.01。用二次插值法的算法程序计算下述凸轮机构在升程中的最大压力角max及其相对应的凸轮转角max，迭代精度取=0.01。对心尖顶从动件盘形凸轮机构的基圆半径rb=40mm，推杆行程h=20mm，升程角0=/2，推杆运动规律为压力角的计算公式为,第三章习题三（Page31）,输入：目标函数()初始点坐标0初始步长h0输出：初始搜索区间a,b算例：,上机教学实践（一）确定搜索区间的进退法程序框图,与教材的=不同,上机教学实践（一）确定搜索区间的进退法程序,functiona,b=InitSearchRange(f,x0,h0)%InitSearchRangeThisfunctioncalculatestheboundsofinitialsearchrangeforone%dimensionalsearch.fistheobjectivefunction.x0andh0areinitial%pointandsteprespectively.Thereturnsarecalculatedbounds.h=h0;x1=x0;f1=f(x1);x2=x1+h;f2=f(x2);iff2=f1h=-h;x3=x1;f3=f1;x1=x2;f1=f2;x2=x3;f2=f3;end;x3=x2+h;f3=f(x3);whilef3Fx(1)=x(2);f(1)=f(2);x(2)=X;f(2)=F;k=1;elsex(3)=X;f(3)=F;endelseiff(2)Fx(3)=x(2);f(3)=f(2);x(2)=X;f(2)=F;k=1;elsex(1)=X;f(1)=F;endendC1=(f(3)-f(1)/(x(3)-x(1);C2=(f(2)-f(1)/(x(2)-x(1)-C1)/(x(2)-x(3);ifC2=0MinP=x(2);MinV=f(2);return;end;X=0.5*(x(1)+x(3)-C1/C2);if(X-x(1)*(x(3)-X)eps1),上机教学实践（二）鲍威尔法的程序(2),fori=1:nifi=1f0=f1;elsef0=f2;end;phi=(a)f(x1+a*S(:,i);a1,b1=InitSearchRange(phi,0,.1);A=MinQuadInterpolation(phi,a1,b1,eps1);x1=x1+A*S(:,i);f2=f(x1);iff0-f2deltadelta=f0-f2;m=i;endendS(:,n+1)=x1-x0;x2=2*x1-x0;f3=f(x2);if(f3f3x1=x2;f2=f3;endendendMinP=x1;MinV=f2;end,输入：设计空间的维数n和目标函数f(X)初始点坐标X0进退法子函数a,b=InitSearchRange(,0,h0)及其初始步长h0一维搜索的二次插值法MinP,MinV=MinQuadInterpolation(,a,b,0)及其误差限0变尺度法的误差限1DFP法和BFGS的标志输出：极小点X*和极小值f(X*),上机教学实践（二）变尺度法,上机教学实践（二）DFP法的程序框图,上机教学实践（二）DFP法的程序,functionMinP,MinV=DFP(f,df,X0,h0,eps0,eps1)%DFPThisfunctionsearchestheminimumpointvectorandcalculatestheminimumvalueforan%unconstrainedoptimizationproblembyusingDFPapproach,wherefistheobjectivefunction,df%isgradientfunctionoftheobjectivefunctionf,X0istheinitialminimumpointvector,h0andeps0%aretheinitialsteplengthanderrorcriterioninonedimensionsearching,eps1istheerrorcriterion%correspondingtothegradientofobjectivefunction.Thereturnedvariables,MinPandMinVare%theminimumpointandminimumvalueoftheobjectivefunctionrespectively.%DPFn=length(X0);k=0;x0=X0;A0=eye(n,n);g0=df(X0);S=A0*g0;phi=(a)f(x0+a*S);a1,b1=InitSearchRange(phi,0,h0);A=MinQuadInterpolation(phi,a1,b1,eps0);x1=x0+A*S;g1=df(x1);whilenorm(g1)=eps1ifk=nA0=eye(n,n);k=0;elsedx=x1-x0;dg=g1-g0;A0=A0+1/(dx*dx)*(dx*dx)-1/(dg*A0*dg)*(A0*(dg*dg)*A0);k=k+1;endx0=x1;g0=g1;S=A0*g0;phi=(a)f(x0+a*S);a1,b1=InitSearchRange(phi,0,h0);A=MinQuadInterpolation(phi,a1,b1,eps0);x1=x0+A*S;g1=df(x1);endMinP=x1;MinV=f(x1);end,上机教学实践（二）BFGS法的程序,functionMinP,MinV=BFGS(f,df,X0,h0,eps0,eps1)%BFGSThisfunctionsearchestheminimumpointvectorandcalculatestheminimumvalueforan%unconstrainedoptimizationproblembyusingBFGSapproach,wherefistheobjectivefunction,%dfisgradientfunctionoftheobjectivefunctionf,X0istheinitialminimumpointvector,h0and%eps0aretheinitialsteplengthanderrorcriterioninonedimensionsearching,eps1istheerror%criterioncorrespondingtothegradientofobjectivefunction.Thereturnedvariables,MinPand%MinVareminimumpointandtheminimumvalueoftheobjectivefunctionrespectively.%BFGSn=length(X0);k=0;x0=X0;A0=eye(n,n);g0=df(X0);S=A0*g0;phi=(a)f(x0+a*S);a1,b1=InitSearchRange(phi,0,h0);A=MinQuadInterpolation(phi,a1,b1,eps0);x1=x0+A*S;g1=df(x1);whilenorm(g1)=eps1ifk=nA0=eye(n,n);k=0;elsedx=x1-x0;dg=g1-g0;A0=A0+(1+(dg*A0*dg)/(dx*dg)/(dx*dg)*(dx*dx)-1/(dx*dg)*(dx*dg)*A0+A0*(dg*dx);k=k+1;endx0=x1;g0=g1;S=A0*g0;phi=(a)f(x0+a*S);a1,b1=InitSearchRange(phi,0,h0);A=MinQuadInterpolation(phi,a1,b1,eps0);x1=x0+A*S;g1=df(x1);endMinP=x1;MinV=f(x1);end,算例一算例二算例三,上机教学实践（二）算例,Page46习题四123,上机教学实践（二）习题,第五章线性规划,本章的主要内容：5.1线性规划的标准形式与基本性质5.1.1线性规划的标准形式5.1.2线性规划的基本性质5.2单纯形法5.2.1单纯形法的基本思想5.2.2单纯形法的算法及其迭代过程,一般形式：对于（n个变量）满足使得达到极小标准形式,5.1线性规划的标准形式与基本性质5.1.1标准形式,目标函数是线性函数等式约束条件：线性不等式约束条件：变量非负,M(n)个等式约束条件,变量松弛不等式约束条件不是简单的变量非负时，引入新（松弛）变量，将不等式约束条件转换为等式约束条件例如：约束条件为标准矩阵形式,5.1线性规划的标准形式与基本性质5.1.1标准形式（续）,：松弛变量,例,5.1线性规划的标准形式与基本性质5.1.2基本性质,图解法最小点为C基本性质：可行域是凸多边形