《近世代数》模拟试题2及答案

页眉 近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，）中，下列那个是单位元（ ）。A 0 B 1 C 1 D 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（ ）。A G只包含一个元g，乘法是ggg。G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（ ）。A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( )。A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性5、下列哪个不是的共轭类 ( )。A （1）B （123），（132），（23）C （123），（132）D （12），（13），（23）二、计算题(每题10分，共30分)1.求S（12），（13）在三次对称群的正规化子和中心化子。2.设G1，1，i，i，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。3.设R是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。 三、证明题(每小题15分，共45分)1、设R是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，证明是其零因子。2、设Z是整数集，规定abab3。证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，）是无限阶循环群。近世代数模拟试题答案一、 单项选择题(每题5分，共25分)1 A 2 D3 C4 D5 B二、计算题(每题10分，共30分)1 解：正规化子N（S）（1），（23）。（6分）中心化子C（S）（1）。（4分）2 解：群G中的单位元是1。（2分）1的阶是1，1的阶是2，i和i的阶是4。（42分） 3 解：设其右零因子为。（2分）所以0。（3分）因为x任意，所以ab0。（3分）因此右零因子为。（2分）三、证明题(每小题15分共45分)1证明：设其右零因子为。（2分）所以0。（5分）因为x，y任意，所以ab0。（8分）同理设其右零因子为。（10分）所以0。（12分）因为x，y任意，所以ab0。（14分）因此零因子为。（15分）2 明：首先该代数运算封闭。（3分）其次我们有：（ab）c（ab3）c（ab3）c3a（bc3）3）a（bc），结合律成立。（6分） 令e3，验证aeae3a，有单位元。（7分）对任意元素a，6a是其逆元，因为a（6a）3。（8分）因此，Z对该运算作成一个群。显然，单位元是e3。（10分）3证明：首先证明（Z，）是群，+满足结合律，对任意的，0是运算+的单位元又由于： 所以 从而（Z，）为群。（2分）由于满足交换律，所以（Z，）是交换群。（4分）（Z，）的单位元为0，对于1，由于 1+（-1）=0，所以，。（5分）于是对任意，若，则：； 若，则。（8分）若，则 。（10分）综上,有，对任意的. 因而，,从而（Z，）是无限