独立随机变量期望和方差的性质

1 7.47.4 独立随机变量期望和方差的性质独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量独立随机变量乘积乘积的期望的期望的性质：的性质： YX,独立，则独立，则 YEXEXYE 以以离散型离散型随机变量为例，随机变量为例， 设设二元二元随机变量随机变量 ,X Y的联合的联合分布列分布列 , ij P Xx Yy已知已知， 则则 , ijij P Xx YyP XxP Yy， 1,2,;1,2,imjn 11 , mn ijij ij E XYx y P Xx Yy 11 mn ijij ij x y P XxP Yy 11 mn iijj ij x P Xxy P Yy E X E Y * * 独立随机变量独立随机变量和和的的方差的性质：方差的性质： YX,独立，则独立，则 YVarXVarYXVar 22 Var XYEXYE XY 22 2E XXYY 22 2E XE X E YE Y 22 22 E XE XE YE Y 22E XYE X E Y 22 22 E XE XE YE Y Var XVar Y 若若 12 , n XXX相互独立相互独立，且都存在，且都存在方差，则方差，则 12 1 n mk k Var XXXVar X * * 利用利用独立的独立的 0 0- -1 1 分布分布求和计算求和计算二项分布随机变量二项分布随机变量,Xb n p期望和期望和方差方差 我们在我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差方差等于方差等于方差 求和的性质。这里求和的性质。这里我们我们再回顾一下。再回顾一下。 2 设设 12 , n XXX相互相互独立，独立，且且均服从均服从 0 0- -1 1 分布分布 1,Bp ，则，则 12n XXXX 对所有对所有nk, 1 ，101 k E Xppp ， 2 101 k E Xppp 2 2 kkk Var XE XE X 2 1pppp， 12n E XE XXX 12n E XE XE Xnp 12n Var XVar XXX 12n Var XVar XVar X 1npp * * 负二项分布随机变量负二项分布随机变量 ( ,)YNB r p： 连续不断且独立地重复进行一个参数为： 连续不断且独立地重复进行一个参数为p的伯努利试验， 第的伯努利试验， 第r次 “成功”次 “成功” 出现时所进行出现时所进行的试验次数。的试验次数。更细致地考虑由更细致地考虑由伯努利试验构造参数为伯努利试验构造参数为 r r，p p 的负二项分布的负二项分布 随机变量的过程随机变量的过程。从。从伯努利伯努利试验试验开始到第一次成功开始到第一次成功，所进行所进行试验的次数试验的次数是随机的，是随机的，记记 为随机变量为随机变量 1 X, ,则则 1 X服从服从参数为参数为 p p 的的几何几何分布分布；然后；然后继续继续独立独立地进行伯努利试验地进行伯努利试验，到到 第二次第二次试验试验成功，成功， 我们记从我们记从第一次试验成功后第一次试验成功后开始开始计算计算的的试验次数试验次数为为 2 X， 则， 则 2 X仍然仍然服服 从参数为从参数为 p p 的的几何几何分布分布；如此；如此进行下去，进行下去，到第到第 r r 次“成功”出现时所进行的总次“成功”出现时所进行的总的的伯努伯努 利试验次利试验次数数 Y Y 就就等于等于 X X1 1 加加 X2X2 一直加到一直加到 XrXr。 设设 12 , r XXX相互相互独立，独立，且且均服从均服从几何分布几何分布 Ge p， 则则 12r YXXX； 1 k E X p ， 2 1 k p Var X p ， 1,2,kr 121rr r E YE XXXE XE X p 1212 1 rr rp Var YVar XXXVar XVar X p * * 例例 7.7.4.1 4.1 设随机变量设随机变量,X Y相互独立相互独立，已知已知它们它们的期望的期望分别为分别为 E X和和 E Y。令。令 3 max,UX Y ， max,VX Y ，求，求 E UV。 解：解