现代力学基础报告-荡秋千

现代力学基础报告荡秋千中的力学问题分析 学院名称 学号 学生姓名2016年12月 1 建立力学模型首先我们简单介绍一下单摆问题。单摆在生活中十分常见，如钟摆，其力学模型如图1所示.系统由质量不计、不可伸长的细线和固定在摆线一端直径远小于摆线长度的小球组成。摆线与竖直方向夹角记为a，其运动微分方程为：a+glsina=0 当最大摆角a小于5时，asina，其运动微分方程为a+gla=0对于荡秋千问题，如果把人和秋千组成的系统看作一个摆, 摆线在O 点处是固定的, 摆线自身的伸缩和摆线的质量忽略不计.设想人在最大偏转角处迅速下蹲, 在最低点处迅速站立,下蹲和站立的过程都在瞬间完成.人体的下蹲和站立导致了系统质心的升降, 相当于有效摆长改变.这样, 我们就把人和秋千组成的系统抽象为一个摆长可变的原摆, 称之为可变摆长原摆模型，如图2所示。 图1 单摆的力学模型图2 荡秋千的力学模型在完成一次摆动的过程中，人质心经历的变化为：adebc，其中人站立时的有效摆长oa=ob=oc=l，人下蹲时的有效摆长od=oe=l0。2 运动过程分析现在我们把人、秋千和地球所组成的系统作为研究对象, 这样在荡秋千的全过程中, 系统所受到的外力只有悬点的约束反力, 其值与摆线张力T 相同, 为一变力。但是, 因为悬点固定,此外力并不做功。重力为保守力, 使人下蹲和站起的力为非保守内力。根据功能原理:“一切外力与非保守内力所作功之和等于质点系机械能的增量。”因为外力并不做功, 所以有非保守力做的功A=E.现在我们来研究图1 所示的可变摆长单摆模型的第一次摆动。首先，ad:va=vd=0Aad=Ead=mg(l-l0)cos0然后，de:该过程机械能守恒，Ade=012mve2=mgl0(1-cos0)然后最低点站立，eb, 因此过程中重力和张力对悬点O 的力矩为0 , 所以动量矩守恒。所以mvbl=mvel0vb=l0lveAeb=12mvb2-ve2+mgl0-l=12mve2l02l2-1+mgl0-l=mgl01-cos0l02l2-1+mgl0-l在此过程中人体内力所作的功一部分转化为系统的重力势能, 而另一部分转化为动能。然后，bc，人体无变形, 系统机械能守恒，所以vc=0Abc=012mvb2=mgl(1-cos1)第一次过程非保守力做的功Aac=Aad+Ade+Aeb+Abc= mgl-l0cos0+0+mgl01-cos0l02l2-1+mgl0-l+0=mg(1-cos0)l03-l3l2系统机械能增量E=Ec-Ea= mgl1-cos1-mgl1-cos0=mglcos0-cos1=mgh1由上可知，经过一次摆动，系统质心升高h1，由功能原理知Aac=Emgl03-l3l2=mgh1h1=l03-l3l21-cos0=2l03-l3l2sin202图 3 秋千第二次摆动示意图 显然, 图3所示的第二次摆动cfeba完全与第一次摆动类似。h2=2l03-l3l2sin212由此类推，第n次摆动后hn=2l03-l3l2sin2n-12可见, 每次摆动所升高的高度与摆线的长度, 质心变化的幅度及该次摆动的初始偏角有关。当l,l0一定时, 仅决定于该次摆动的初始偏角.初始偏角愈大, 人体在平衡位置站起的过程中所做正功愈多, 因而上升高度愈高。3 数值模拟根据每次摆动增高量h与摆动角的关系得到n+1=arccos(1+l03l3cosn-l03l3)得到如图4所示，每次摆动最大角与摆动次数的关系曲线。初始摆动角为10，四条曲线代表四个不同的l0l,分别为l0l=1.1,1.2,1.3和1.4。从图中可以看出，对于每条曲线，摆动最大角都随摆动次数的增加而增加，并且增加的速度越来越快，也即每次增加的高度越来越大。hn=l03-l3l2sinn-1可知，当0，即n+1随l0l的增大而增大。两种极限情况，l0l=1时，即自由摆动，等幅简谐振动；l0l=时，相当于在距摆点无穷近处有一质点在摆动，摆动所需能量很少。图4 最大摆动角与摆动次数的关系当l0l=1.1时，摆动15次左右，最大摆动角达到/2左右；当l0l=1.4时，摆动5次左右，最大摆动角达到/2左右。当摆动角/2时，分析与上边分析会不同。下面分析eb动能变化量与初始摆动角0和l0l的关系。从图5中可以看出，随着l0l的增大，e-b过程中动能增加量增多。容易知道，当l0l较大时，e-b过程中非保守内力做的功增多，内力做的功同时转换为系统的动能和势能，并且二者同时增多。由图6知，当l0l固定时，随初始角的增大，e-b过程动能增量增加。图5 e-b动能增加量与摆动次数的关系图6 第1次摆动动能增加量与初始摆动角的关系4. 小结主要分析了摆动角/2时的变幅摆动问题。在变幅摆动的一次摆动中adebc，如图2所示。ad和eb两个阶段存在非保守内力做功，转化为系统的动能和势能，因此，随着摆动次数的增加，摆动角越来越大。l0l越大,摆动角随摆动次数的增加速度越