相等向量与共线向量

2.1.3 相等向量与共线向量问题提出1.向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？探究（一）：相等向量思考1：向量由其模和方向所确定，对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？1.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。如图，向量a与b相等记作a=b。零向量与零向量相等。思考3：对于非零向量和，如果=，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？思考4：用有向线段表示非零向量和，如果=，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？思考5：非零向量与称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？2.向量的相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。注意：规定，零向量的相反向量仍是零向量。探究（二）：平行向量与共线向量思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？3.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若a，b平行，记作ab。规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有a。思考2：平行向量所在的直线一定互相平行吗？思考3：如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作=a，=b，=c，那么点A、B、C的位置关系如何？4.共线向量：平行向量也叫做共线向量。思考4：如果非零向量与是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？思考5：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？思考6：对于向量a、b、c，若a =b，b =c，那么a = c吗？思考7：对于向量a、b、c，若a/ b，b/ c，那么a/ c吗？思考8：相等向量与共线向量的区别与联系？知识运用例1.判断下列命题的真假，并说明理由。（1）不相等的向量一定不平行。（）（2）若两个单位向量共线，则这两个向量相等。（）（3）向量就是有向线段。（）（4）任意两个相等的非零向量的始点和终点是一平行四边形的四个顶点。（）（5）|a|=|b|，a，b不一定平行；a/ b，|a|不一定等于|b|。（）例2.判断下列各命题的真假：向量的长度与向量的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则A、B、C、D点必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段。其中假命题的序号为_。4.下列各命题中，真命题的个数为（） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b； 若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； 若a=b,b=c，则a=c; 若ab,bc,则ac. A.4B.3C.2D.1解析 由|a|=|b|可知向量a,b模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形ABCD中，| |=| |，但与既不相等也不互为相反向量，故此命题错误.由可得|=|且，由于可能是A，B，C，D在同一条直线上，故此命题不正确.正确.不正确.当b=0时， ac不一定成立.答案 D例3.如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所示标出的向量中，与共线的向量有_。例4.正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，an，则这n个向量（ ）A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等小结作业1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.课后作业1.在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是（ ）A.矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形2.已知向量，则“a/b”是“a+b=0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.O是ABC内一点，且|=|=|，则O是ABC的( )A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心4.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ）A.且B.C.D.5.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A.三角形区域B.四边形区域C.五边形区域D.六边形区域6.如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线AC、BD的交点，设点集M=A、B、C、D、O，向量集合T=|P、QM且P、Q不重合，求集合T元素的个数。7.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：=。2.1.3 相等向量与共线向量问题提出1.向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？联系：向量与数量都是有大小的量；区别：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？向量的模：表示向量的有向线段的长度.零向量：模为0的向量. 单位向量：模为1个单位长度的向量.师：引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系，对此，我们将作些研究。探究（一）：相等向量思考1：向量由其模和方向所确定，对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？师：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 1.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。如图，向量a与b相等记作a=b。零向量与零向量相等。师：任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关，在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量。例如，就意味着，且与的方向相同。思考3：对于非零向量和，如果=，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？思考4：用有向线段表示非零向量和，如果=，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？思考5：非零向量与称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？2.向量的相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。注意：师：由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和互为相反向量，于是。规定，零向量的相反向量仍是零向量。师：任一向量与其相反向量的和是零向量，即，所以，如果a，b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。探究（二）：平行向量与共线向量思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？方向相同或相反3.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若a，b平行，记作ab。规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有a。师：今后学习时要注意零向量的特殊性，解答问题时,一定要注意讨论是“零向量”还是“非零向量”。思考2：平行向量所在的直线一定互相平行吗？师：将向量平移，不会改变其长度和方向。思考3：如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作=a，=b，=c，那么点A、B、C的位置关系如何？师：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。4.共线向量：平行向量也叫做共线向量。思考4：如果非零向量与是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？思考5：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？思考6：对于向量a、b、c，若a =b，b =c，那么a = c吗？思考7：对于向量a、b、c，若a/ b，b/ c，那么a/ c吗？师：注意向量的“平行”和“共线”的含义与平面几何中的“平行”和“共线”的含义不同，如果两个向量所在的直线重合，我们也可以说它们平行；如果两个向量所在的直线平行，我们也可以说它们共线。思考8：相等向量与共线向量的区别与联系？相等向量是指方向与长度都相同的向量，共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量是共线向量，但共线向量不一定是相等向量。知识运用例1.判断下列命题的真假，并说明理由。（1）不相等的向量一定不平行。（）（2）若两个单位向量共线，则这两个向量相等。（）（3）向量就是有向线段。（）（4）任意两个相等的非零向量的始点和终点是一平行四边形的四个顶点。（）（5）|a|=|b|，a，b不一定平行；a/ b，|a|不一定等于|b|。（）4.下列各命题中，真命题的个数为（） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b； 若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； 若a=b,b=c，则a=c; 若ab,bc,则ac. A.4B.3C.2D.1解析 由|a|=|b|可知向量a,b模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形ABCD中，| |=| |，但与既不相等也不互为相反向量，故此命题错误.由可得|=|且，由于可能是A，B，C，D在同一条直线上，故此命题不正确.正确.不正确.当b=0时， ac不一定成立.答案 D例2.判断下列各命题的真假：向量的长度与向量的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则A、B、C、D点必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段。其中假命题的序号为_。例3.如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所示标出的向量中，与共线的向量有_。例4.正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，an，则这n个向量（ ）A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等小结作业1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.课后作业1.在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是（）A.矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】B2.已知向量，则“a/b”是“a+b=0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B3.O是ABC内一点，且|=|=|，则O是ABC的( )A.重心 B.内心 C.外心D.垂心4.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ）A.且B.C.D.【解析】表示与是同向的非零单位向量，则的一个充分条件是，其中A、C.可以推得或为必要不充分条件；B.可以推得为既不充分也不必要条件；若使成立，则选项中只有D能保证，点评本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.5.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A.三角形区域 B.四边形区域 C.五边形区域D.六边形区域