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文档简介

一、引例,在变速直线运动中,已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.,二、定积分的分部积分法,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,三、小结、思考与练习,第三节定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法,定理1设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,则,说明:,1)当,即区间换为,定理1仍成立.,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或配元,配元不换限,例1,解,四分之一圆的面积,例2计算,解,令,或解,例3计算,解,例4,解,例5计算,解,原式,例6,证,(1)若,(2)若,偶倍奇零,奇函数,例7计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,例8,（2）设,证,(1)记,即,例9,(2),所以,(1),(1),例10计算,解,令,则,且,所以,奇函数,例11,解,推导,二、分部积分公式,例12计算,解,令,则,例13计算,解,例14计算,解,例15,解,例16,解,例17证明定积分公式,证,设,积分关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,例18,解,2.几个特殊积分、定积分的几个等式-经常用于积分中等式、不等式的证明,1.定积分的换元法：,三、小结、思考与练习,3.定积分的分部积分公式：,注意与不定积分分部积分法的区别,换元必换限配元不换限边积边代限,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,练习,1.,提示:令,则,2.设,解法1.,解法2.,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示:两边求导,得,得,3.设,求,解:,(分部积分),作业
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