特征值特征向量及其应用

毕 业 论 文特征值特征向量及其应用院系名称： 专业名称： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 完成日期 年 月 日 中国石油大学（北京）本科毕业论文 第II页特征值特征向量及应用摘要特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法：特征方程法；行列互逆变换法；初等变换法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中n阶矩阵的高次幂的求解；在物理中对于振动模型的求解问题；以及经济发展与环境污染增长模型等等。关键词：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换Applications of Eigenvalues and EigenvectorsAbstractEigenvalue and eigenvector play an important role in modern science. This thesis firstly introduces the definition and properties of the eigenvalue and eigenvector, and provides the relationship between the eigenvalue and eigenvector of linear transformation in linear space and the eigenvalue and eigenvector of the matrix. Secondly this thesis introduces several methods to find the eigenvalue and eigenvector: the characteristic function method, the dual inverse transform method and the elementary transform method. At last, this thesis introduces the application of eigenvalue and eigenvector, such as find the power of large matrix in mathematics, solving vibration model problems in physics, and solving the models of economic development, environmental pollution and so on. Key words: eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary；transformationIV 中国石油大学（北京）本科毕业论文 第IV页目 录第1章 前言11.1 研究背景11.2 研究现状11.3 研究内容2第2章 特征值与特征向量的理论42.1 特征值与特征向量的一般理论42.1.1 特征值与特征向量的定义42.1.2 特征值与特征向量的性质52.2 特征值与特征向量的一般求解方法82.2.1 一般数字矩阵的简单求解82.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量9第3章 特征值与特征向量在数学领域简单应用143.1 高阶高次幂矩阵的求解143.2 在线性递推关系的应用153.3 在一阶线性常微分方程中的应用173.3.1 矩阵特征值为一重183.3.2 当有重根的情况20第4章 特征值与特征向量在物理学中的应用224.1 简单理想状态双振动系统224.2 关于物理振动模型的解释和举例说明264.2.1 二阶系统264.2.2 三阶系统28第5章 特征值与特征向量在生活中的简单应用305.1 环境污染及经济增长模型中的应用305.2 种群增长及分布模型中的应用325.3 常染色体遗传问题中的应用33总 结37参考文献38致 谢39 第1章 前言 第3页第1章 前言1.1 研究背景矩阵是一个贯穿了整个大学课程的基础内容，作为一个尤为重要的基本概念，它也是代数学中的主要研究对象，而且矩阵的特征值与特征向量的出现，更是成为了解决一些数学问题或者其他领域问题的重要方法和手段，由此可以看出，它不仅在代数学中有着举足轻重的地位，在其他的领域也不可缺少。矩阵几乎贯穿了整个代数学中的各个重要方面，所以对于矩阵的特征值与特征向量的深入研究，不仅仅可以提高对代数问题的了解，并且还可以灵活的应用到实际生活中来解决实际的问题。本文首先通过论述特征值与特征向量在代数学中的基础概念和性质，以及有关这些性质的一些证明方法，通过灵活运用这些相关的性质，可以更加容易的解决一些相关问题。然后通过举例的方法对于特征值与特征向量的求解问题，比如常用的矩阵的初等变化、逆变换和将矩阵转化为特征方程来求解特征值和特征向量等。由于二者的应用是多方面的，所以会着重介绍特征值与特征向量在各个领域中的应用，例如在数学方面对高阶矩阵运算的简化，以及数值分析方面的高次幂的求解；物理方面对不同振动模型的应用。本文就是主要采用举例说明的方法，通过实际问题的求解应用，并对于相关问题进行系统的归纳与分析，来体现出矩阵特征值与特征向量在解决问题中的优势。1.2 研究现状汤正华1在2008年讨论了矩阵的特征值与特征向量的定义、性质；特征值与特征向量的求法等问题。李延敏2在2004年通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征值与特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理。赵院娥、李顺琴3在2009年进一步研究几种矩阵的特征值问题。邵丽丽4在2006年通过对阶矩阵的特征值与特征向量的研究，针对阶矩阵的特征值与特征向量的应用进行了3方面的探讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题。黄金伟5在2007年给出求解矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法：列行互逆变换方法与列初等变换方法。向以华6在对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了反问题。张红玉7在2009年通过阶方阵的特征值得出一系列相关矩阵的特征值，再由特征值与正定矩阵关系得出正定矩阵的结论。王英瑛8在2008年利用矩阵的初等变换理论，详细讨论了矩阵特征值和特征向量的求法。夏慧明、周永权9在2008年提出一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。郭华、刘小明10在2004年从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用。岳嵘11在2007年通过对已知阶对称矩阵的个互不相等的特征值及个特征向量，给出矩阵的计算公式，并给出证明及应用举例。贤锋12在2006年通过建模实例介绍了最大特征值及特征向量的应用。王秀芬13在2004年推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值与特征向量求线性递推关系中的通项公式。吴江、许耿14等在“浅谈特征值与特征向量”一文中，根据线性变换的规律，引出了矩阵的相似性，以及特征值与特征向量的定义。刘国琪15在矩阵的运算中，从二者的性质出发，结合例子给出了特征值特征向量对于矩阵化简问题的作用。杨廷俊16运用计算机语言，以及MATLAB程序进行编程，从实际入手，给出了应用计算机来解决问题的全过程。戴华17等人，通过研究n阶矩阵的特征值与特征向量，给出了矩阵正定性的性质。近年来，对矩阵特征值与特征向量的研究已经很深入，本课题将对矩阵特征值与特征向量的相关问题进行系统的归纳。对矩阵的特征值与特征向量的基本性质进行介绍，根据其性质对矩阵特征值与特征向量的应用进行更深一步的探讨。1.3 研究内容由于本文为综述类论文，所以在基于前人的研究基础上，本文首先给出了特征值与特征向量的基本意义，以及一些相关的性质，这些内容会使得在后续的应用解题过程中，步骤更加简便。然后继续讨论了不同的对于矩阵特征值和特征向量的解法，例如定义法、初等变化法以及一些特殊方法，并给出实例加以验证。由以上过程作为基础，本文重点给出了特征值特征向量在各个领域中的应用，如数学领域、物理领域以及生活中的一般应用。数学中着重介绍了特征值与特征向量在线性递推关系和解常微分方程组中的应用；物理领域中则给出了从一般到复杂的振动系统中的分析，如2阶、3阶振动模型；在生活中则给出具体模型来研究并分析二者的应用。总体上本文就是通过大量的举例说明，来研究特征值与特征向量的各种应用，来体现其优越性。3 第2章 特征值与特征向量的理论 第13页第2章 特征值与特征向量的理论2.1 特征值与特征向量的一般理论为了研究矩阵的线性变换，并且希望能够在线性空间中通过一些线性变换找到一个比较简单的形式，所以引入了特征值与特征向量这一概念。我们知道，在一个有限维的线性空间中，确定一组基之后，线性变化就可以通过矩阵的方法来表示，当然对于一些复杂的形式来说，这种变化过程也十分繁琐。那接下来就是要讨论如何会使得这些方法变得简洁，首先介绍一下特征值与特征向量的定义。2.1.1 特征值与特征向量的定义线性空间中的定义：设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的任意一个数，存在一个非零的向量，使得 （2.1）那么就称是A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量18。从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变（0），或者方向相反（0），至于=0时，特征向量就被线性变化成零向量。如果是线性变换A的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数也是A的属于的特征向量。因为从定义式（2.1）中可以推出 （2.2）这说明特征向量不是被特征值所唯一确定的。相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为一个特征向量只属于一个特征值。矩阵中的定义：设A是数域P中的一个n阶矩阵，如果存在数域P中的任意一个数，和一个属于n维数域中的一个非零的列向量x，使得 （2.3）那么我们就称是矩阵A的一个特征值，向量x称为矩阵A的关于特征值的特征向量。上式可以改写为，这种形式就是常见的对于n个方程和未知数的齐次线性方程组求解的问题。很显然它有非零解的充分必要条件就是：它的系数行列式。由此就可以看出，矩阵A的特征值就是此方程的解，对于解的个数就有了如下的定理。定理2.1 设存在一个n阶的矩阵，并且它的特征值为，则有（1）；（2）；证明 因为上式通过多项式分解定理，可以得出，观察的系数有，又有，所以定理得证。2.1.2 特征值与特征向量的性质对于特征值与特征向量性质的研究，可以简化我们对矩阵求解问题的运算步骤，有时合理的利用某些性质也会更快的解决实际生活中的问题。性质2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式19。证明 给出两个矩阵A和B，设它们相似，那么就存在一个可逆的矩阵X，成立，于是 （2.4）但是需要指出的是，有相同的特征值的矩阵未必相似，我们可以举出很多这样的例子，比如 （2.5）两个矩阵具有相同的特征值，但是A的相似矩阵只能是A本身。性质2.2 属于不同特征值的特征向量线性无关19。证明 首先设不同的特征值与特征向量分别为和，二者一一对应。设有常数，使得 （2.6）则有 （2.7）即 （2.8）同理，以此类推有 （2.9）综合以上各式，并将其整合成一个矩阵的形式，得 （2.10）从上式中可以看出，当各不相同时，那么此行列式就不等于0，那么此行列式可逆，就可以得到 （2.11）即对每一个，都有。但是，即。所以，向量组线性无关。性质2.3 如果是矩阵A的特征值，并且当矩阵A可逆时，那么和分别是矩阵和的特征值19。证明 因为是的特征值，所以存在一个，使得.于是（1），所以可以看出是的特征值。（2）对于另一个性质，当矩阵A可逆时，由，有，因为,知，故,所以，是的特征值。由上述的证明过程不难发现，它也间接的说明了矩阵特征值全不为零是可逆的必要条件。从平方可以继续演变至n次方，即若是的特征值，则是的特征值。性质2.4 设A是数域P上的一个矩阵，是A的特征值多项式，则=O（此性质又被称为Hamilton-Caylay定理）19。证明 设是的一个伴随矩阵，通过行列式的有关性质有 （2.12）因为矩阵的元素是的每一个的代数余子式，并且都是的多项式，其次数不会超过n-1。因此由矩阵的运算性质可以写为 （2.13）其中都是的数字矩阵。再设则。而 （2.14）比较（2.14）式可以得出 （2.15）以依次乘以第一式，第二式，一直到第n式和n+1式，可得 （2.16）将上面的n+1个式子逐个相加，左边变成零，右边就是，所以得证。性质2.5 如果是A的特征值，那么为的特征值19=+ （2.17）证明 设为A 的关于的特征向量，那么就有A=，所以 =(+)= + + + （2.18） =+ = 且0，所以命题得证。性质2.6 。如果在数域P中能够分解为一次因式的乘积的形式，那么根据根与系数的关系可知，A的全体特征值的和等于，而A的全体特征值的积为19。2.2 特征值与特征向量的一般求解方法2.2.1 一般数字矩阵的简单求解通过对于矩阵特征值与特征向量的定义，我们对于一个确定的线性变换A的特征值与特征向量的求解方法，可以分成以下几个步骤：1、在线性空间V中取一组基，写出线性变换在这组基下的矩阵A；2、求出矩阵A的特征多项式在数域P中的所有的根，这些根就是线性变换下所有的特征值；3、把所求得的特征值逐个带入方程组中，对于每一个特征值，求解方程组，都可以得到一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。例2.1 在基下的一组线性变换A的矩阵形式为，求A的特征值与特征向量。解 先求出此矩阵的特征多项式 （2.19）可以看出当为零时，特征值分别为-1（二重）和5。并先将-1代入齐次方程组 （2.20）可以得到 （2.21）它的基础解系为， （2.22）由此便可以看出关于特征值-1的两个线性无关的特征向量为 （2.23） （2.24）再根据定义可以得出关于-1的特征向量为，其中的和取不全为零的任意值，然后再将5代入，可得 （2.25）基础解系为 （2.26）所以，对于特征值5的线性无关向量是 （2.27）可以看出特征值5的全部特征向量为，k的值同上，为不全为零的数。2.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量在开始介绍之前首先应该了解什么叫做矩阵的初等变换。矩阵的初等变换一般就分为初等行变换和初等列变换，先给出初等行变换的定义：（1）调换矩阵的任意两行（如i，j行）；（2） 将一个非零的数k乘以矩阵中某一行的所有元素；（例如第i行乘以k）；（3）将某一行元素的k倍加到另一行对应的元素上去；这就是矩阵的初等行变换，以同样的方法可以定义初等列变换。而经过这种初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。定理2.2 设A是一个n阶的矩阵，它的特征矩阵可以经过一系列的初等变换转化为一个下三角矩阵，记做，则对角线上元素乘积为零的方程的解就是A的特征值。证明 根据矩阵的初等变化，存在一个n阶的可逆矩阵，使得，即为 （2.28）由（2.28）就可以看出对角线元素的乘积为零的解就是特征矩阵的解。这样我们就可以得出一种求特征值与特征向量的方法。首先第一步先求出特征向量：设A是一个n阶矩阵，E是一个单位阵。为所要求的特征值，然后由上定理可知，对特征方程进行一系列的初等变换就可得出一个三角阵，然后使对角线元素乘积为零解方程即可求得。具体过程如下，设 （2.29）可以看出。观察特征矩阵的第一列元素，如果中有非零元素，那么任取其中一个，记做，经过矩阵的初等变换可得，若=0，那么对于本身就具有这样的形式，在对其中的进行行变换，可得，以此类推，直至转换为= （2.30）由以上的证明过程就可以知道，与是等价的，所以二者具有相同的初等因子，那么主对角线上元素乘积所构成的线性方程组的解，就是矩阵的特征值，接下来继续求特征向量，引入如下定理。定理2.3 若对于特征矩阵进行初等变换，将其转换为一个阶梯型的矩阵，同时对于一个相同形式的单位矩阵进行相同的变换，那么就存在一个n阶阵，使得 （2.31）其中的且是满秩矩阵，那么中的n-r个n维行向量就是矩阵A的特征值所对应的特征向量。证明 对于特征多项式的转置，经过一系列的初等变换，总是可以转换成标准型，这样就存在两个可逆的n阶矩阵，满足，所以（2.32）其中又是满秩矩阵，且，所以 （2.33）可得，所以就可以求出特征向量，即中的n-r个n维向量的转置。具体步骤如下：（1）先写出，经过初等行变换得出，其中的D是含有的上三角矩阵，P是单位阵经过变形后得到的矩阵；（2）从中求出特征值，即令主对角元素乘积为零的线性方程组的解，即为；（3）将求出的特征值代入，进行初等变换，当非零行向量的个数为r时，在矩阵P中的后n-r个行向量就是特征向量。例2.2 求矩阵A=的特征值和特征向量。解= （2.34） （2.35） （2.36）然后使中的主对角元素乘积为零，从（2.36）式可得所以特征值为；分别代入当时，所以当时对应的特征向量为。当时代入得 （2.37）所以得特征向量为。上面的例子给出了做初等行变换的方法，同样的对于列变换也可以用相同的方法解决，下面给出例子；例2.3 求矩阵的特征值与特征向量。解 （2.38）同理，使得主对角线元素乘积为零，即，所以可看出特征值为，将代入其中，可得 （2.39）可以得出特征值所对应的特征向量为，然后再将代入，结果如下所示 （2.40）可以得出特征值所对应的特征向量为。13 第3章 特征值与特征向量在数学领域简单应用 第21页第3章 特征值与特征向量在数学领域简单应用作为一个重要的概念，特征值与特征向量在数学中的应用也是最为广泛的，首先它贯穿了整个代数学，同时在对于解决某些较为特殊和复杂的函数问题时，也会使得问题更加简便，接下来就简略探究其在数学领域中的应用。3.1 高阶高次幂矩阵的求解对于一个高阶甚至于n阶的矩阵进行求解，若采用以往的方法会比较麻烦，所以就引入了较为简单的方法。当一个n阶的矩阵A可对角化时，就是说原矩阵与其对角阵相似，那么在计算它的高次幂矩阵时有简便算法。何为可对角化，如下条件即说该矩阵可对角化：前提是A为对称的矩阵，再有矩阵A有n个不相等的特征值，且特征值所对应的特征向量线性无关，对于每一个特征值均有。满足如上条件即可说A可对角化，。对来说，其中，它由A的n个特征向量构成。并且由A的n个特征值构成的对角矩阵为，有其中，所以。例3.1 已知矩阵，求（k是正整数）解 从题中可以看出，A是一个对称矩阵，所以可以采用上述的简便算法，通过特征值的解法，可以得出矩阵A的特征值为，设特征向量是，所以对角阵为，且矩阵P的逆为，又，化简后可以看出，有 （3.1） （3.2）3.2 在线性递推关系的应用线性递推关系与矩阵之间有着密不可分的联系，特征值与特征向量在其中也有着广泛的应用，接下来就讨论对于一般的线性递推关系中的应用。首先设一个K阶的线性数列，且是循环的，满足如下递推关系 （3.3）其中为常数且其中任意。那么方程 （3.4）经矩阵表示为 （3.5） 让 （3.6）那么（3.5）式可以写成 （3.7）通过递推关系（3.7）式变为，所以求就变成了求，即求。假设矩阵A可转化为对角阵，那么就存在可逆矩阵P，使得，则，于是 （3.8）在上面行列式的第一列上乘以，加到下一列，以此类推，就得到：当是矩阵A的特征值时，可以得到，那么齐次线性方程组的基础解系中只有一个解，所以当矩阵A有k个特征值时，分别对应着特征向量为，那么以其作为矩阵的列，所构成的矩阵p就是可逆矩阵，且 （3.9）例3.2 设数列满足如下递推的关系：，其中，求的通项。解 由题可得数列是三阶循环的，将方程组写成矩阵的形式，让 （3.10）经过递推得 （3.11）又由于，且，可得 （3.12）特征值为：，再由矩阵的特征方程求解，所得到的特征向量为： （3.13）令： （3.14）则 （3.15）代入（3.10）中有： （3.16）3.3 在一阶线性常微分方程组中的应用一阶线性常微分方程组出现在数学以及工程等许多领域，例如在控制理论和电路的分析中。在每种情况下，基本未知量是每个时间变量t的函数。然而同样也可以用特征值与特征向量的方法求解，首先我们第一个步骤就是重铸常微分方程组中的矩阵形式，其中A是nn常系数矩阵，X是未知函数中n-1列的列向量，是含有未知量所衍生出来的n-1列的列向量。其主要步骤是使A的特征矩阵变成沿对角线方向的微分方程系统。这一过程将使得变为，其中D是对角矩阵。我们会发现，微分方程这一新的对角系统可以轻松解决。如下的一阶线性常微分方程组 （3.17）令Y=， （3.18）设=为上式的系数矩阵，那么方程就可以写为矩阵的形式： （3.19）3.3.1 矩阵特征值为一重设微分方程的解为：= （3.20）即= （3.21）由前面的叙述可知，对于常微分方程所转化的系数矩阵A，当A可对角化时，根据矩阵A的特征值, ,和特征向量, ,可以求出（3.21）中的基础解系： （3.22）将其进行线性组合=+ + （3.23）上式就是方程（3.20）的通解，对于上式改写成矩阵的形式为：=. （3.24）记=,= （3.25）令=,= （3.26）那么方程（3.20）和（3.24）可写成：= （3.27）例3.3 求下列一阶线性常微分方程组的通解： （3.28）解 首先将方程改写为矩阵的形式：=， , = （3.29） （3.30）特征方程为=(+) （3.31）从上式可以看出，矩阵的特征值为-1和，二者分别对应的特征向量为=,= （3.32）令= （3.33）由通解的形式可知= （3.34）所以最终求得的解为 （3.35）3.3.2 当有重根的情况定理3.1 设矩阵A中m个不同的特征值分别为，重数为，那么对于每一个特征值，方程由如下 （3.36）形式的个线性无关的解，这里的分量不高于多项式的次数，然后取尽，就得到了基础解系。具体过程如下，设重特征根为： （3.37）其中的可以通过如下的矩阵求出 （3.38）然后接触所有的特征值，就可以得到方程的基础解。例3.4 求解常微分方程 解 系数矩阵A为 （3.39）从特征方程中可以看出矩阵的特征根为，。的基础解系为 （3.40）然后求2重特征根的解，从定理3.1中可以得出解的形式为： （3.41）其中的系数满足 （3.42）且, （3.43）对（3.43）式的求解可以得出线性无关向量为：, （3.44）然后将向量分别代入中，可以对于二重根的线性无关解为：, （3.45）所以最终求得的方程组的通解： （3.46）21 第4章 特征值与特征向量在物理学中的应用 第30页第4章 特征值与特征向量在物理学中的应用在开始说明特征值与特征向量在物理中的应用前，首先应该给出二者的物理意义。特征值表示矩阵的整体扩大或缩小了多少，在物理学中则表示做刚体运动，相当于整体外表发生变化，但是内部的结构没变，但是对于不同的情况有不同的解释，例如动力学中的频率，稳定分析中的载荷，以及主应力。特征向量表示在某一个方向上，发生旋转，平移，拉伸等变化后的组合，它主要应用于类似的旋转空间及振动模型当中。这一部分主要探究了特征值特征向量在振动模型中的应用及特性。4.1 简单理想状态双振动系统首先给出一个简单的双质量振动系统，如下图4.1中由3个弹簧及两个物体构成的系统（系统被限制在仅能水平方向上移动，不可上下平移）。图4.1 简单双振动系统可以借鉴最简单的自由落体系统图4.2 自由落体运动系统由此可以得到如下的运动方程 （4.1）即 （4.2）将上面得到的运动方程重新改写为矩阵的形式，如下 （4.3）令，可得 （4.4）现在一个简单的物理振动问题就转变成了一个矩阵问题，一种解的形式（类似于微分方程）如下： （4.5）则，可得 （4.6）从上式可以看出这是一个求特征值的问题，经过前面部分对特征值特征向量求解问题的讨论，可以得到： （4.7）即，故 （4.8）为了使上式变得简单，现在考虑具体的情况k1=k2=m=1，所以代入这些条件就可以得出，然后求得特征值后，可以由 ，即 （4.9）得出其对应的特征向量为。同理，由 ，即 （4.10）得出其对应的特征向量为。上面给出了该系统的特殊解，通过上述的过程我们可以得出双质量运动系统的一般形式为 （4.11）注意每一个频率（特征值）被使用了两次，这是因为解决方案是对于频率的平方，其中有两个解（正解和负解）。我们将使用初始条件来求解未知的系数，就像我们求解微分方程一样。在一个正确的解决方案里，数量c1和c2是一组共轭复数，同理c3和c4也是一样。这样该方程可以重新写为 （4.12）我们可以使用初始条件来求解未知数 （4.13）现在让我们来考虑一下对于初始条件，当速度为零的情况下，这是一种适用于任意位置的初始条件（这是我们最常使用的情况） （4.14）使用上述为零的初始条件，可以写成，即 （4.15）变换为方程组 （4.16）在实际生活中知道，频率不为零，所以唯一的解为 （4.17）因此，如果初始速度为零，唯一需要的余弦的解其一般形式可以简化为 （4.18）由初始条件求待定系数可得 （4.19）这就产生了一个的方程组，可以用许多方式来求解此方程组 （4.20）转换为矩阵的形式初始条件就变成 （4.21）即 （4.22）举例说明考虑如下情况，当k1=k2=m=1时，如前所述，对于普遍的初始条件 （4.23）假设的解为： （4.24）我们就可以知道 （4.25）我们可以把它写成两个方程中的两个未知数 （4.26），所以。因此该运动方程由下式给出 （4.27）或者 （4.28）延伸到一个系统上述过程很容易扩展到更大的系统中1、从运动方程系统中得到一个二阶的矩阵微分方程2、找到特征值（振动频率）和特征向量； 特征值为 ，特征向量为 频率为3、假设该方案的一种解决办法； 4、从初始条件求解未知系数（） 4.2 关于物理振动模型的解释和举例说明上一部分描述了如何应用数学的方法解决无损耗系统的振动传递反应，但是并没有给出过多的解决办法。这一部分将深入的讨论物理问题的解决方案。它回答了 “究竟特征值和特征向量代表了什么？”这个问题。4.2.1 二阶系统这里考虑的二阶系统的例子在前面一部分的最后已经分析过了，重要的部分和接下来的略有重复。当k1=k2=m=1时，该系统定义为一个二阶矩阵微分方程系统。 （4.29）矩阵A具有给定的特征值和特征向量， （4.30）特征值对应着频率分别为。以初始速度为零启动的系统的通解由下式给出： （4.31）对于确定的系数和，我们应用初始条件（t=0）求解，上式则变为 （4.32）如果我们现在定义一个矩阵，并且我们已经知道它的列向量就是其特征向量，就可以得到： （4.33）或，特征向量 （4.34）决定了该模型的形状，v1达到最高峰值为0.707，最低峰值为-0.707；对于v2，两个峰值都为0.707。现在让我们更加深入的理解有关这个公式更多的作用，看看初始条件发生了什么变化 （4.35）我们可以把上面的式子改写 （4.36）或者 （4.37）通过求解 （4.38）我们可以得到。这种情况下初始条件是v2的倍数，所以v1对解决方程没有贡献。根据该模型的形状，弹簧的振动幅度应该是相等的，方向相同。在这种情况下，我们就说模型1是不完善的。现在尝试将初始条件设置为和，在这种情况下，初始条件是v1的倍数，模式2不起作用。根据该模型的形状，弹簧的振动幅度应该是相等的，但方向上相反。注意这些振荡的频率高于第二模型，这是因为。在模型1中所有的弹簧会使得弹力增加，造成更大的加速度以及振动幅度。如果尝试接近初始条件，但并不相等（例如和），得到的运动模式将比较接近。这是因为在其它模式中，初始条件对于运动的改变只有极小的作用。现尝试一些其它的初始条件（比如，）。可得到一些复杂的运动，但是对于不同的运动系统虽然有所改变，但是结果都仅仅是该两种基本模式的线性组合而已。4.2.2 三阶系统三阶系统的模型可以由下图表示出来图4.3 三阶振动系统模型图上式的三阶振动系统模型（Kr=J1=J2=J3=1）可以由一个二阶矩阵微分方程表示为 ， （4.39）我们可以使用上述的解决办法轻松的找出此方程的特征值和特征向量，这里的特征值与特征向量在模型中可以理解为振动的频率和振动模式的形状。我们只需要修改矩阵A的向量和初始条件。（在这种情况下初始条件并不是十分重要，但是必须有适当的范围，以便于符合实际的物理模型）。在这种形式下，由于其运动模式有三种，因此该问题的解决方案就变成了 （4.40）但是虽然如此，我们还是可以用相同的方式来得出未知的系数 （4.41）就像在二阶系统中所做的一样，对于此三阶模型，首先尝试一些初始条件。比如对于这样的初始条件，可以得出 （4.42）显然这组初始条件非常接近模式3（最慢的模式），在预期的模型中就可以看出这三个飞轮彼此相同，J3转动最多而J1转动最少。如果尝试改变初始条件，例如，在这种初始条件下仅仅使得模式2被激发，J3是在J1和J2已经转动了180度之后才开始运动，并且J1的转动幅度最大，J3最小。30 第5章 特征值与特征向量在生活中的简单应用 第37页第5章 特征值与特征向量在生活中的简单应用矩阵的特征值与特征向量，除了在学术研究中有重要应用，在平时的生活中也有着广泛的应用，本章就通过一些实际应用，来探究二者的作用。5.1 环境污染及经济增长模型中的应用环境污染与经济发展，对于这两个问题的讨论是世界上恒久不变的主题。同样对这类问题的研究，也可以应用本文的主题特征值与特征向量来进行解决。首先为研究问题的可行性，需建立一个基本的数学模型，如下：设该地区的环境污染程度为，经济发展水平为，数年以后二者的发展程度为，那么与就有如下的关系式： （5.1）并且令 （5.2）那么就可以将上式改写为矩阵的形式：上式就体现出了该地区多年后的经济增长与环境污染之间的关系，例如给定初值 （5.3）通过（5.3）式，然后采用数学方法就可以预测多年以后的发展水平，一般设t年以后环境污染程度为，经济增长为。那么就可以将模型写为 （5.4）令 ，写成矩阵的形式则有 （5.5）上式就是通过一个类推，反映出了t年后的经济发展和环境污染的程度。下面就是通过应用矩阵特征值与特征向量进一步讨论，首先给出矩阵A的特征方程： （5.6）可以看出A的特征值分别为：。对两个特征值分别求特征向量，可得当的特征向量为，当时的特征向量为，可以明显的看出，两个特征向量线性无关，现讨论如下情况：1、，如果是矩阵A的关于的一个特征向量，那么也是矩阵的关于的特征向量。通过上面的性质就可以得出，即 或 。上式表明：在当前的经济增长和环境污染的速度下，在t年以后，随着经济发展的程度越高，环境污染的情况也就越严重。2、，所以不讨论此种情况3、首先，因为上式不是特征值，但是由于可以通过表示出来即根据上面叙述的特征值与特征向量的性质可以得出 （5.7）即， 。由此便可以预测未来t年中的发展变化情况，通过上述就可以说明，特征值与特征向量在此模型的分析中，取得了很大的作用。5.2 种群增长及分布模型中的应用最经典的种群模型就是莱斯利种群模型，它反映了动物种群中雌性的分布与种群整体数量上增长的关系。同时此模型也很好的体现了特征值与特征向量的应用。假设在一个种群中，雌性动物的最长寿命为L(单位：年），并将区间0,L分成n个年龄段 （5.8）可知每一个年龄段的长度为设其中第i个年龄段的生育率和存活率分别为和，其中生育率即每一个雌性动物产出幼崽的平均数，而存活率就是可以从第i年存活到i+1年的个数与第i年总体个数的比率。令 （5.9）上式就是原始阶段该种群中的雌性年龄分布所构成的向量。使并且设时该种群的第i个组分中雌性的个数为。令 （5.10）上式即为在时间时，该种群雌性的年龄分布。可以看出，随着时间的变化，该种群中雌性的数量也会发生变化。这样就可以分析出，在时刻，该物种的第一个年龄组中雌性动物的数目就等于内中各个年龄段下，雌性所生育的雌性幼崽的和， （5.11）又有时刻的该物种在i+1个年龄段中的雌性数量等于时刻第i个组分的雌性的存活量， （5.12）联立（5.10）和（5.11）得 （5.13）即 （5.14）所以矩阵变为 （5.15）则（5.13）即为 （5.16）于是 （5.17）所以根据以上分析就可以知道，如果知道了一个种群中雌性的年龄分布，就可以计算出对应的任意时刻种群雌性的年纪分布，从而最终对该种群数量进行合理的预测。5.3 常染色体遗传问题中的应用对于生命的探究，也一直是人们所致力研究的问题。从孟德尔发现遗传定律开始，了解到动植物的某些后天的特征是基因所影响的，这一重大发现，引起了人们对基因的遗传规律的重视。然后这一生物问题的研究，同样可以应用到特征值与特征向量。在常染色体的遗传中，分别有显性基因A和隐性基因a，然而在结合过程中，而后代的基因特性，也是通过双亲的基因类型，所排列组合形成的，所以后代所表现的基因类型也是多种多样的。例如某一植物的基因类型分别有AA、Aa和aa三种，现使用基因型为AA的植物，分别与每种类型进行杂交，所得出的后代的基因类型如下表：AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAA-AaAa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21当然，对于遗传问题不仅仅只能研究一次杂交，要研究多次甚至n次遗传。在不考虑基因突变或者其他特殊情况下，如果采用AA型杂交，根据上表可以得出第n代中的AA基因型，全部来自于上一代中的AA和Aa，而Aa型中的基因来自上一代中的Aa和aa。那么根据此规律进行假设：假设n=0,1,2，(自然数)和为第n代的中AA，Aa，aa三种基因型占总体的百分数，设是第n代基因的分布规律： （5.18）当n=0时，即初始的基因分布，有其中，根据上表的遗传规律可以得出，同时又和。所以，与，的关系可以表示为： （5.19）并设L为一个递推矩阵，那么最终就可以得到n代基因型分布与第n-1代基因型分布之间的关系如下：，其中 （5.20）同理，又可以根据递推性推导出与最开始的基因分布之间的关系： （5.2