线性代数试卷

线性代数（A卷） 一选择题(每小题3分,共15分)1. 设是任意阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A) (B) (C) (D)2. 如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量,那么矩阵的秩为( ) (A) (B) (C) (D) 以上答案都不正确3.如果三阶方阵的特征值为,那么及分别等于( ) (A) (B) (C) (D) 4. 设实二次型的矩阵为,那么( ) (A) (B) (C) (D) 5. 若方阵A的行列式，则( ) (A) A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A的列向量组线性相关,行向量组线性无关二填空题(每小题3分,共30分)1 如果行列式有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2. 设，是的伴随矩阵，则 ；3. 设,是非齐次线性方程组的解,若也是它的解, 那么 ；4. 设向量与向量正交,则 ；5. 设为正交矩阵,则 ；6. 设是互不相同的三个数,则行列式 ；7. 要使向量组线性相关，则 ；8. 三阶可逆矩阵的特征值分别为,那么的特征值分别为 ；9. 若二次型是正定的，则的取值范围为 ；10. 设为阶方阵,且满足,这里为阶单位矩阵,那么 .三计算题（每小题9分，共27分）1. 已知，求矩阵使之满足.2. 求行列式的值.3 求向量组的一个最大无关组和秩.四(10分)设有齐次线性方程组问当取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解(2)有无穷多个解,并求出这些解. 五(12分)求一个正交变换,把下列二次型化成标准形:. 六(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为.线性代数（A卷）答案一1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二1. 0 2. 3. 1 4. 3 5. 1或-16. 7. 0 8. 9. 10. 三1. 解 由得. (2分)下面求. 由于 (4分)而 . (7分)所以. (9分)2. 解 (4分) (8分) (9分) .3. 解 由于 (6分)故向量组的秩是 3 ，是它的一个最大无关组。(9分)四解 方程组的系数行列式 (2分)当,即且时,方程组有唯一的零解; (4分)当时, ,方程组的系数矩阵为,它有一个二阶子式,因此秩()(这里),故方程组有无穷多个解.对施行初等行变换,可得到方程组的一般解为 其中可取任意数; (7分)当时, ,方程组的系数矩阵为,显然,秩()(这里),所以方程组也有无穷多个解.对施行初等行变换可得方程组的一般解为 其中可取任意数. (10分)五 解 二次型的矩阵为, (2分)因为特征多项式为,所以特征值是(二重)和. (4分)把特征值代入齐次线性方程组得解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为. 利用施密特正交化方法将正交化:, ,再将单位化得 , (8分)把特征值代入齐次线性方程组得解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为.再将单位化得. (10分)令则是一个正交矩阵,且满足.所以,正交变换为所求,它把二次型化成标准形. (12分)六证明:必要性