电磁学(赵凯华,陈熙谋第三版)第四章 习题及解答

书书书 ! ! ! ! 面积为 #!$的两平行金属板， 带有等量异号电荷 #%#!， 其 间充满了介电常量 ! $# 的均匀电介质。 略去边缘效应， 求介质内的电场 强度和介质表面上的极化电荷面密度 #% 解： & $&#$ # ( ， ! ! ) $ & !# $ # !#( $ %# *# ! $# *() *# !$ *# $% ! $* *#$% !， &! $+&$ （!） !#) $ （!） # !( $ %# *# ! $# *# % !$) *# !)% !$ 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! # # ! ! 平行板电容器 （极板面积为 #， 间距为 $）中间有两层厚度各为$和$（$%$&$） 、介电 常量各为 !$和 !的电介质层 （见本题图） 。 试求： （$）电容 ； （）当金属板上带电面密度为 (!%时，两层介质的分界面上的极化 电荷面密度 !)； （&）极板间电势差 *； （!）两层介质中的电位移 + 解： （$）设上极板带正电，面电荷密度为 !%，下极板带负电，面电 荷密度为 !%，则可得 # # + &!%， # ,$& + !$!% & !% !$!%， # , & + !% & !% !%； 从而# # # # * &,$%,$& （!$%!$） !% !$!% ， # # & -! * & !%# （!$%!$） !%. !$!% & !$!%# !$ %! $ # （）!) &!$)%!) &/$!/& （!$!$） !%,$! （!$） !%, & !$ ! !$! !%， 若上极板带负电，则 # # # # !) & ! ! $ !$! !% # （&） # * & （!$%!$） !% !$!% # # （!） # +$&+ & !% 新概念物理教程电磁学# # 第四章# 电磁介质# 习题解答 ! ! ! ! 一平行板电容器两极板的面积都是#!，相距为$ #!，两 板间加上 %# 电压后，取去电源， 再在其间充满两层介质， 一层厚 # !、!%#$#， 另一层厚 &#!、! # 略去边缘效应， 求： （%）各介质中的电极化强度 $； （）电容器靠近电介质 的极板为负极板， 将它接地， 两介质接触面上 的电势是多少？ 解： （%）根据 ! 题的结果 % # !%!#& !% (! % ，因此 )#%* # !%!#& !% (! % * # $# +# +($ +%# !% +# # +# +%# !& ($# +&# +%# !&+() %# $ #)& +%# !$， $%# （!%!%） !#,%# （!%!%）)# !%& # （$#!%） )& +%# !$ $# +# $% !#&* +%# !$% !， $# （!%） !#,# （!%）)# !& # （#!%） )& +%# !$ # +&# $% !#%+ +%# !$% ! ! （）* #,# )# !#& # )& +%# !$ +&# +%# !& # +($ +%# !% +# # #*) +%#&# 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! ! ! ! ! 平行板电容器两极板相距 #$!， 其间放有一 层 ! #%$ 的电介质， 位置和厚度如本题图所示。 已知极板 上面电荷密度为#$# &$($ !($% %， 略去边缘效应， 求： （(）极板间各处的 %、 & 和 ； （%）极板间各处的电势 （设正极板处 ($#$） ； （#）画 &!)、!)、(!) 曲线； （!）已知极板面积为 $( %， 求电容 *， 并与不加电 介质时的电容 *$比较。 解： （(）设本题图中电容器内部从左到右分成 !、 、# 区。 由介质中的高斯定理可解出 !# # #$#& $($ !($% %， 从而&!#&# !$ # #$ !$ # & $($ !( &) $($ !(% #($&% ， &# !$ # #$ !$ #)$&% ； %!#%#$， %# （!(） !$&# （!(） #$ ! #!) $($ !($% % （%）(#!&!+ #!($ $ （($ $($ !%） & #!$($&， (%#(!&+ # （ !$($!)$ $($ $($ !%） & #!$()&， (#(%!&#+ # （ !$()!($ $($ $($ !%） & #!$%)& （#）&,)、,)、 (,) 曲线见右图。 （!）*#-$ ( # #$. &!+/&+/&#+ # #! %!/( !$. # () + #$ $%$ ) $ &) $($ !(%$( #$ $($ !()% (#(， #(%*$ 其中 *$#%(， 插入电介质， 电容增大 (% 倍。 新概念物理教程电磁学 第四章 电磁介质 习题解答 ! ! ! ! 平行板电容器的极板面积为 #， 间距为 $， 其间充满电介质， 介质 的介电常量是变化的， 在一极板处为 !， 在另一极板处为 !#， 其它处的介电 常量与到 !处的距离成线性关系， 略去边缘效应。 （）求这电容器的 %； （#） 当两极板上的电荷分别为&和 !&时， 求介质内的极化电荷体密度 ! 和表面上的极化电荷面密度 #! 解： （）设电容器极板左右放置，电介质左端面处坐标为 ( )$，右端 面处坐标为 ( )$，电介质中的相对介电常量为 ! )!*! # ! $ ( 根据介质中的高斯定理可得 + )#!$，从而介质中的场强为 , ) + !$ ) #!$ !$ ) #!$ !$!$* （!# ! ） ( ， - )!,( )! $ ! $ #!$ !$!$* （!# ! ） ( ( ) #!$ （!#!） !$#$ !# ! ， ! ! ! ! ! ! ! % % ) &$ - ) （!#!） !$# $#$ !# ! （#）根据矢量场论里的高斯定理 （%&）式可由介质中的极化强度 ! 与 极化电荷.关系 （#） 式导出其微分形式!)! !，其中!为极化电荷体 密度。 由此 ! )! ! )!（!） !$ )!$ ! !( ! () , !)!$ !# ! $ #!$ !$* （!#!） ( !$ ! （!） #!$ （!# ! ） ! $ !$* （!#!） ( #!# $ !)! （!#!） #!$ !$* （!#!） ( # )! （!#!） &$ !$* （!#!） ( #， ! ! ! ! #! )!/)! （!） !$,)! （!） #!$ ! ! （!） & !#， ! ! ! ! #!# )/#) （!#!） !$,#) （!#!） #!$ !# （!#!） & !# 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! # # ! ! 一平行板电容器两极板相距为 #， 其间 充满了两部分介质， 介电常量为 !$的介质所占的 面积为 $， 介电常量为 !%的介质所占的面积为 $%（见本题图） 。 略去边缘效应， 求电容 % 解：可以看出， 这相当于两个分别充满 !$和 !%介质的电容器并联， 于是有 % &%$%& !$!&$ ! %!&$% # 新概念物理教程电磁学# # 第四章# 电磁介质# 习题解答 ! ! ! ! 如本题图所示， 一平行板电容器两极板的面积都是 #， 相距为 $， 今在其间平行地插入厚度为 %、 介电常量为 ! 的均匀电介质， 其面积为 #&， 习题 # ! $ 设两板分别带电荷 和 !， 略去边缘效应， 求 （%）两板电势差 (； （）电容 )； （&）介质的极化电荷面密度 !* 解： （%）设电容器右半边极板上的电荷面密 度为 !%， 左半边极板上的电荷面密度为 !， 右边电场强度为 +%，左边介 质内的电场强度为 +，介质外的电场强度为 +&，于是 ! ! ! ! # !%, # !-， ! ! !% , !- # ，! .% - !%， ! . - !， ! +%- !% ! ， ! +- ! !， ! +& - ! ! ， 从左边看， 两极板间的电势差为 ( -+%,+&（$!%）- ! !%, ! ! （$!%） ， 从右边看， 两极板间的电势差为 ( -+%$ - !% ! $， 两电势差相等， 因此有 !%,!（$!%）-!$， 由 !、 两式可解出 !- !$ !$!%,% # ， ! ! !%- !$!%,% !$!%,% # ， ( ( - !% ! $ - !$! （!%） % $ !# !$! （!%） % ! （）! ! ! ! ! ! ! ) - ( - !# !$! （!%） % !$! （!%） % $ ! （&）! !* -/- （!%） !+- （!%） ! ! - （!%） # $ !$! （!%） % 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! 同心球电容器内外半径分别为#和#， 两球间充满介电常量为 ! 的均匀电介质， 内球的电荷量为 $， 求： （）电容器内各处的电场强度 % 的分布和电势差 &； （#）介质表面的极化电荷面密度 !； （$）电容 (%（它是真空时电容 (&的多少倍？ ） 解： （）根据介质中的高斯定理可解出 ) * $ !+ #， 因此 % * ) !& * $ !&+ #， & *! # # $ !&+ #+ * $ !& # ! # () # ! （#）! ! *,#$%#*!,*!$!&%*! （! !） $ !# ， ! ! ! ! !# *,#$%#*,# *$ !&%#* （! !） $ !# # ! （$）! ( * $ & *!&# #!# ，!是真空电容的 ! 倍。 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! 在半径为 # 的金属球之外有一层半径为 #$ 的均匀电介质层 （见 习题 ! # 本题图） 。 设电介质的介电常量为 !， 金属球带电荷量 为 %， 求： （$）介质层内、 外的场强分布； （%）介质层内、 外的电势分布； （&）金属球的电势。 解： （$）&内 % !( %， ! # ) ( ) #$， ! ! ! ! ! ! &外 % !( %， ! ! ( * #$ ! （%）+内! #$ ( &内!(,! ( #$ &外!( % ! $ ( ,!$ () #$ ， ! # ) ( ) #$ ! ! !+外! ( ( &外!( % !(， ! ! ! ( * #$ ! （&）+球 % ! $ # ,!$ () #$ 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 一半径为 # 的导体球带电荷 $， 处在介电常量为 ! 的无限大均匀电介质中。 求： （）介质中的电场强度 %、电位移 & 和极化强度 的分布； （#）极化电荷的面密度 !($ 解： （）& ) $ %!*# ， ! % ) & !& ) $ %!&* #， ! )#!&% ) （!） $ %!* # ； ! （#）! !( )#$ )! )! （!） $ %!* # 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! 半径为#、 介电常量为!的均匀介质球中心放有点电荷$， 球外 是空气。 （）求球内外的电场强度 % 和电势 & 的分布； （#）如果要使球外的电场强度为 $ 且球内的电场强度不变， 则球面上 需要有面密度为多少的电荷？ 解： ! （） ! ! ! ! %内 $ %!$( #， ! ( ) # %外 $ %!$( #， ! ( * # ! ! &内 $ %!$ ( +! () # ， ! ( ) # &外 $ %!$(， ! ( * # ! （#）! $ %!# ，这是指除电介质极化电荷之外所需另加电荷面密度。 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! # $ $ ! ! # 球形电容器由半径为 #的导体球和与 它同心的导体球壳构成， 壳的内半径为 #， 其间有两 层均匀电介质， 分界面的半径为 $， 介电常量分别 ! 和 !#（见本题图） 。 （）求电容 %； （#）当内球带电 !& 时， 求各介质表面上极化电 荷的面密度 !% 解： （） $ $ $ $ $ $( ) & !$# ， $ *) ( !& ) & !&$ #， $ # + $ + # *#) ( !#!& ) & !#!&$ #， $ # + $ + # # 极板间 电势差为 $ $ $ , )! # #*$-! # # *外$ ) & !& !# ! ! () # - !# ! !# () # ， $ $ $ $ $ $ % ) & , ) !#!&# !#（#!#） -!#（#!#） $ （#）! （#）).)#!&*) （!） & !# # ， $ $ $! （#）) （!#!） & !# # ! （!） & !# # ) （!#!） & !# #， $ $ $! （#）)! （!#!） & !# # # 新概念物理教程电磁学$ $ 第四章$ 电磁介质$ 习题解答 习题 ! ! # $ $ ! ! # 球形电容器由半径为 #的导体球和与 它同心的导体球壳构成， 壳的半径为 #%， 其间一半充 满介电常量为 ! 的均匀介质 （见本题图） 。 求电容 $ 解：设内球带电量为 %，上下两半球电荷面密 度不同。设未充电介质的半球电荷面密度为 !，充 有电介质的半球电荷面密度为 !%，有 % &%!# % !%!# % !%， & !%& % %!# % 根据对称性分析， 由电介质内的高斯定理可得 (& ) ! & # % ! !* % ， $ (%& )% ! & # % !% !* % 由于两个半球电容器并联， 极板之间电压相等， 因此 (&(%，从而有 !%&!，# 由 、# 两式可解出 !& % （!） %!# % ，于是极板之间的电压为 + &!(* &! #% # % %!（!） * % & % %!（!） # ! # () % ， & $ & % + &%! （!） #% #%!# 本题的另一种解法是把它看成一个真空的半球形电容器和一个充满电 介质的半球形电容器的并联， 因此 $ &%!#% #%!# %!#% #%!# &%! （!） #% #%!# 新概念物理教程电磁学$ $ 第四章$ 电磁介质$ 习题解答 题 ! ! ! # # ! ! ! 圆柱形电容器是由半径 为 #的导线和与它同轴的导体圆筒 构成的， 圆筒的内半径为 #$， 其间充 满了介电常量为 ! 的介质 （见本题 图） 。 设沿轴线单位长度上导线的电 荷为 ， 圆筒的电荷为 !， 略去边缘 效应， 求 ： （）两极的电势差 $； （$）介质中的电场强度 %、 电位移 &、 极化强度 ； （%）介质表面的极化电荷面密度 #!(； （!）电容 ) （它是真空时电容 )&的多少倍？ ） 解： （）根据介质中的高斯定理， 可得 & * $!+， # % * & !& * $!&+； 两极的电势差 $ *!%+ *! #$ # $!&+ + * $!& #$ #$ # # （$）& * $!+， # % * & !& * $!&+， # *$ !&% * （!） !&% * （!） $!+ # （%）#!( *%&% *! *! （!） $!# ， # #!$( *%&% * * （!） $!#$ # （!）) * , $ * $!&- #$ （#$. #） ， 它是真空电容 )&的 ! 倍。 新概念物理教程电磁学# # 第四章# 电磁介质# 习题解答 习题 ! ! # $ $ ! ! # 圆柱形电容器是由半径 为 # 的导线和与它同轴的导电圆筒 构成， 圆筒内半径为 $， 长为 %， 其间充 满了两层同轴圆筒形的均匀电介质， 分界面的半径为 &， 介电常量分别为 !和 !%（见本题图） ， 略去边缘效应， 求电容 解：根据介质中的高斯定理可得解出 ( ) %!&，从而 *) ( !& ) %!&， $ * %) ( !%!& ) %!%!&； 两极板之间的电势差为 + )! & # *!&,! $ & *%!& ) %!&# & # , %!%!&# $ & ， ) % + ) %!%!&% !%# （&- #） ,!# （$- &） 新概念物理教程电磁学$ $ 第四章$ 电磁介质$ 习题解答 ! ! ! !# 一长直导线半径为#!， 外面套有内半径为$%!的导体圆 筒， 两者共轴。 当两者电势差为#%# 时， 何处电场强度最大？其值是多少？ 与其间介质有无关系？ 解：! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # $ ! &!%， 长直导线与导体圆筒之间的电势差为 & $! & #$% $ ! &!%& & ， 从两式中消去 ! 得用电势差表示的场强分布公式： # $ % & %& （&( ） ， 可见场强与 % 成反比，% $处场强最大， 其值为 #$ & %& （&( ）$ #% %# )%& # $( )%# ， 由场强分布公式可以看出其值与其间的介质无关。 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 求垂直轴线均匀极化的无限长圆柱形电介质轴线上的退极化 场， 已知极化强度为 # 解：垂直轴线极化的无限长圆柱面出现极化电荷， 在 ! 角方向 ! 处的 一窄条无限长极化电荷在轴线上产生的退极化场为 !$% & ! % #!#$ & $%! #!#$ & #$%! #!#$ ， 它在 ( 方向的分量为 !$(% &!$%#$% （ !)!）&! # #!#$#$% #!， 从而轴线上的退极化场为 $% &$(% &! # #!#$! #! ! $ #$%#! &! # # $ 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 在介电常量为 ! 的无限大均匀电介质中存在均匀电场 !# 今 设想以其中某点 # 为中心作一球面， 把介质分为内、 外两部分。 求球面外全 部电荷在 # 点产生的场强 ! （! 比 !大还是小？ ） 解：根据书上第四章例题$ 的结果，均匀极化电介质球的退极化场 !# $!$%!，挖去一 均匀介质球产生的退极化场则为 !# $%!，于是球面 外部电荷在球心 # 点的场强为 & $& ( %! $&!& % &$ ! % &) & 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 在介电常量为 ! 的无限大均匀电介质中存在均匀电场 !# 今 设想在其中作一轴线与 !垂直的无限长圆柱面， 把介质分为内、外两部 分。 求柱面外全部电荷在柱轴上产生的场强 ! （如果真把圆柱面内部的介 质挖去， 本题的结论还适用吗？ ） 解：与上题类似， 根据习题 $ ! %& 的结果， 得 # $#% & ! $#%!% #$ !% # # 上述论证的前提如下： 介质对空间电场的影响是由于极化电荷的出现而激 发的退极化场 ! 的存在， 使得总电场为 ! $!%! ，若在介质中真的挖去 一 圆柱体， 由于此圆柱体空腔不是无限小的， 它将破坏均匀极化的条件， 以 上的所有推论都不再适用。 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 空气的介电强度为# #$#%! #， 铜的密度为&$ %#， 铜的 原子量为%( )*$ #&， 阿伏伽德罗常量$(%#+#$#+#&)$， 金属铜里每 个铜原子有一个自由电子， 每个电子的电量为 $%# #$# !$*( （$）问半径为 $#%# 的铜球在空气中最多能带多少电量？ （+）这铜球所带电量达到最多时， 求它所缺少或多出的电子数与自由 电子总数之比； （）因导体带电时电荷都在外表面上， 当铜球所带电压达到最多时， 求 它所缺少或多出的电子数与表面一层铜原子所具有的自由电子数之比。 【提示： 可认为表面层的厚度为 & !$，& 为原子数密度。 】 解： （$）( % ) ,!#* +， ! ! ! ) %,!#* +( ! !% $ + ,! #&* #$# !$+ # （$# #$# !+）+ # #$# % * % #$# !&* ! （+）铜球得失的电子数为 ) +，自由电子的总数为 , # $(，其中 是铜 的密度，, 为 铜球的体积，, 为 铜球的质量， # 为铜的摩尔质量， , # 为铜 球的摩尔数， 再乘以 $(就是铜球内的原子数，等于铜球中的自由电子数。 因此铜球带电量达到最多时 它得失的电子数与其中自由电子数之比为 ! ! -$% ) + , # $( !% #$# !& #%)* #$# ! # & #$#,! # （$# #$# !+） #%#+ #$#+#$% #$# !$ %* #$# !$ ! （）单位体积内铜原子数设为 &，& % $ ( # 表面层厚度的数量级为原 子间平均距离， 即 & !$，铜球表面层体积为 ,!.+&!$，因而表面层内铜原 子数为$ %& ,!.+& !$ %,!.+&+，于是铜球带电最多时， 铜球得失电子数 与表面层内电子数之比为 ! ! -+% ) + $ % ) ,!.+&+ !% #$# !& ,! # （$# #$# !+）+ # & #$#%#+ #$#+ %)* #$# !() + #$% #$# !$ %&%#$# !% 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 空气的介电强度为 #!# $%， 今有一平行板电容器， 两极板相 距 #$#$%， 板间是空气， 问它能耐多高的电压。 解：# $%& $ （# %#$#） $%$! 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! 一圆柱形电容器， 由直径为#!的直圆筒和与它共轴的直导 线构成， 导线的直径为#， 筒与导线间是空气， 已知空气的击穿场强为 $#$ !， 问这电容器能耐多高的电压？ 解：由圆柱电容器内场强分布可知内导体半径处场强最大， 电容器的 耐压由该处的场强小于击穿场强决定， 因此 # $ ! %!#%&， & $ ! %!#%& % %& $#%&%& % %& $ $# &#% %& % # () % # $&( &# 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 两共轴的导体圆筒， 内筒外半径为 #， 外筒内半径为 #（#$ #） ， 其间有两层均匀介质， 分界面的半径为 %， 内层介电常量为 !， 外层介 电常量为 !#& !#， 两介质的介电强度都是 (!# （）当电压升高时， 哪层介质先击穿？ （#）证明： 两筒最大的电势差为 )!#& (!#% # $% # %#$ !解： （）两层均匀介质中的场强分布规律分别为 (& #!%， ! ( #& #!#!% & !%， 对于同一种介质， 半径 % 小的地方场强大，故内层介质最容易在 #处被击 穿，外层介质最容易在分界面 % 处被击穿。由于 !# ! #，分界面半径 % 最 大为接近 #，而 %# &# $ #，因此介质 # 即外层介质将先被击穿。 ! （#）外层介质被击穿的场强为 (!#& #!#!%，两筒最大的电势差为 )!#& #!%$% % # * #!#!%$% # % ! ! ! ! !& #!% $% % # *#$% # () % & #!%$% # # %# & (!#% # $% # # %# 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! ! # # ! ! ! 设一同轴电缆里面导体的 半径是 #$，外面的半径是 #%，两导体间 充满了两层均匀电介质， 它们的分界面 的半径是 #，设内外两层电介质的介电 常量分别为 !$和 !（横截面见本题图） ， 它们的介电强度分别为 $和 $， 证明： 当两极 （即两导体）间的电压逐渐升高 时， 在 !$#$ % ! $# 的条件下， 首先被击穿的是外层电介质。 解：两层介质中场强分布规律分别为 $内& !$!&， # $ 外& !&， 在每层介质中场强最大的地方在其内侧， 在给定 的条件下那里的场强分 别为 $内 !#& !$!&#$， # $ 外 !#& !&#， 使 $内 !#达到$的&$&!$!&#$， 使$ 外 !#达到$的&!&#$ 若 ! $，则外层介质 先被击穿。故外层介质 先被击穿的条件为 !$#$ % ! $# 新概念物理教程电磁学# # 第四章# 电磁介质# 习题解答 ! ! ! !# 一均匀磁化的磁棒， 直径为#!， 长为$#!， 磁矩为%& !，求棒侧表面上的面磁化电流密度。 解：磁化强度 （即单位体积内的磁矩） # $ %& ! % （#&） %& ! %$# %& ! # ! $ %&(# !， ( $# $ %&(# ! 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 一均匀磁化磁棒， 体积为 #!$， 磁矩为 %!&， 棒内的磁 感应强度 # $%#$， （#）求磁场强度为多少 %&； （&）按照磁荷观点， 磁棒端面上磁荷密度和磁极化强度为多少？ 解： （#）% $% # ! $% &# !， ! ! $ # ! !% $ % &# ! !&# !( !% &# () ! $!% &# ! $!)& &#&%& ! （&）( $!% $ （!&# !( &% &#） () !&$)$ &# !&() !&， !) $( $)$ &# !&() !& 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! ! # 一长螺线管长为 #， 由表面绝缘的导线密绕而成， 共绕有 $ 匝， 导线中通有电流 % 一同样长的铁磁棒， 横截面也和上述螺线管相同， 棒是 均匀磁化的， 磁化强度为 !， 且 & $%( # 在同一坐标纸上分别以该螺线管 和铁磁棒的轴线为横坐标 )， 以它们轴线上的 *、 !#& 和 !#+ 为纵坐标， 画 出包括螺线管和铁磁棒在内两倍长度区间的 *!)、!#&!) 和 !#+!) 曲线。 解：长螺线管轴线上的*、 !#&、 !#+随坐标)的变化关系如图!所示。 *,) 曲线根据书上第二章 $% 节的计算结果作出；因没有磁介质，& #， !#& 也为 #；!#+ *!#& *，故 !#+ 曲线与 *,) 曲线同。 铁磁棒轴线上的的 *、!#&、!#+ 随坐标 ) 的变化关系如图 所示。由 & $%( # 知它在磁铁范围内为恒定值， 以外为#；由分子电流与磁荷观点的 等效性， 其 *,) 曲线与螺线管同；根据 !#+ *!#&可由 *,) 曲线与 !#&,) 曲线相减得 !#+,) 曲线。 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 ! ! ! !# 一圆柱形永磁铁， 直径#!， 长#!， 均匀磁化后磁极化强 度 # $#$ !$， 求： （）它两端的磁荷密度； （$）它的磁矩； （%）其中心的磁场强度 % 和磁感应强度 & 此外， ! 和 的方向关系若何？ 解： （）! $# $#$ ! $； ! （$）($)! # $! !*$+ # $# ,! , （&# ,# !%）$ ,# ! ,# !( % !$(&% !$； ! （%）% $% $-& # # $#$#$)* ,$# ! ,# !( %$ ! $+%$ !， 式中 -&$#$#$)* 是题设情形下的退磁因子。 !# 的方向与 $ 相反， $#!.$，因此 & $!#%.# $!-&#.# $)， ! 和 的方向相反。 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! # $ $ ! ! #（%）一圆磁片半径为 #，厚为 $， 片的 两面均匀分布着磁荷，面密度分别为 !和 ! （见本题图） 。求轴线上离圆心为 % 处的磁场强度 & （）此磁片的磁偶极矩 !和磁矩 ( 为多少？ （&）试证明， 当 $ # （磁片很薄）时， 磁片外 轴线上的磁场分布与一个磁矩和半径相同的电流 环所产生的磁场一样。 解： （%）由于磁荷观点的磁介质理论与电介质理论有很大的相似性， 可仿照电介质的极化得到磁荷观点的若干结果。由习题 % ! 均匀带电圆 面的电场分布结果容易写出一个圆磁片两面均匀分布磁荷 !和 !产生 的磁场分布： & ) ! ( %! %!$* #+ （%!$*） ! + ! ! ( %! %+$* #+ （%+$*） ! $) ! ( %+$* #+ （%+$*） ! ! %!$* #+ （%!$*） ! $ （）,!)-!$ )! !# $， $ ( ),! ( ) % ( ! !# $ $ （&）当磁片很薄即$#时，上面 （%） 的结果可简化， 将分母作二项式展 开， 取到 $ 的一次方项： & ) ! ( %+$* #+%+%$+$* () ! %*! %!$* #+%!%$+$* () ! %* ) ! ( #+% ! %+$* %+%$+$ *! #+% () %*! %!$* %!%$+$ *! #+% () %* # ! ( # +% ! （%+$*）%! %$+$*! （# +%() ）! （%!$*）%+ %$!$*! （# +%() ） ) !$ ( # +% ! %! % # +%() ) !#$ (# +% () &* ) ,! !(# +% () &* ) ( ! # +% () &* 一个磁矩和半径与此相同的电流环所产生的磁场在书上有 见 （#） 式 ： . ) (/# #+%() &* ) ( ! # +% () &* 从而$ $ & ) . ( ) ( ! # +% () &*， 结果与上述完全相同。 新概念物理教程电磁学$ $ 第四章$ 电磁介质$ 习题解答 ! ! ! ! # 地磁场可以近似地看做是位于地心的一个磁偶极子产生的， 在 地磁纬度 # 处， 地磁的水平分量平均为 $%&!， 地球的平均半径为 &($ #$， 求上述磁偶极子的磁矩。 解：利用电偶极子场强分布公式 （见书上第一章例题 )）可得 ! ! ! ! ! ! ! $!% ) !$ &$%&! & % ) ! (%&! & ， * ( %! & %&! $!% ! ) （&( )$） & %&# ) $%& ! )$ !& ($%+ )$%($% 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! # $ $ ! ! # 地磁场可以近似地看做是位于地心 的一个磁偶极子产生的。 证明：磁倾角 （地磁场 的方向与当地水平面之间的夹角） # 与地磁纬度 ! 的关系为 （见本题图） !# $ %!#! $解：利用电偶极子场强分布公式， 见上题， 有 $ $ $ $ !# $ !%& % $ !# !#& %$%& （&()!） & # !#& $(# （&()!） & $ $ $ $ $ $%(#! %&! $%!#! 新概念物理教程电磁学$ $ 第四章$ 电磁介质$ 习题解答 ! ! ! ! # 根据测量得出， 地球的磁矩为 # #$%&!& （$）如果在地磁赤道上套一个铜环， 在铜环中通以电流 $， 使它的磁矩 等于地球的磁矩， 求 $ 的值 （已知地球半径为 ()%#） ； （&）如果这电流的磁矩正好与地磁矩的方向相反，这样能不能抵消地 球表面的磁场？ 解： （$）% &$!&， ! * $ & % ! & & # #$%& ($# # （()#$%） & ! & #$%! ! （&）套在地磁赤道上的载流铜环不可能抵消地球表面的磁场， 因为这两 种不同磁矩的磁场只有在远处分布才是相同的， 而在地球表面处是不同的。 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! # # ! ! 一环形铁芯横截面的直径为 !$ !， 环 的平均半径 # $%&!， 环上密绕着 $ 匝线圈 （见本 题图） ， 当线圈导线通有 & ! 的电流时， 铁芯的磁导 率 ! $， 求通过铁芯横截面的磁通量 ( 解： $%& $!$ !# (!)$ !$() # $!*%$ !) *$ *$ *& *%$ ! * （$ *%$ !） *%& *%$ ! #$ $& *%$ !)#$ 新概念物理教程电磁学# # 第四章# 电磁介质# 习题解答 ! ! ! ! ! 一铁环中心线的周长为 #!， 横截面积为 $#!%， 在环上紧 密地绕有# 匝表面绝缘的导线， 当导线中通有电流%# 时， 通过环的横 截面的磁通量为 %# #$# !&$%， 求： （$）铁环内部磁感应强度的大小 $； （%）铁环内部磁场强度的大小 %； （）铁的磁化率 !和磁导率 ； （）铁环磁化强度的大小 & 解： （$）$ # ( %& #$# !& $# #$# ! & %# #$# !%&； ! （%）% )* + , * # #% #$# ! # #$#% # %# ； ! （） $ #% %# #$# !% !#$# !( #% )# #$#%， ! !$#)# #$#%； ! （）& !% （)# #$# % #%） # $& #$# 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! # $ $ ! !# 一无穷长圆柱形直导 线外包一层磁导率为 ! 的圆筒形 磁介质， 导线半径为 #%， 磁介质的 外半径为 #&（见本题图） ， 导线内 有电流 $ 通过。 （%）求介质内、 外的磁场强度 和磁感应强度的分布， 并画 % !& 和 !& 曲线； （&）介质内、 外表面的磁化面电流密度 ()； （）从磁荷观点来看， 磁介质表面有无磁荷？ 解： （%）此题具有轴对称性， 根据介质中的安培环路定理可求出介质 内外的磁场强度和磁感应强度为 % * $ &!&， *!% * !$ &!&， $ #% + & + #& !$ &!&， $ $ & , # & 导体内$ $ % * $& &!#& % ， $ * !$& &!#& % 曲线见右。 $ （&）- *!% * （!%） $ &!& ， $ $ $ (内) * （!%） $ &!#% ， $ (外) * （!%） $ &!#& $ （）由于! *! ， !的方向与同， 与磁介质的表面法线方向正交， 故表面无磁荷。 新概念物理教程电磁学$ $ 第四章$ 电磁介质$ 习题解答 习题 ! ! # $ $ ! ! # 本题图是某种铁磁材 料的起始磁化曲线， 试根据这曲线 求出最大磁导率 !最大， 并绘制相应 的 !# 曲线。 解：由图中原点作起始磁化 曲线的切线，切点处 # $%&! #， 该处的 ! 最大， 为 ! $ % !# $ % !&% !& &%& $ $ $!& &% 另外根据本题图， 取不同 # 值 及其对应的%值， 由!$% !#计算 出对应的 ! 值， 制成表如下： # （! #）% $!% %(%# )%(% %! (%!) %() !%!(* )%)(! #%)( &%)#%+ +%)&%# 根据表中数值绘制 !(# 曲线如右。 新概念物理教程电磁学$ $ 第四章$ 电磁介质$ 习题解答 ! ! ! ! # 下表中列出某种磁性材料的 # 和 $ 的实验数据， #% （! #） $% （$% #） ! #! $#% &#% ()#% ( *#% + ,$)% # )&)% ,#)% (#)% ( （)）画出此材料的起始磁化曲线； （）求表中所列各点处材料的磁导率 !； （$）求最大磁导率 !最大。 解： （)）根据题给数据作 出的起始磁化曲线如右。 ! （）表中所列各点处材料的磁导率 ! 分别为 （自上至下） ! ! ! & $ !# & #， +， (， *+，+， +(， (， $+， ) )#$ ! （$） 最大磁导率是由原点作起始磁化曲线的切线的斜率， !最大&+)# $ 新概念物理教程电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答 习题 ! ! # $ $ ! !# 中心线周长为%&!、截 面积为 ! !%的闭合环形磁芯， 其材 料的磁化曲线如本题图所示。 （）若需要在该磁芯中产生磁 感强度为&、 &(、 %、 #$% % 的磁场时， 绕组的安匝数 #$ 要多大？ （%）若绕组的匝数 # %&， 上 述各种情况下通过绕组的电流$应多 大？ （）若固定绕组中的电流， 使它 恒为 $ %&， 绕组的匝数各为多少？ （!）求上述各工作状态下材料 的磁导率 !) 解： （）由本题图可得 & %&#$% %时， %&#&% !， $ #$ %( % （&# )&%)&%&） 安匝%( 安匝； & %&(#$% %时， %&*&% !， $ #$ %( % （&* )&%)&%&） 安匝%+ 安匝； & %#$% %时， %+(&% !， $ #$ %( % （+( )&%)&%&） 安匝% )&%安匝； & %#$% %时， %(&% !， $ #$ %( % （%( )&%)&%&） 安匝%+ )&安匝。 $ （%）$ % #$ & % ( )& !， + )&!， &， %+ &； $ （）# % #$ & % (， +&， )&， %+ )&!匝； $ （!）! % & !& %! )&， (% )&， * )&， )&% 新概念物理教程电磁学$ $ 第四章$ 电磁介质$ 习题解答 习题 !