线性系统的数学模型.ppt

第2章控制系统的数学描述,2.1控制系统数学模型与控制工具箱函数2.1.1传递函数模型2.1.2状态空间模型2.2控制系统模型的转换及连接2.2.1模型转换函数2.2.2模型连接与化简2.3控制系统建模工程实例,控制系统的数学模型是对系统运动规律的定量描述，是控制系统分析和设计的前提。控制系统仿真是借助计算机强大的绘图与计算能力，应用仿真软件，对系统进行分析与设计，并对设计结果进行模拟与验证，因此在仿真中也应首先建立系统的数学模型。控制系统常用的数学模型有传递函数模型、状态方程模型、零极点增益模型、部分分式模型等，每种模型均有连续/离散之分，它们各有特点；同时，这些模型之间都有着内在的联系，可以进行相互转换。,第2章控制系统的数学描述,通常，控制系统可分成多个子系统，每个子系统可采用传递函数、零极点增益、状态方程三种表示形式。MATLAB提供的模型变换函数可方便地实现这三种表示形式之间的转换，而且利用模型建立函数可实现子系统的串联、并联、反馈等连接方式，从而得到复杂的控制系统。最后利用模型简化和实现函数，可得到简化后的期望模型。因此，本章主要讲述控制系统的传递函数模型、状态方程模型、零极点增益模型、部分分式模型等数学模型的MATLAB描述，以及这些模型的相互变换和模型简化与连接。,2.1.1传递函数模型,线性系统通常是以线性常微分方程来描述的，设系统的输入信号为u(t)，输出信号为y(t)，则系统的微分方程可写成,1.传递函数模型在零初始条件下，线性常微分方程经Laplace变换后，即为线性系统的传递函数模型：对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子(numerator)和分母(denominator)系数构成的向量组唯一地确定出来。,在MATLAB中，传递函数的分子、分母分别用num和den表示，表达方式为：num=b0,b1,b(m-1),bmden=a0,a1,a(n-1),an其中：它们都是按s的降幂进行排列的，缺项补零。如果ai，bi都为常数，这样的系统又称为线性时不变系统（LinearTime-invariantsystems，简称LTI）；系统的分母多项式称为系统的特征多项式。对物理可实现系统来说，一定要满足mn。对于离散时间系统，其单输入单输出系统的LTI系统差分方程为：,表2-1tf()函数的具体用法见下表,例2-1将已知系统的传递函数模型输入到MATLAB工作空间中。解：方法一：在MATLAB命令窗口中输入：num=11;%分子多项式向量den=1320;%分母多项式向量G=tf(num,den)%系统传递函数模型执行后结果如下：Transferfunction:s+1-s3+3s2+2s,方法二：在MATLAB命令窗口中输入：s=tf(s)%定义Laplace算子符号变量G=(s+1)/(s3+3*s2+2*s)%直接给出系统传递函数表达式执行后结果如下：Transferfunction:s+1-s3+3s2+2s,例2-2已知传递函数模型，将其输入到MATLAB工作空间中。解：方法一：在MATLAB命令窗口中输入：num=conv(10,21);%分子向量多项式den=conv(100,1713);%分母向量多项式G=tf(num,den)%系统传递函数模型执行后结果如下：Transferfunction:20s+10-s4+7s3+13s2,方法二：在MATLAB命令窗口中输入：s=tf(s);%定义Laplace算子符号变量G=10*(2*s+1)/(s2*(s2+7*s+13)%直接给出系统传递函数表达式执行后结果如下：Transferfunction:20s+10-s4+7s3+13s2,例2-3的RLC无源网络例2-3RLC电路如图2-1所示，试建立以电容上电压Uc(t)为输出变量，输入电压Ur(t)为输入变量的运动方程；如果R=1.6，L=1.0H，C=0.40F时，建立其传递函数模型。解：第一步：建立系统的微分方程。设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律、电流定律得到系统的回路方程为：（2-6）（2-7）将（2-7）代入（2-6），消去中间变量i(t)，得到描述RLC网络输入输出关系的微分方程为：（2-8）,第二步：根据微分方程写出传递函数。在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令，可得s的代数方程为：（2-9）由传递函数定义，得系统传递函数为：（2-10）将R=1.6，L=1.0H，C=0.40F代入（2-10）得：（2-11）第三步：将系统模型输入到MATLAB工作空间中。程序如下：clearclcs=tf(s);%定义Laplace算子符号变量G=25/(10*s2+16*s+25)%直接给出系统传递函数表达式程序运行结果为：Transferfunction:25-10s2+16s+25,例2-4某一以微分方程描述系统的传递函数，其微分方程描述如下：试使用MATLAB建立其模型。解：首先求取系统传递函数。在零初始条件下，对微分方程两边取Laplace变换，可得系统传递函数：然后建立系统模型，MATLAB程序如下：num=106;%分子多项式系数行向量den=16116;%分母多项式系数行向量G=tf(num,den)%建立传递函数模型程序运行结果如下：Transferfunction:s2+6-s3+6s2+11s+6,例2-5已知传递函数的分子为(s+1)，分母项为(s3+4s2+2s+6)，时滞是2，试建立系统的传递函数模型。解：方法一，由于系统有时滞项，除了设置分子项num和分母项den外，还要在tf()函数中设置输入传输延时iodelay的属性，其值赋给变量dt，具体的MATLAB程序如下：num=11;den=1426;dt=2;G=tf(num,den,iodelay,dt)程序运行结果为：Transferfunction:s+1exp(-2*s)*-s3+4s2+2s+6,方法二，也可以采用Laplace算子的符号变量直接建立传递函数模型，程序为：s=tf(s);G=(s+1)/(s3+4*s2+2*s+6);set(G,iodelay,2);G程序运行后结果与方法一相同。,2.零极点增益模型零极点增益模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行因式分解处理，获得系统的零点和极点的表示形式。（2-12）其中：K为系统增益，zi（i=1,2，m）为零点，pj（j=1,2，n）为极点。显然，对系数为实数的传递函数模型来说，系统的零极点或者为实数，或者以共轭复数的形式出现。,离散系统的传递函数也可表示为零极点增益模式：（2-13）在MATLAB中零极点增益模型用z,p,k矢量组表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnk=K调用zpk()函数就可以输入这个零极点增益模型，还可以将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型，具体用法如表2-2所示。,表2-2zpk函数的具体用法,例2-6双T网络如图2-2所示，试求以Uc为输出，Ur为输入的传递函数和零极点增益模型。其中R1=40，R2=80，C1=100F，C2=50F。图2-2例2-6双T网络解：首先，根据基尔霍夫电压定律、电流定律建立各元件的微分方程。方程如下：（2-14）,再求取系统传递函数。将（2-14）中各元件的微分方程进行拉氏变换，并改写成以下形式：（2-15）消去中间变量I1(s)和I2(s)，得到系统的传递函数为：（2-16）,将R1=40，R2=80，C1=100F，C2=50F代入上式，可得系统的传递函数为：最后，编写MATLAB程序。程序如下：num=1;den=16101;G=tf(num,den)G1=zpk(G)运行后，获得系统的传递函数和零极点增益模型，结果为：Transferfunction:1-16s2+10s+1Zero/pole/gain:0.0625-(s+0.5)(s+0.125),例2-7已知系统的传递函数为，将零极点增益模型输入MATLAB工作空间。解：在MATLAB的命令窗口输入：z1=-5;-5;%零点向量p1=-1;-2;-2-2*j;-2+2*j;%极点向量k=4;%增益向量G1=zpk(z1,p1,k)%得到系统零极点增益模型则执行后得到如下结果：Zero/pole/gain:4(s+5)2-(s+1)(s+2)(s2+4s+8),例2-8已知系统的传递函数为:求系统的零极点向量和增益值，并绘制系统零极点分布图。解：在MATLAB的命令窗口输入：s=zpk(s);%定义算子G=4*(s+5)/(s+1)/(s+2)/(s+6)%直接得到系统模型z,p,k=zpkdata(G,v)%得到系统零极点向量和增益值pzmap(G)%绘制系统零极点分布图则执行后得到的系统传递函数及零极点向量和增益值：Zero/pole/gain:4(s+5)-(s+1)(s+2)(s+6)z=-5p=-1-2-6k=4同时可得到系统的零极点分布图，如图2-3所示。图2-3例2-8系统零极点分布图,例2-9已知系统的传递函数为，求取系统的部分分式模型。解：在MATLAB命令窗口中输入：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4;r,p,k=residue(num,den),2.1.2状态空间模型系统中存在着若干个动态信息，称为状态，在表征系统动态信息的所有变量中，能够完全描述系统运行的最少数目的一组独立变量（不惟一）称为系统的状态向量，以n维状态变量为基所构成的空间称为n维状态空间，由状态向量所表征的模型便是状态空间模型。任何系统都可以用状态空间表达式来进行数学描述,具有n个状态、m个输入和p个输出的线性时不变系统，状态空间模型即状态空间表达式为：（2-18）其中：对于一个时不变系统，A，B，C，D都是常数矩阵。状态向量x(t)是n维，输入向量u(t)是m维，输出向量y(t)是p维；状态矩阵A（又称系统矩阵）是nn方阵，输入矩阵B（又称控制矩阵）是nm矩阵，输出矩阵C是pn矩阵，直接传输矩阵D是pm矩阵。离散系统的状态空间模型为：（2-19）式中u，x，y分别为控制输入向量、状态向量、输出向量，k表示采样点，A为状态矩阵，由控制对象的参数决定：B为控制矩阵，C为输出矩阵，D为直接传输矩阵。,在MATLAB中，用函数ss()来建立控制系统的状态空间模型，连续和离散系统的状态空间模型建立有所区别，具体用法如表2-3所示。另外，要得到状态空间模型，还可以从传递函数模型或者零极点模型转换过来。,例2-10RLC无源网络如图2-1所示，uc(t)为输入，uo(t)为输出，若选择i(t)，uc(t)为状态变量，试建立系统的状态空间模型，并用MATLAB实现。解：第一步：求取系统的状态空间模型。由图2-1可列系统微分方程，（2-20）（2-21）（2-22）写成矩阵形式：(2-23）若选择，则系统的状态空间模型为：（2-24）,，,其中：将R=1.6，L=1.0H，C=0.40F代入得：则系统的状态空间模型为：,第二步：MATLAB实现。在MATLAB命令窗口中输入：A=-16-1;250;%给状态矩阵A赋值B=1;0;%给输入矩阵B赋值C=01;%给输出矩阵C赋值D=0;%给前馈矩阵D赋值G=ss(A,B,C,D)%输入并显示系统状态空间模型执行后得到如下结果：a=x1x2x1-16-1x2250b=u1x11x20c=x1x2y101d=u1y10Continuous-timemodel.,例2-11将如下系统的状态空间模型输入到MATLAB工作空间中。解：在MATLAB命令窗口中输入：A=654;100;010;B=1;0;0;C=067;D=0;G=ss(A,B,C,D)%输入并显示系统状态空间模型,则执行后得到如下结果：a=x1x2x3x1654x2100 x3010b=u1x11x20 x30c=x1x2x3y1067d=u1y10Continuous-timemodel.,例2-12将如下一个两输入两输出系统的状态空间模型输入到MATLAB工作空间中，并求其系统参数。解：首先，在MATLAB命令窗口中输入以下程序，将状态空间模型输入到MATLAB工作空间：A=16910;31268;47911;5121314;B=46;24;22;10;C=0021;8022;D=zeros(2,2);%D为一个22的零方阵Gss=ss(A,B,C,D)%得到系统状态空间模型,程序执行后结果如下：a=x1x2x3x4x116910 x231268x347911x45121314b=u1u2x146x224x322x410c=x1x2x3x4y10021y28022d=u1u2y100y200Continuous-timemodel.,然后在MATLAB命令窗口输入以下语句，可获取系统模型参数：A,B,C,D=ssdata(Gss)执行后结果如下：A=1691031268479115121314B=46242210C=00218022D=0000,在MATLAB命令窗口中输入以下语句还可获得所有参数的属性值：get(Gss)执行后结果如下：a:4x4doubleb:4x2doublec:2x4doubled:2x2doublee:StateName:4x1cellInternalDelay:0 x1doubleTs:0InputDelay:2x1doubleOutputDelay:2x1doubleInputName:2x1cellOutputName:2x1cellInputGroup:1x1structOutputGroup:1x1structName:Notes:UserData:,2.2控制系统模型的转换及连接2.2.1模型转换函数,在实际工程中，要解决自动控制问题所需用的数学模型与该问题所给定的已知数学模型往往不一致，或者要解决问题最简单而又最方便的方法所用到的数学模型与该问题所给定的已知数学模型不同，此时，就要对控制系统的数学模型进行转换。同一个控制系统都可用传递函数模型、零极点模型和状态空间模型中的一种表示，这三种模型之间也可以进行相互转换，MATLAB的信号处理和控制系统工具箱中，提供了模型转换的函数：ss2tf、ss2zp、tf2ss、tf2zp、zp2ss、zp2tf，它们的关系可用图2-4所示的结构来表示，模型转换函数的具体功能见表2-4所示。,表2-4数学模型转换函数及其功能,例2-13已知系统传递函数为，试求其零极点增益模型及状态空间模型。解：在MATLAB命令窗口中输入：num=9;den=conv(13,144);Gtf=tf(num,den);Gzpk=zpk(Gtf)Gss=ss(Gtf),执行后结果如下：Transferfunction:9-s3+7s2+16s+12Zero/pole/gain:9-(s+3)(s+2)2a=x1x2x3x1-7-4-1.5x2400 x3020b=u1x11x20 x30c=x1x2x3y1001.125d=u1y10Continuous-timemodel.,例2-14已知某系统的零极点增益模型为：，求其传递函数模型及状态空间模型。解：在MATLAB命令窗口中输入：z=-1;-2;%零点向量p=-3-5;%极点向量k=3;%增益Gzpk=zpk(z,p,k)%零极点模型a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)%将零极点模型转换为状态空间模型num,den=zp2tf(z,p,k)%由零极点模型得到传递函数的分子和分母向量,例2-15将双输入单输出的系统模型转换为多项式传递函数模型。解：在MATLAB命令窗口中输入：a=01;-3-2;b=10;01;c=10;d=00;num,den=ss2tf(a,b,c,d,1)num2,den2=ss2tf(a,b,c,d,2)Gss=ss(a,b,c,d);Gtf=tf(Gss),运行后结果如下：a=x1x2x1-0.5620.05114x2-0.2540b=u1u2x10.032471.145x20.11250c=x1x2y111d=u1u2y100Continuous-timemodel.,Transferfunctionfrominput1tooutput:%系统从u1到y的传递函数模型0.145s+0.06076-s2+0.562s+0.01299Transferfunctionfrominput2tooutput:%系统从u2到y的传递函数模型1.145s-0.2908-s2+0.562s+0.01299Zero/pole/gainfrominput1tooutput:%系统从u1到y的零极点增益模型0.14501(s+0.419)-(s+0.5378)(s+0.02415)Zero/pole/gainfrominput2tooutput:%系统从u2到y的零极点增益模型1.145(s-0.254)-(s+0.5378)(s+0.02415),在实际应用中，整个控制系统是由多个环节按一定的结构组合而成的，每一个环节都可建立自己独立的数学模型，因此控制系统的数学模型可由组成系统的环节模型进行相应的数学运算而获得，当构成系统的环节不同或环节的连接方式不同，都将影响到系统的数学模型。模型间的基本连接方式主要有串联连接、并联连接和反馈连接三种。对系统的复杂连接情况，可以进行模型的化简。在MATLAB中，提供了三个函数series()、parallel()、feedback()实现上述三种连接方式的等效传递函数的求取，函数具体功能见表2-5所示。,2.2.2模型连接与化简,表2-5系统模型函数及功能说明,若控制系统由几个环节串联而成，即环节按照信号传递的方向串联在一起（如图2-5所示），并且各环节之间没有负载效应和返回影响，则系统可以等效为一个环节，其等效传递函数为各环节传递函数的乘积，即在MATLAB中，series()函数可完成等效传递函数的求取。,图2-5串联连接结构,1串联连接结构,例2-17已知两个系统的传递函数和，求其G1(s)和G2(s)进行串联后的系统模型。解：MATLAB程序为：num1=10;den1=2010;num2=11;den2=161;num,den=series(num1,den1,num2,den2);printsys(num,den)%将系统模型写成“num/den”格式程序运行结果为：num/den=10s+10-20s4+121s3+26s2+s,2模型并联若组成控制系统的环节具有相同的输入信号，且各环节输出信号的代数和作为系统的输出，则这几个环节的连接方式为并联，如图2-6所示，此时系统可等效为一个环节，其等效传递函数为各环节传递函数的和，即。在MATLAB中，parallel()函数可完成等效传递函数的求取。,图2-6并联连接结构,图2-6并联连接结构例2-18已知两个系统的传递函数和，求G1(s)和G2(s)进行并联后的系统模型。解：MATLAB的程序为：num1=10;den1=2010;num2=11;den2=161;num,den=parallel(num1,den1,num2,den2);printsys(num,den)程序运行结果为：num/den=20s3+31s2+61s+10-20s4+121s3+26s2+s,3反馈连接在自动控制系统中，若两个环节具有图2-7所示的结构形式，则称为反馈联接。反馈连接是重要的连接方式之一，对于图2-7(a)所示的正反馈系统，其等效传递函数对于图2-7(b)所示的负反馈系统，其等效传递函数。在MATLAB中，feedback()函数可计算闭环传递函数。,（a）正反馈连接,（b）负反馈连接,例2-19已知系统和，求G1(s)和G2(s)分别进行串联、并联和反馈连接后的系统模型。解：由系统的传递函数模型，编写MATLAB程序（程序1）如下：num1=11;den1=1426;G1=tf(num1,den1);num2=1;den2=16;G2=tf(num2,den2);Gs=series(G1,G2),%求取G1(s)和G2(s)串联的等效传递函数Gp=parallel(G1,G2),%求取G1(s)和G2(s)并联的等效传递函数Gf=feedback(G1,G2)%求取负反馈的等效传递函数，前向通道传递函数为G1(s)，反馈通道传递函数为G2(s),程序1执行后结果如下：Transferfunction:%串联等效传递函数为Gs=G1(s)*G2(s)s+1-s3+10s2+50s+156Transferfunction:%并联的等效传递函数为Gp=G1(s)+G2(s)2s2+11s+32-s3+10s2+50s+156Transferfunction:%反馈的等效传递函数为Gf=G1/(1+G1*G2)s2+7s+6-s3+10s2+51s+157,本例还可以用如下程序（程序2）完成：num1=11;den1=1426;G1=tf(num1,den1);num2=1;den2=16;G2=tf(num2,den2);Gs=G2*G1,Gp=G1+G2,Gf=G1/(1+G1*G2)程序2执行后结果为：Transferfunction:%Gss+1-s3+10s2+50s+156Transferfunction:%Gp2s2+11s+32-s3+10s2+50s+156Transferfunction:%Gfs4+11s3+60s2+206s+156-s5+14s4+117s3+621s2+1954s+4082,程序2执行后结果的Gf与程序1的Gf表达式不同，这是因为程序2的Gf分子分母存在公约项，这里可用函数Gf=minreal(Gf)来获得系统的最小实现模型。说明：对于反馈连接，虽然运算式与feedback()函数等效，但得到的系统阶次可能高于实际系统阶次，需通过minreal()函数进一步求其最小实现。严格意义上的传递函数定义为经过零极点对消之后的输入-输出关系，当分子分母有公因式时，必须消除。minreal()函数，即最小实现是一种模型的实现，它消除了模型中过多的或不必要的状态。对传递函数或零极点增益模型，这等价于将可彼此对消的零极点对进行对消。,例2-20给定一个多回路控制系统的结构方框图如图2-8所示，试求系统的传递函数。解：方法一：在MATLAB命令窗口中输入：G1=tf(1,11);G2=tf(1,341);Gp=G1+G2;G3=tf(1,10);Gs=series(G3,Gp);Gc=Gs/(1+Gs);Gc1=minreal(Gc)执行结果为：Transferfunction:s+0.6667-s3+1.333s2+1.333s+0.6667图2-8例2-20多回路控制系统的结构框图,方法二：新建一个空的M文件，将上述程序写在Editor窗口中，完成后单击Run图标或选择Debug菜单栏中Run运行，打开“Workspace”窗口中相应的变量，即可看到运行结果，例如：打开变量Gc，可看到：Transferfunction:9s6+36s5+56s4+42s3+15s2+2s-9s8+42s7+88s6+112s5+95s4+52s3+16s2+2s打开变量Gc1，可看到：Transferfunction:s+0.6667-s3+1.333s2+1.333s+0.6667,2.3控制系统建模工程实例例2-21组合机床动力滑台铣平面时的情况如图2-9(a)所示，试分析并求该系统的微分方程和传递函数。(a)动力滑台(b)动力滑台力学模型图2-9例2-21中组合机床动力滑台及其力学模型解：第一步：建立系统的微分方程并求取系统传递函数。任何一个机械振动系统一般都是由若干具有不同弹性和质量的元件组成。在研究机械振动时，需要将实际的振动系统抽象为力学模型，这是一种简化过程。,分析如图2-9(a)所示为组合机床动力滑台铣平面时的情况，当切削刀fi(t)变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量。为了分析和研究这个系统，设动力滑台的质量为m，液压缸的刚度为k，粘性阻尼系数为c，输入切削力为fi(t)，yo(t)为输出位移，若不计动力滑台与支承之间的摩擦，将动力滑台连同铣刀抽象成如图2-9(b)所示的质量弹簧阻尼系统的力学模型。,牛顿定律、虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础。根据牛顿第二定律知：（2-26）可得（2-27）将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得（2-28）上式就是组合机床动力滑台铣平面时的机械系统的数学模型，即动力微分方程。,第二步：根据微分方程写出传递函数。在零初始条件下，对（2-28）中各项求拉氏变换，并令，可得s的代数方程为：（2-29）由传递函数定义，得系统传递函数为：（2-30）若组合机床动力滑台中物体质量m1kg，弹簧的虎克系数为常数k=20N/m，粘性阻尼系数也为常数c=5N/m/s；则系统的传递函数为：（2-31）,第三步：将系统模型输入到MATLAB工作空间中。程序如下：clearclcs=tf(s);%定义Laplace算子符号变量G=1/(s2+5*s+20)%直接给出系统传递函数表达式程序运行结果为：Transferfunction:1-s2+5s+20,例2-22如图2-10所示为电枢控制直流电动机原理图，图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和漏磁电感，Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩，激磁磁通为常值，若电动机各参数分别为Ra2.0，La0.5H，Cm=0.1，Ce=0.1，fm=0.2Nms，Jm=0.02kg.m2，分别以电动机电枢电压Ua(t)和负载力矩Md(t)为输入变量，以电动机的转动速度m(t)为输出变量，在MATLAB中建立电动机的数学模型。,图2-10例2-22的电枢控制直流电动机工作原理,解：第一步：分析系统，绘制系统结构图。电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，根据直流电动机的工作原理及基尔霍夫定律，直流电动机的运动方程可由电枢回路电压平衡方程、电磁转矩方程和电动机轴上的转矩平衡方程三部分组成，分别如下所示。,（1）电枢回路电压平衡方程：（2-32）Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即（2-33）其中：Ce反电势系数。（2）电磁转矩方程：（2-34）其中：Cm是电动机转矩系数，Me(t)是由电枢电流产生的电磁转矩。,（3）电动机轴上的转矩平衡方程：（2-35）式中：Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的），fm电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。（2-36）,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而（2-36）可简化为：（2-37）其中：，Tm为电动机机电时间常数，。如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时（2-37）还可进一步简化为：（2-38）电动机的转速与电枢电压成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。根据式（2-32）（2-38），得到如图2-11所示的电枢控制直流电动机的结构图。,图2-11例2-22的电枢控制直流电动机结构图,第二步：根据系统系统结构图，求取系统传递函数。若选取电动机各参数分别为Ra2.0，La0.5H，Cm=0.1，Ce=0.1，fm=0.2Nms，Jm=0.02kg.m2，分别以电动机电枢电压Ua(t)和负载力矩Md(t)为输入变量，以电动机的转动速度m(t)为输出变量，在MATLAB中建立电动机的数学模型。在MATLAB命令窗口中输入：Ra=2;La=0.5;Cm=0.1;Ce=0.1;fm=0.2;Jm=0.02;G1=tf(Cm,LaRa);G2=tf(1,Jmfm);dcm=ss(G2)*G1,1;%前向通路数学模型dcm=feedback(dcm,Ce,1,1);%闭环系统数学模型dcm1=tf(dcm)；,程序运行结果如下：Transferfunctionfrominput1tooutput:10-s2+14s+41Transferfunctionfrominput2tooutput:50s+200-s2+14s+4