线性定常系统的状态反馈与状态观测器资料.ppt

7-3线性定常系统的状态反馈与状态观测器,闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用调整开环增益及引入串、并联校正装置来配置闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了利用输出反馈外，主要利用状态反馈来配置极点，它能提供更多的校正信息，在形成最优控制规律、抑制或消除扰动影响、实现系统解耦控制诸方面获得广泛的应用。,为利用状态进行反馈，必须用传感器来测量状态变量，但不是所有状态变量在物理上都可测量，于是提出用状态观测器给出状态估值的问题。因此，状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代系统综合设计的主要内容。,一、状态反馈与极点配置,设单输入多输出控制系统动态方程为状态向量x通过待设计的参数矩阵，即状态反馈矩阵k，负反馈至系统参考输入v，于是有便构成了状态反馈系统。,状态反馈系统动态方程为,式中k为（1n）矩阵，（A-bk）称为闭环状态阵，闭环特征多项式为,显见引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，b、C矩阵均无改变。,定理用状态矩阵任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统可控。证明先证充分性。设受控系统可控，定可通过P-1变换（即令）将A、b化为可控标准型，有,在变换后的状态空间内，引入状态反馈阵这里分别为由引出的反馈系数，故变换后状态反馈系统动态方程为,式中显见仍为可控标准型，故引入状态反馈后，系统可控性不变。其闭环特征方程为于是，适当选择可满足特征方程中n个任意待定系数的要求，因而闭环极点可任意配置。充分性得证。,若受控系统不可控，必有状态变量与u无关，不可能实现所示的全状态反馈，于是不可控子系统的特征值不可能重新配置，系统传递函数不能反映不可控部分的特征。必要性得证。,求解实际问题的状态反馈阵时，并不必象上述证明那样去进行可控标准型的变换，只需首先校验受控系统可控，并计算其多项式系数均为的函数，与给定特征值配置的相应多项式系数相比较，便可确定k。应注意配置极点时并非离虚轴愈远愈好，以免造成频带过宽使抗干扰性降低。K阵中元素数值不可随意取得过大，以免对动态特征性产生不良影响及物理实现不易。实现高阶受控系统的状态反馈是复杂的，状态变量测量问题是需要克服的障碍。,对于受控系统计算变换后传递矩阵G1式中,故计算变换后状态反馈系统的传递矩阵G2式中,故显见G1、G2有相同的分子多项式，故引入状态反馈前后，系统闭环零点并无改变。当任意配置的极点与零点存在对消时，状态反馈系统的可观测性质将会改变，而不能保持原受控系统的可观测性，即可能使原可观测的改变为不可观测的，也可能使原不可观测的改变为可观测的。,只有当原受控系统不含闭环零点时，状态反馈系统才能保持原有的可观测性。以上性质适用于单输入多输出或单输出系统，但不适用于多输入多输出系统。闭环零点对系统动态性能影响甚大，在规定希望配置的特征值时，需充分考虑闭环零点的影响。,例13设受控系统传递函数为试用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1j。解:该单输入单输出受控系统传递函数无零极点对消，故可控。其可控标准型实现为（13）状态矩阵k为,状态反馈系统方程为期望闭环极点对应的系统期望特征方程为由两特征方程同幂项系数相等的条件可得即,例14设受控系统传递函数为试研究采用状态反馈法，闭环极点配置在-2，-1j的可能性。解:该单输入单输出受控系统传递函数存在零极点对消，若选择可控标准型实现（但不可观测），仍可配置极点，计算方法同上例。这里研究选择可观测标准型实现但不可控的情况。,引入状态反馈阵状态反馈系统闭环状态阵为,可观测标准型为,其闭环特征多项式为期望闭环特征多项式为,将两特征多项式同幂项系数比较有式（2）-（3）有与（1）相矛盾，故无解。表示受控系统不可控时，用状态反馈不能配置极点，因而是不能采用的。,二、输出反馈与极点配置,输出反馈有两种形式：一为将输出量反馈至状态微分处；一为将输出量反馈至参考输入。以多输入单输出受控对象为例。1.输出量反馈至状态微分设受控对象动态方程为输出反馈系统动态方程为故式中h为（n1）输出反馈阵。,定理用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统可观测。证明：用对偶定理来证明。若（A，B，C，）可观测，则对偶系统可控，由状态反馈极点配置定理已知，的特征值可任意配置，但的特征值与的特征值是相同的，故当且仅当（A，B，C，）可观测时，可以任意配置的特征值。该定理表明：输出至状态微分的反馈系统仍是可观测的，也未改变闭环零点，于是不一定能保持原受控系统的可控性。,2.输出量反馈至参考输入该输出反馈系统动态方程为式中输出反馈阵h为（p1）维。若令hC=K，该输出反馈便等价为状态反馈。适当选择h，可使特征值任意配置。由结构图变换原理可知，比例的状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必含有输出量的各阶导数，于是h阵不是常数矩阵，这会给物理实现带来困难，因而其应用受到限制。可推论，当h阵是常数矩阵时，便不能任意配置极点。输出至输入的反馈不会改变受控系统的可控性和可观测性。,三、扰动影响的抑制与消除,实际系统中不可避免地存在扰动作用，致使系统稳定时不能理想地跟踪参考输入而产生误差。经典控制理论中用偏分的积分及复合控制来抑制与消除单输入单输出系统的稳定误差，在此将其推广到多输入多输出系统中去。1偏差积分的引入设受控对象动态方程为式中d为（n1）维扰动输入。希望y(t)理想地跟踪参考输入yr(t)。,假定定义偏差向量e(t)为则引入偏差向量的积分q(t)可消除阶跃扰动参考输入作用下的稳定误差。注意到q(t)与y(t)有相同的维数，均为（q1）维。q(t)由q个积分器生成，每个积分器的输入是偏差向量的一个分量。,当时，有将q作为附加状态向量，与原受控系统可构成系统增广动态方程式中新的状态向量为（n+q）维。要求该增广系统可控，以便能用状态反馈实现闭环极点的任意配置，以保障系统的稳定性、动态性能及消除稳态误差。,增广系统的可控性矩阵S为式中S为维矩阵，S1为维矩阵。增广系统可控的充要条件是ranks=n+q,故也是满秩矩阵。于是有注意到该式成立的必要条件是：及rankC=q。至此，增广系统可控的充要条件又可表为（1）受控对象可控，（2）为实现闭环极点的任意配置，可选择下列状态反馈控制规律式中K1为（pn）矩阵，K2为（pq）矩阵。,由和组成的状态反馈增广系统的动态方程为,引入状态反馈的增广系统结构图如图所示。其闭环特征多项式f()为式中K1、K2诸元素由期望的闭环极点配置决定。对,取拉氏变换，可求得输出向量的拉氏变换式为当及时，稳定输出量为且存在当扰动和/或参考输入为斜波信号时，需引入重积分器，这时增广系统动态方程随之改变。,例15已知单输入单输出受控对象动态方程为为常值干扰幅度。试设计状态反馈使输出y在稳态时理想跟踪常值输入，且使闭环极点配置在-2，-2，-1，-1+j。解由于是单输入系统，引入一个积分器，可消除常值干扰和常值参考输入作用下的稳定误差。引入偏差e的积分q（t）,增广的受控系统动态方程为,校验增广系统可控性,故增广系统可控，可用状态反馈任意配置极点。状态反馈设计：令闭环系统动态方程为,其特征多项式f()为期望特征多项式为,由解得校验稳定误差：,故稳定误差,2.复合控制复合控制系统结构图见图9-32。图中d加定为可测量的扰动向量，H为常数矩阵。受控对象动态方程为复合控制就是选择阵，在=0条件下使u=-d以实现y对d的不变性。复合控制系统动态方程为其输出解为要求y(t)不受d(t)的影响，就是要求,由于d(t)是任意的，故要求即令有由于式化为,或式表明，实现对的不变性的系统，若是可控的，则不可观测；式表明，该系统若是可观测的，则不可控。当复合控制系统可观测时，有则有可求得。,全维状态观测其及其设计,当受控对象可控，利用状态反馈配置极点时，需用传感器来测量状态变量以便形成反馈。但传感器通常用来测量输出，许多中间状态变量不易测得或不可能测得，于是提出利用受控对象的输入量和输出量，通过状态观测器（又称为状态估计器、状态重构器）来重构状态的问题。当重构状态向量的维数等于受控系统状态向量的维数时，称为全维状态观测器。由可观测性定义已知，根据系统的输入量、输出量及它们的各阶导数，能够确定系统的状态，不过实现这样的状态重构系统必含多重微分器因而是不实际的。下面来研究通用的、直观的状态观测器构成方案，并揭示与受控系统的观测性的密切关系。,全维状态观测器构成方案,设受控系统动态方称为可构造一个动态方程与上式相同但用计算机实现的模拟受控系统式中分别为模拟系统的状态向量估值及输出向量。当模拟系统与受控对象的初始状态向量相同时，在同一输入作用下，有可用作为状态反馈需用的信息。但是，受控对象的初始状态可能很不相同，模拟系统中积分器初始条件的设置又只能预估，因而两个系统的初始条件总有差异，即使两个系统的A、B、C阵完全一样（完全一样通常是不可能的），也必存在估计状态与受控对象实际状态的误差难以实现所需的状态反馈。,但是，的存在必导致的存在，而受控系统的输出量总是可以通过传感器测得的，于是根据一般反馈控制原理，利用并负反馈至处，控制尽快逼近与零，从而使尽快逼近与零，这时便可利用来形成状态反馈了。按以上原理构成的状态观测器及其实现状态反馈的结构图见图9-33。图中示出状态观测器有两个输入即u和y；输出为，含n个积分器并对全部状态变量作出估计。H为观测器输出反馈阵，它把反馈至，是为配置观测器极点，提高其动态性能即使逼近于零而引入的，它是前面介绍过的一种输出反馈。,全维状态观测器分析设计,由图可列出全维状态观测器动态方程故有.（1）式中（A-HC）称为观测器系统矩阵，H为（nq）维矩阵。关键在于分析能否在任何初始条件下，其与x(t0)尽管不同，但总能满足（2）满足式（2）时，状态反馈系统才能正常工作，式（1）所示系统才能作为实际的状态观测器，故式（2）有观测器存在条件之称。,式（1）与式（2）之差可得误差状态向量应遵循的关系为其解为显见当时，恒有所引入的输出反馈并不起作用；当时，有输出反馈起作用了，这时只要（A-HC）的特征值具有负实部，初始状态向量误差总会按指数衰减规律满足式（2），其衰减速率取决于（A-HC）的极点配置。由前面的输出反馈原理已经证明，若受控对象可观测，则输出反馈系统的极点可以任意配置，以满足逼近x的速率需求，因而保证了状态观测器的存在性。,定理若受控系统（A、B、C）可观测，则其状态可用形如的全维状态观测其给处估值。矩阵H按任意配置极点的需求来选择，以决定状态误差衰减的速率。选择H阵参数时，应注意防止数值国大带来的实际困难，如饱和效应、噪声加剧等，通常希望观测其响应速度必状态反馈系统的响