线性代数同济六版珍藏版.ppt

线性代数同济六版,一元一次方程ax=b,一元二次方程,二元、三元线性方程组,行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性矩阵的特征值和特征向量,一元一次方程ax=b,当a0时，,二元（三元）线性方程组,例解二元线性方程组,得,于是,类似地，可得,于是,第一章行列式,1二阶与三阶行列式,线性方程组,消去x2,的两边后,两式相加得,消元法,记,称它为二阶行列式，,于是，线性方组（1）的解可以写为,定义为,类似地，可得,类似的，我们还可以定义三阶行列式为,n阶排列共有n!个.,排列的逆序数,2全排列及其逆序数,把1,2,n排成一列，称为一个n阶全排列.,奇排列逆序数为奇数的排列.,在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有,例1排列12n称为自然排列，,所以是偶排列.,一个逆序.,偶排列,一个排列中所有逆序的总数.,逆序数为偶数的排列.,它的逆序数为0，,三阶排列,共有321=3!个.,例2排列32514的逆序数为,t(),例3排列n(n1)321的逆序数为,t(n(n1)321)=0+1+2+(n1)=,排列32514为奇排列.,5,三阶行列式定义为,3n阶行列式的定义,三阶行列式是,3!=6项,的代数和.,123,231,312,132,213,321,t(123)=0,t(231)=2,t(312)=2,t(132)=1,t(213)=1,t(321)=3,三阶行列式可以写成,定义由n2个数组成的数表，,称为n阶行列式,项的代数和，,即,规定为所有形如,记成,例1下三角行列式,例2下三角行列式,例3三阶行列式,例5n阶行列式,例4四阶行列式,经对换a与b,得排列,所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,4对换,对换,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,证先证相邻对换的情形.,那么,设排列,经对换a与b排列，得排列,相邻对换,再证一般对换的情形.,设排列,事实上，排列（1）经过2m+1次相邻对换变为排列（2）.,定理2n阶行列式也可以定义为,根据相邻对换的情形及2m+1是奇数，,性相反.,所以这两个排列的奇偶,53142,解t(53142)=0+1+2+1+3=7,t(53412)=0+1+1+3+3=8,53412,求这两个排列的逆序数.,经对换1与4得排列,例1排列,1.选择i与k使,（1）25i1k成偶排列;,（2）25i1k成奇排列.,若是，指出应冠以的符号,3.计算n阶行列式,练习,行列式中的项.,1.（1）i=4,k=3时，即排列25413为偶排列；,（2）i=3,k=4时，即排列25314为奇排列.,性质1,性质2,5行列式的性质,推论两行（列）相同的行列式值为零.,数k,推论行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号,性质4,性质3,式等于零.,等于用数k乘此行列式.,行列式与它的转置行列式相等.,互换行列式的两行（列），行列式变号.,行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列,外面.,若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，,例如,则此行列式等于两个行列式之和.,性质5,把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另,一行（列）的对应元素上去，,行列式的值不变.,性质6,设,行列式DT称为行列式D的转置行列式.,记,那么,=,设行列式D=det(aij)互换第i,j(ij)两行,得行列式,性质2的证明,其中，当ki,j时,bkp=akp;当k=i,j时，bip=ajp,bjp=aip,其中,1ijn是自然排列,所以,于是,=D,例3,r2-r1,例5,=,=0,例6,例7,解r2-r1,r3-3r1,r4-r1,例8计算行列式,r22,r3+r2,r4-2r2,r4(-3),r3r4,r4+3r3,例9计算行列式,解从第4行开始，后行减前行得，,例10计算行列式,解各行都加到第一行，,各行都减第一行的x倍,第一行提取公因子(a+3x),6行列式按行（列）展开,在n阶行列式det(aij)中，把元素aij所在的第i行和第j列,Aij=(1)i+jMij,记成Mij,称为元素aij的余子式.,称它为元素aij的代数余子式.,划去,剩下的(n1)2个元素按原来的排法构成的n1阶行列式,记,例1三阶行列式,中元素a23的余子式为,元素a23的代数余子式为,例2四阶行列式,中元素x的代数余子式为,=5,行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,或,的代数余子式乘积之和，即,素的代数余子式乘积之和等于零.即,定理3,推论,引理在行列式D中，如果它的第i行中除aij外其余元素,都为0,即,D=aijAij,那么,证明先证aij位于第1行，第1列的情形，即,由行列式的定义，得,再证一般情形，设,用互换相邻两行和相邻两列，把aij调到左上角，得行列式,利用前面的结果，得,于是,所以引理成立.,定理3行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,证因为,或,的代数余子式乘积之和，即,椐引理，就得到,类似地可得,例3计算四阶行列式,解按第1列展开，有,例4计算四阶行列式,解按第1行展开，有,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得,解c3-c1c4-2c1,例5计算四阶行列式,第1行提取2，第2行提取1,按第2行展开得,按第1行展开,r2+r1,=24,c2-c1，c3-c1,例6证明范德蒙（Vandermonde）行列式,证用数学归纳法.,所以当n=2时（*）式成立.,假设对于n1阶范德蒙,rix1ri-1,i=n,n1,2,有,因为,对n阶范德蒙行列式做运算,行列式等式成立.,按第1列展开后，各列提取公因子(xi-x1)得,椐归纳法假设，可得,归纳法完成.,推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,元素的代数余子式乘积之和等于零.即,例7计算行列式,解,先以3阶行列式为例，例如为了证得,因为,所以,又,设行列式D=det(aij)，,因为行列式D1中第i行与第j行元素对应相同，,把行列式D1按第j行展开，有,类似地，也可以证明另一个式子.,所以,推论的证明,取行列式,7Cramer法则,设线性方程组,定理4（Cramer法则）若线性方程组（1）的系数行列式不,即,等于零，,其中,则方程组有唯一解,证先证（2）是（1）的解，即要证明,为此看n+1阶行列式,第1行展开，注意到，其第一行中aij的代数余子式为,首先，因为第1行与第i+1行相同,所以它的值为零.再把它按,故有,因而,即,是线性方程组（1）解.,3个恒等式,A12,A22,An2分别乘以上的3个等式得,相加,得,设x1=c1,x2=c2,x3=c3是线性方程组（1）的解,于是有,类似的可得,于是,也就是,由于,例1用Cramer法则解线性方程组,解因为,所以,定理5如果齐次线性方程组,的系数行列式D0，那么它只有零解.,下述齐次方程组有非零解？,解根据定理5，若此齐次线性方程组有非零解，则其系,所述方程组确有非零解.,行列式必为0.而,第五章相似矩阵及二次型,1预备知识向量的内积,定义1设有n维向量,令x,y=x1y1+x2y2+xnyn,称x,y为向量x与y的内积.,内积具有下列性质：,1.x,y=y,x;,3.x+y,z=x,z+y,z;,4.x,x0,其中x，y，z是为向量，,易知,x,y=xTy.,当且仅当时x=0时x,x=0.,定义2非负实数,称为n维向量x的长.,向量的长具有性质：,长为1的向量称为单位向量.,若向量x0,如果x,y=0，那么称向量x与y正交.,一组两两正交的非零向量.,正交向量组:,那么它应满足,由,得,规范正交向量组:,定理1正交向量组必线性无关.,证设向量组a1,a2,ar是正交向量组,类似的可证,于是向量组a1,a2,ar线性无关.,但不为正交向量组.,向量组e1,e2,er为规范正交向量组，当且仅当,若有一组数,由单位向量构成的正交向量组.,设向量组a1,a2,ar线性无关，则必有规范正交向量组,正交化：,单位化：,于是，e1,e2,er是规范正交向量组，,且与a1,a2,ar,等价.,e1,e2,er与a1,a2,ar等价.,e1,e2即为所求.,取它的一个基础解系,再把b2,b3正交化即为所求a2,a3.,也就是取,定义3设n维向量e1,e2,er是向量空间V的一个基,如果向量组e1,e2,er为规范正交向量组，,则称e1,e2,.,向量组a1,a2,a3是所求正交向量组.,er是V的一个规范正交基.,所以对齐次方程组,定义4如果n阶矩阵A满足,那么称A为正交矩阵.,n阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向,设n阶矩阵A=(a1,a2,an),其中a1,a2,an是,或者说,n阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列,A为正交矩阵，即是,ATA=E,都是正交矩阵.,例6,（行）向量组构成向量空间Rn的一个规范正交基.,A的列向量组.,量组是规范正交向量组.,由此可见，A为正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量,组是规范正交向量组.,定义5若P为正交矩阵，则线性变换x=Py称为正交变换.,线性变换的系数构成矩阵,于是线性变换（）,就可以记为,x=Py,都为正交变换.,例7,若线性变换x=Py为正交变换，,a,b为任意两个向量.那么,这是因为,特别的，,2方阵的特征值与特征向量,定义6设A是n阶矩阵，,和n维非零列向量p,非零向量p称为A的对于特征值,称为方阵A的特征多项式.,称为n阶矩阵A的特征方程.,(1)式也可写成,使得,行列式,求n阶方阵A的特征值与特征向量的方法：,1求出矩阵的A特征多项式,特征值.,它的非零解都是,例1求矩阵,的特征值和特征向量.,解A的特征多项式为,于是，,所以，A的特征值为,得基础解系,解方程组(A-E)x=0.由,其中k为任意非零数.,得基础解系,例2求矩阵,的特征值和特征向量.,解A的特征多项式为,其中k是任意非零数.,所以，A的特征值为,解方程组(A-3E)x=0.由,得基础解系,的全部特征向量为kp1,解方程组(A-E)x=0.由,其中k为任意非零数.,得基础解系,的全部特征向量为kp2+lp3,其中数,证对特征值的个数m用数学归纳法.,由于特征向量是非零向量，,所以，m=1时定理成立.,量是线性无关的，,令p1,p2,pm依次为m个不等的特征值,下面证明p1,p2,pm,p1,p2,pm,k,l不同时为零.,依次是与之对应的特征向量,那么p1,p2,pm线性无关.,假设m1个不同的特征值的特征向,线性无关.,设有一组数x1,x2,xm使得,x1p1+x2p2+xmpm=0(1),成立.,以矩阵A左乘式(1)两端,得,（3）式减（2）式得,根据归纳法假设，p1,pm-1线性无关，,所以,x1=0,.,xm1=0.,这时（1）式变成，xmpm=0.,因为pm0，,所以只有xm=0.,这就证明了p1,p2,pm线性无关.,归纳法完成，定理得证.,于是,p1,p2依次是与之对应的,那么向量组p1,p2线性无关,证设有一组数x1,x2使得,x1p1+x2p2=0(1),成立.,以矩阵A左乘式(1)两端,得,（3）式减（2）式得,所以x1=0.,这样（1）式变成，x2p2=0.,因为p20，,所以只有x2=0.,这就证明了p1,p2线性无关.,特征向量，,所以有向量p0使，,于是，,求上三角矩阵,练习,的特征值与特征向量.,的特征值,3相似矩阵,定义7设A,B都是n阶矩阵，,P-1AP=B,则称矩阵A与B相似，,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值也相同.,证因为A与B相似，,故,定理3若n阶矩阵A与B相似，,所以有可逆矩阵P，使P-1AP=B,若有可逆矩阵P，使,证毕.,矩阵.,相似，,由定理3知，,定理4n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是:,定理4的证明如果可逆矩阵P,使,若记矩阵,也就是,n个线性无关的特征向量.,推论若n阶矩阵A与对角矩阵,推论如果n阶矩阵A的特征值互不相等，,则A与对角矩阵相似,A有,P=(p1，p2,pn),A(p1,p2,pn)=(p1,p2,pn),即为(Ap1,Ap2,Apn)=,再由P是可逆矩阵便可知，,反之，如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量p1,p2,于是，应有数,以向量组p1,p2,pn构成矩阵P=(p1，p2,pn),则P,矩阵，,即A与对角矩阵相似.,p1,p2,pn就是A的n个线性,其中p1,p2,pn是P的列向量组,就有,为可逆矩阵，,无关的特征向量.,pn,2例1中的3阶矩阵,只有2个线性无关的特征向量，,2例2中的矩阵,是A的特征值3的线性无关的特征向量,所以它不可能与对角矩阵相似.,是A的特征值1的线性无关的特征向量.,P=(p1,p2,p3)=,于是，3阶矩阵A恰有3个线性无关的特征向量p1,p2,p3，,则P为可逆矩阵，且,P-1AP=,所以它能与对角矩阵相似.,令,例1判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似,解A的特征多项式为,因此A的特征值为,变换矩阵和对角矩阵,得基础解系,解方程组(A-E)x=0.由,得基础解系,令,则可逆矩阵P为所求相似变换矩阵,且,于是，3阶矩阵A有3个线性无关的特征向量，,所以它能与对角,矩阵相似.,例2设2阶矩阵A的特征值为1,5,与特征值对应的特征,求A.,解因为2阶矩阵A有2个互异的特征值，,取,应有,所以,据定理4的推论，,A能与对角矩阵相似.,向量分别为,例3社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是：在从农,解到2001年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳,如果引入2阶矩阵,表示每年非农从业,人员中有1/20改为从农工作.,表示每年从农人员中有,3/4改为从事非农工作.,于是有,业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势,员各占全部劳动力的1/5和4/5，试预测到2005年底该地劳动力从,人员中每年有3/4改为从事非农工作，在非农从业人员中每年有,1/20改为从农工作.到2000年底该地从农工作和从事非农工作人,动力的百分比分别为,和,再引入2维列向量,其分量依次为到某年底从农工作和从事非农,表示到2000年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳,如向量,那么，2001年底该地从农工作和从事非农工作,于是，到2005年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部,劳动力的百分比应为,k年后该地劳动力的从业情况可由,矩阵A的特征多项式,Ax,工作人员各占全部劳动力的百分比,动力的1/5和4/5,人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出,对应的特征向量，,对应的特征向量，,则P为可逆矩阵，,所以,矩阵相似.,据定理4的推论，A能与对角,且使得,类似的，第k年底该地劳动力的从业情况为,按此规律发展，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占,全部劳动力的百分比趋于,例4如果,于是A与B的特征多项式相同，但A与B不相似.,特征多项式相同的矩阵未必相似.,即，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动,力的6/100和94/100.,那么,4对称矩阵的相似矩阵,定理5实对称矩阵的特征值为实数.,p为对应的特征向量.,于是有,两式相减，,因为p0,则p1与p2正交.,p1,p2依次,是它们对应的特征向量.,即,定理6,定理7设A为n阶对称矩阵,线性无关的特征向量.,即p1与p2正交.,恰有r个,因为A是实对称矩阵，,所以,于是,证由已知有,r重根,左乘（2）式的两端得,重数依次为r1,r2,rm,于是,r1+r2+rm=n.,恰有ri个线性无关的实特征,向量,把它们正交单位化，即得ri个单位正交的特征向量,i=1,2，,m.由r1+r2+rm=n.,知这样的特征向量恰有n个.,又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交(根据定理6)，,故这n个特征向量构成规范正交向量组.,以它们为列构成矩阵P,它们的,定理5及定理7知，,根据,则为P正交矩阵，,并有,恰是A的n个特征值.,定理8设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使,是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.,为对角矩阵,于是得正交矩阵,P=(p1,p2,p3),且使得,将其规范正交化.,解A的特征多项式为,为对角矩阵,再单位化得,正交化：取,于是得正交矩阵,P=(p1,p2,p3),且使得,5二次型及其标准形,定义8n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数,f(x1,x2,xn)=,称为二次型.,于是（1）式可写成,f(x1,x2,xn),对二次型(1)，记,则二次型(1)又表示为,f(x1,x2,xn)=,其中A为对称矩阵，,叫做二次型f(x1,x2,xn)的矩阵，,也把f(x1,x2,xn)叫做对称矩阵A的二次型.,对称矩阵A的秩，,叫做二次型f(x1,x2,xn)=xTAx的秩.,二次型f(x1,x2,xn)经过可逆的线性变换,即用(3)代入(1)，,还是变成二次型.,那么新二次型的矩阵与,原二次型的矩阵A的关系是什么？,可逆线性变换(3),记作,x=Cy,f(x1,x2,xn),g(y1,y2,yn),x=Cy,可逆线性变换,(AT=)A,B(=BT),CTAC=,把可逆的线性变换x=Cy代入二次型f=xTAx,得二次型,f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y,就是说，若原二次型的矩阵为A，,那么新二次型的矩阵为,其中C是所用可逆线性变换的矩阵,定理9设有可逆矩阵C,使B=CTAC,如果A为对称矩阵，,则B也为对称矩阵，,且R(A)=R(B).,CTAC,即B为对称矩阵.,因为B=CTAC，,所以R(B)R(AC)R(A).,因为,所以R(A)R(BC-1)R(B),故得R(A)=R(B).,A=(CT)1BC1，,证因为A是对称矩阵,即AT=A，,所以,BT=(CTAC)T,=CTAT(CT)T,=CTATC,=B,主要问题：求可逆的线性变换,将二次型(1)化为只含平方项，,即用(3)代入(1)，能使,f(x1,x2,xn),称（4）为二次型的标准形.,总有正交变换,x=Py，,使f化为标准形,定理8设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使,是以A的n个特征值