矩阵可交换的条件及其性质VIP

中文摘要 特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换 矩阵 可交换 特殊矩阵 上三角矩阵 数量矩阵ABSTRACT Special matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields. Keywords: the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。由矩阵的理论可知，矩阵的乘法不同于数的乘法，矩阵的乘法不满足交换律，即当矩阵有意义时，矩阵未必有意义；即使矩阵、都有意义时它们也未必相等。由于矩阵的乘法不满足满足交换律，所以对于研究与的关系有重要意义。我们知道，若对阶实方阵、，如果满足，则称、可交换。可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指阶实方阵）。一 基本定义和相关概念 以下定义1.1.1到定义1.1.8均来自参考文献6.定义1.1.1 若同阶矩阵、有，则称与为可交换矩阵.定义1.1.2 阶方阵中若元素，称为阶对角矩阵，记 .定义1.1.3 主对角线上的元素都是1，其余元素全是0的矩阵 称为阶单位矩阵，记为，或者在不致引起含混的时候简写为.显然有 ， .定义1.1.4 在阶对角阵中，若，称此时的为数量阵.记其中为阶单位阵.定义1.1.5 若阶方阵满足其中为的转置阵，则称为对称阵.定义1.1.6 若阶方阵满足，即，其中为的转置阵，则称为反对称阵.定义1.1.7 若同阶方阵满足,其中为同阶单位阵，则称与互为逆方阵，记逆矩阵或者.定义1.1.8 若阶方阵满足，其中为同阶单位阵，则称为正交矩阵.定义1.1.9 若阶方阵，满足,则称为正矩阵.定义1.1.10 若对于矩阵、矩阵存在可逆矩阵，使得则称矩阵和矩阵相似.这里对于置换矩阵有.二矩阵可交换的充分条件定理2.1.1 设、至少有一个为零矩阵，则、可交换；定理2.1.2 设、至少有一个为单位矩阵，则、可交换；定理2.1.3 设、至少有一个为数量矩阵，则、可交换；定理2.1.4 设、均为对角矩阵，则、可交换；定理2.1.5 设、均为准对角矩阵，则、可交换；定理2.1.6 设是的伴随矩阵，则与可交换；定理2.1.7 设是可逆矩阵，则与可交换; 推论2.1.8 设，则、可交换. 证明： 2.1.1对任意矩阵，均有：，表示零矩阵； 2.1.2对任意矩阵，均有：，表示单位矩阵； 2.1.3对任意矩阵，均有：，为任意实数； 2.1.4、2.1.5显然成立； 2.1.6； 2.1.7； 2.1.8当时，、均可逆，且为互逆矩阵.定理2.1.9 设是对角元为的对角阵，为与同阶的方阵.如果，则与可交换.定理2.1.10设,其中为非零实数，则、可交换.证明：由可得,即， 故依推论2.1.8 得,于是 ,所以 .定理2.1.11设，其中为正整数，为非零实数，则、可交换；证明：由得 ,故依定理2.1.8得, 于是 ， 所以可得.定理2.1.12 设可逆，若或或，则、可交换；证明：若，由可逆得,从而，故； 若，同理可得,故; 若,则,故.定理2.1.13 设、均可逆，若对任意实数，均有，则、 可交换. 证明：因、均可逆，故由得可逆，且, 则 两边取转置可得.或由 两边取逆可得.定理2.1.14 设阶方阵 其中为阶方阵，阶方阵 ，是与分块方法相同是矩阵，若则与可交换.三矩阵可交换的充要条件定理2.2.1 下列均是、可交换的充要条件： （1）;（2）;（3）;（4）.证明：（1）由及可证得；（2）由可证得；（3）分别由，两边取转置可证得；（4）分别由，两边取伴随可证得.定理2.2.2设阶矩阵、，其中有个互不相同的特征根，则的充分必要条件是、可同时对角化。证明：必要性 由于有个互不相同的特征根，则存在可逆矩阵使得 因为，所以有而与可交换的矩阵只能是对角矩阵，故为对角矩阵.即存在可逆矩阵使得、同时对角化. 充分性 由已知存在可逆矩阵使得 , 那么有.扩展：设是一个矩阵集合，中每个矩阵都与对角矩阵相似，那么中任意两个矩阵是可交换的存在可逆矩阵使得对中所有矩阵为对角阵.证明：必要性（1）先证明当为有限集时结论成立，设,用数学归纳法，当时，结论成立；当时，仿定理6的必要性易证得.设时成立，考虑时:因为可对角化，从而存在可逆矩阵使得 ,其中各不相同, ,为阶单位矩阵. ， ,由知为准对角阵，且与是同阶矩阵.因为可对角化，那也可对角化，由得，从而由归纳假设知存在可逆矩阵使得，为对角阵.令,则可逆，且使得为对角阵.也为对角阵， 此即时也成立.再考虑为无限集时，由于，而包含于，从而中必存在一个极大无关组，其中.则由（1）知存在，使得都是对角阵，任意,有，为对角阵.得证.充分性：利用数学归纳法易证得.定理2.2.3均为实对称矩阵，则可交换的充分必要条件是、可同时正交对角化.证明：必要性 由于均为实对称矩阵。则可对角化， 所以存在正交矩阵，使得，其中是 的特征值，. 由得 为准对称矩阵. 由于可对角化，则它的初等因子都是一次的， 的初等因子也是一次的，所以存在使得为对角阵.令则为对角阵.令,则为正交阵，且为对角阵. 充分性 由可同时正交对角化，则存在正交阵使得 , 所以. 定理2.2.4可逆矩阵、可交换的充要条件是 证明：分别由；两边取逆可证得.定理2.2.5（1）设、均为（反）对称矩阵，则、可交换的充要条件是为对称矩阵；（2）设、有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则、 可交换的充要条件是为反对称矩阵. 证明 （1）必要性 设、均为对称矩阵，那么有 ,因此为对称矩阵; 若、均为反对称矩阵，则,因此也为对称矩阵. 充分性 设、均为对称矩阵，则 若、均为反对称矩阵，则.仿（1）可证（2）.定理2.2.6设、为正定矩阵，那么正定. 证明： 必要性 由得即是实对称矩阵. 由于、都是正定的，从而都可对角化，所以存在可逆阵使得，,其中大于零.且大于零，即为正定阵. 充分性 由是正定阵，从而是实对称阵.所以. 定理2.2.7 为阶矩阵，且有个互不相同的特征根，那么是的线性组合. 证明 充分性：显然； 必要性：由定理5知存在使得 ，,又由拉格朗日内插法知，存在唯一的次多项式使得于是 所以，即是的线性组合.定理2.2.8 是阶矩阵，那么存在可逆矩阵使得与均为对角阵.证明 必要性：由得可对角化，设使得， 由得,即 ，所以有 ,为阶子块. ，故，即. 于是存在，使得令则即可同时对化. 充分性：同定理2.2.6充分性的证明.四可交换矩阵的一些性质设可交换，则有性质2.3.1 其中都是正整数；证明：由可得 同理可证.性质2.3.2 ,其中是的多项式，即与的多项式可交换； 由性质2.3.1可证性质2.3.3 ;性质2.3.4 （矩阵二项式定理）. 性质2.3.3、性质2.3.4对用数学归纳法可证得. 性质2.3.5 设、是阶方阵，则存在一个阶可逆矩阵，使得与同为上三角矩阵. 性质2.3.6 型如 的二阶方阵的可交换阵为二阶方阵 （其中为任意实数）. 性质2.3.7 型如 （且）的二阶上三角形矩阵的可交换矩阵仍是二阶上三角阵 （且，其中为任意实数）. 性质2.3.8 型如 （且） 的三阶上三角形矩阵的可交换矩阵仍是三阶上三角阵 （且，其中为任意实数）. 性质2.3.9 型如 的三阶方阵的可交换矩阵仍是三阶方阵 （其中为任意实数）.性质2.3.7到2.3.9是关于比较特殊的二阶、三阶上三角矩阵可交换的性质，下边给出的是更一般的关于特殊的阶上三角矩阵可交换的性质.型如的上三角形矩阵.若约定矩阵的对角线从主对角线向右数起，则第一条对角线上的元素皆为，第二条对角线上的元素皆为，.,针对型如的矩阵有如下结论：引理2.2.9 与阶方阵 的可交换矩阵型如性质2.3.10 阶方阵能同一切型如的阶方阵可交换的充要条件是也是型如的阶方阵.证明：必要性：设方阵能同一切型如的阶方阵可交换，则与 也可交换，由引理知为型如的阶方阵. 充分性：设，中是任意数，通过矩阵的乘法比较和，易证得.性质2.3.11 第一行为的型如的矩阵是可逆的，且它的逆矩阵仍为主对角线上的元素皆为的型如的矩阵.证明：易证是可逆的.设，其中当时，因，由引理2.2.9及逆矩阵的唯一性得又因，所以故为主对角线上元素皆为的型如的矩阵.五举例例1 设与所有的阶矩阵均可交换，则一定是数量矩阵. 证明：记，用将第行第列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因与任何矩阵均可交换，所以必与可交换. 由得及，故是数量矩阵. 例2 (1)设矩阵为对角矩阵，其中时，则可交换的充要条件是为对角矩阵.(2)设为准对角矩阵，其中其中时，是阶单位矩阵，则可交换的充要条件是为准对角矩阵. 证明：（1）若均为对角矩阵，则由定理1（4）可知可交换；若与可交换，时，.设，因为为对角矩阵，所以.由,即得，而时，.故，所以为对角矩阵.仿（1）不难证明（2）.结论 本文针对一般的矩阵不可交换这一性质进行了深入研究.对一些特殊的矩阵（如上三角矩阵、数量矩阵等）给出了一些可交换的性质、充分条件和必要条件.本文主要参考一些特殊的公式和通过一些特殊的矩阵如对焦矩阵、数量矩阵、上三角矩阵等的研究来对矩阵可交换性的充分条件、充要条件的探讨和总结以及矩阵可交换性的一些优美性质的探讨. In this thesis,we focus on the most matrices that can not be satisfying the commutativity.We give some quality and sufficiency conditions for some special matrices,scalar matrices and some upper triangle matrices. In this thesis,by the study of some special formula,matrix such as,diagonal matrix upper triangle matrix etc,we get some sufficiency conditions for the commutant of the matrix,and some beautiful quality about commutativity.致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师王宽小老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！参考文献1 倪国熙.常用的矩阵理论和方法.上海：科学技术出版社，19842 王松桂