矩阵相关性质

等价：存在可逆矩阵，使，则与等价；相似：存在可逆矩阵，使，则与相似；合同：存在可逆矩阵，使，则与合同.一、相似矩阵的定义及性质定义1 设都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称是的相似矩阵，或说矩阵与相似，记为.对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.注 矩阵相似是一种等价关系. （1）反身性：. （2）对称性：若，则. （3）传递性：若，则.性质1 若，则（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.推论 若阶矩阵与对角矩阵相似，则是的个特征值.性质2 若，则的多项式.推论 若与对角矩阵相似，则 .注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身； （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似.二、矩阵可对角化的条件对阶方阵，如果可以找到可逆矩阵，使为对角阵，就称为把方阵对角化。定理1 阶矩阵可对角化（与对角阵相似）有个线性无关的特征向量。推论 如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似.（逆命题不成立）注：（1）若，则的主对角元素即为的特征值，如果不计的排列顺序，则唯一，称之为矩阵的相似标准形。（2）可逆矩阵由的个线性无关的向量构成。把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵，使得.更可找到正交可逆矩阵，使和定理2 实对称矩阵的特征值为实数。定理2的意义：因为对称矩阵的特征值为实数，所以齐次线性方程组是实系数方程组。又因为，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。定理3：实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量正交。定理4：为阶实对称矩阵，是的重特征值，则对应于的特征向量中，线性无关的个数为，即的基础解系所含向量个数为。定理5：（实对称矩阵必可对角化）对于任一阶实对称矩阵，一定存在阶正交矩阵，使得。其中是以的个特征值为对角元素的对角阵。定义2 若二次型，则对称矩阵叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵的二次型.对称矩阵的秩就叫做二次型的秩.推理 对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正.定理3 对称矩阵正定的充分必要条件是：的各阶主子式都为正，即 ，；对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正1.设为正定阵，则均为正定矩阵；2.设均为正定矩阵，则也是正定矩阵.四、如果阶矩阵与相似，那么与的特征值相同吗？答 一定相同。因为它们有相同的特征多项式。证明 与相似，即存在可逆矩阵，使，但务必注意：1. 即使与的特征值都相同，与也未必相同。2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。五、判断矩阵是否可对角化的基本方法有哪些？答 常有如下四种方法。（1）判断是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。（2）求的特征值，若个特征值互异，则一定可对角化。（3）求的特征向量，若有个线性无关的特征向量，则可对角化，否则不可对角化。（4）方阵可对角化的充要条件是的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。六、已知阶方阵可对角化，如何求可逆矩阵，使得答 若阶方阵可对角化时，则求可逆矩阵的具体步骤为：（1）求出的全部特征值；（2）对每个，求齐次方程组的基础解系，得个线性无关的特征向量；（3）令，则，其中为对应的特征值。七、对于实对称矩阵，如何求正交矩阵，使为对角阵？答 若为阶实对称矩阵，则一定存在正交阵，使为对角阵。可按以下步骤求出正交矩阵。（1）求出方阵的全部特征值，其中重根数分别为。（2）对每一个求出齐次线性方程组的基础解系。（3）将正交化（若，则只须单位化）得正交单位特征向量组：。令（4），其中是特征向量所对应的特征值。九、如何判断一个二次型是正定的？答 判别二次型正定性的方法通常有（1）用定义，（2）的标准形中的个系数全为正，（3）对称矩阵的特征值全大于0，（4）正惯性指数，（5）计算矩阵的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于0。十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？答 如果存在可逆矩阵，使，则称矩阵与合同。合同关系是一种等价关系，矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，在此给出一个非常有用的结论：如果矩阵与矩阵合同，则为正定矩阵