2015年福建省初中数学竞赛试题 打印版

2015年全国初中数学竞赛试题 班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1已知，则（ ）A B C D2将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）A B C D3已知圆是边长为的正三角形的内切圆，圆圆外切，且与的边、边相切，则圆的面积为（ ）A B C D4如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、的垂线，垂足分别为、。已知，且。则四边形的面积为（ ）A10 B15 C D5记为非负整数的各个数位上的数字之和，如，。则（ ）A B C D二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6已知直线与抛物线交于、两点，则 。7如图，已知正方形的边长为1，点、分别在边、上，且。则的周长为 。（第7题 图）8若时，二次函数的最小值为，则 。9已知正整数，满足，则整数对的个数是 。10表示不超过的最大整数，则满足条件的的取值范围为 。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11如图，二次函数的图像过、三点，其中，点、在轴上（在点左侧，在点右侧），且，。（1）求二次函数的解析式；（2）求外接圆的半径。（第11题 图）12已知关于的方程有有理数根，求正整数的值。13如图，是等腰直角三角形，点在线段上（与、不重合），点在射线上，且。求证：。（第13题）14在0与21之间插入个正整数，使其满足。若1，2，3，21这21个正整数都可以表示为0，21这个数中某两个数的差。求的最小值。2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2015年3月15日 9001100 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1已知，则（ ）A B C D【答案】 A【解答】 由，知，。 。2将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）A B C D【答案】 B【解答】 将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之间不考虑顺序）：，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，。其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。 编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为。3已知圆是边长为的正三角形的内切圆，圆圆外切，且与的边、边相切，则圆的面积为（ ）A B C D【答案】 A【解答】 如图，设圆切边于，圆切边于，且圆的半径为，圆的半径为。由是边长为的正三角形，知， 圆圆外切，且与的边、边相切， 、三点共线，。（第3题答题图） ，。 圆的面积为。4如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、的垂线，垂足分别为、。已知，且。则四边形的面积为（ ）A10 B15 C D【答案】 C （第4题 图）【解答】如图，连结，。易知。又，。（第4题答题图） ，。由，知点在的平分线上，、三点共线。 ，。 。 。5记为非负整数的各个数位上的数字之和，如，。则（ ）A B C D【答案】 B 【解答】设。则，。又， 。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6已知直线与抛物线交于、两点，则 。【答案】 【解答】由，得。 依题意，为方程的两根，。 。7如图，已知正方形的边长为1，点、分别在边、上，且。则的周长为 。【答案】 2【解答】如图，在的延长线上取点，使得，连结。则由为正方形，易得。（第7题 图） ，。 ， 。于是，在与中，。 ，。的周长（第7题答题图）。8若时，二次函数的最小值为，则 。【答案】 5【解答】 ， 若，即时，则当时，取最小值。由知，不符合要求。若，即时，则当时，取最小值。由知，得，均不符合要求。若，即时，则当时，取最小值。由知，符合要求。 。9已知正整数，满足，则整数对的个数是 。【答案】 3【解答】由，知，。由，为正整数知，为整数。 （其中为正整数）。同理，（为正整数）。于是，（，为正整数）。 ，。 满足条件的整数对，或，或。 满足条件的整数对的个数为3。10表示不超过的最大整数，则满足条件的的取值范围为 。【答案】或【解答】（1）当时，。 时，方程无解。（2）当时，等式成立。（3）当时，等式不成立。（4）当时，。，或。等式不成立。（5）当时，。，或。等式不成立。（6）当时，由知，。于是，。综合得，满足条件的的取值范围为或。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11如图，二次函数的图像过、三点，其中，点、在轴上（在点左侧，在点右侧），且，。（1）求二次函数的解析式；（2）求外接圆的半径。（第11题 图）【解答】（1）作轴于，则。由，知，。 ，。点坐标为，点坐标为。 5分（第11题答题图）设所求二次函数的解析式为。将点的坐标代入二次函数解析式，得。 ，二次函数得解析式为，即。 10分（2）由（1）知，。 。 15分 外接圆的半径。 20分12已知关于的方程有有理数根，求正整数的值。【解答】 关于的方程有有理数根，且为正整数， 为完全平方数 5分设（为正整数），则，。 。 10分 为正整数，为整数，且， ，或，或，或。 15分解得，或，或，或。 正整数的值为503或99或35或8。 20分注：时，方程化为，即。时，方程化为，即。时，方程化为，即。时，方程化为，即。13如图，是等腰直角三角形，点在线段上（与、不重合），点在射线上，且。求证：。（第13题）【答案】如图，作点关于直线的对称点，连结、，则。 是等腰直角三角形，且，（第13题答题图） ，。 。 5分又，。 。 10分 ，。又由，知。 。 15分 。 又， 。 20分另解：如图，沿翻折得，则。 ，。 5分 ， 。 10分又，。 。 15分 ，。 。 20分14在0与21之间插入个正整数，使其满足。若1，2，3，21这21个正整数都可以表示为0，21这个数中某两个数的差。求的最小值。【解答】 个数至多可以表示个不同的且为正数的差。 依题意有，即。 。 5分下面证明不符合要求。若符合要求，则由时，知，由0，21这7个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21个数：，21，互不相同。于是它们是1，2，3，21的一个排列。 10分记这21个