2012年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2012年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答2012年5月13日8:3010:30.一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）小题号12345答案1504（37，74）1函数y=的图像与平行于x轴的直线y=c恰有一个交点则c能取到的所有值的乘积等于 答：150解：函数的定义域是x2，x3，将分子因式分解并约分，等价于y=x2+x6，其图像是抛物线y=x2+x6挖去点(2, 4)和(3, 6)，所以直线y=c与挖去两个点的抛物线恰有一个交点，当且仅当c取6.25（抛物线y=x2+x6顶点纵坐标）以及4，6，共三个值，其积为1502如右图，锐角ABC内接于半径为R的O，H是ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OHAO，BC=10，OA=6，则OM = OHMABCFN答：解：添线如图，则AOHONM，且AH=CF=2ON，所以，.3二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C， 如果ACB恰是直角三角形，那么判别式的值是 答：4解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，所以=b24ac0设A(x1, 0)，B(x2, 0)，根据韦达定理x1+x2=，x1x2=，则不妨设a0，则AB=所以 ，得因此，=b24ac=44如右下图，半圆O的半径为1，ACAB于A，BDAB于B，且AC=2，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC的面积的最大值为 CABDPOHE 答：解：如图所示，作CEBD于E，则CEDCAO.所以OCD=90，当五边形ABDPC的面积S取最大值时，要CPD的面积最小，即三角形的高PH最小，由图可知OP+PHOHOC.所以高最小为OCOP=1，又求得CD=，所以SABDPC=SABDCSCPD=.5和为111的两个自然数x和y，使得等式成立，满足这个条件的一组自然数(x, y)是 答：（37，74） 解：要使等式成立，考虑特殊角的三角函数值，观察，当y=2x时，=cos=1，不妨按y=2x进行实验，原式左边=右边恰合于的要求令x+y=111，所以x=37，y=74即，合于题设条件的一组自然数（，）的是（37，74）ACBODEA1C1二、（满分15分）如图，在ABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，以B为中心，将ABC顺时针旋转，使点A落在CB延长线上的点A1处，此时点C落在点C1的位置. 连接AA1，CC1相交于O，CC1交AB于D，AA1交BC1于E，求四边形BDOE的面积解：易知ABA1=CBC1，所以等腰ABA1等腰CBC1.且OAB=OCB，所以B、C、A、O四点共圆，连BO，有AOB=90，O为AB中点，且B、O、C1、A1也共圆 由勾股定理得 ，所以容易发现CDBA1BEADO，设SCDB =x，则，再设SBDOE=y，有又CO平分ACA1的面积，因此，而，因此列得方程组：解之，得：答：四边形BDOE的面积是三、（满分15分）（1）如果整数a、b和c满足关系式a2+b2=2c22，求证144abc（2）试写出不定方程a2+b2=2c22的一组正整数解，并对这组正整数解验证144abc解：（1）证明：因为144=3242，只须证9abc并16abc即可先证9abc由于不被3整除的整数的平方被3除余1，被3整除的整数的平方仍被3整除从而被3除余2的整数一定不是平方数如果a，b都不被3整除，则等式左边的a2+b2被3除余2；等式右边，若c2被3整除，则2c22被3除余1，若c2被3除于1，则2c22被3整除由此可得，等式a2+b2=2c22恒不能成立因此a，b和c要满足关系式a2+b2=2c22，a，b中至少有一个被3整除若a，b都为3的倍数，显然ab为9的倍数，更有9abc若a，b只有一个为3的倍数，则a2+b2被3除余1又a，b和c要满足关系式a2+b2=2c22，就有2c22被3除余1，因此c2被3整除，c被3整除所以9abc再证16abc由a，b和c满足关系式a2+b2=2c22，可知的奇偶性相同。因为若a，b一奇一偶，则a2+b2为奇数，而2c22为偶数，矛盾！所以必需a，b的奇偶性相同若a，b同为奇数，则a2+b22(mod8)，即2c222(mod8)，进而得c22(mod8)，与c2是平方数矛盾！所以只能a，b同为偶数此时a2+b20(mod4)，即2c220(mod4)，进而得c21(mod4)，此时c为奇数，因此c21(mod8)，进而得2c222(c21)0(mod16)由a2+b2=2c220(mod16)，同余式a2+b20(mod16)当且仅当同为4的倍数因此16ab 16abc因为（9，16）=1，所以（2）例子，a=12，b=4，c=9时，122+42=2922而abc=1249=432=1443，即1441249四、（满分15分）在边长都是正整数的三角形中，周长是2009的三角形与周长是2012的三角形哪一种的数量多？说明理由答：两种三角形的数量相等理由：设自然数knm是周长为2009的三角形边长，则自然数k+1，n+1，m+1是周长为2012的三角形的边长，这样的三角形存在，因为由不等式m+nk推出(m+1)+(n+1)(k+1)，即，每个周长为2009的三角形都有周长为2012的三角形与之对应所以，如果再我们证明，每个周长为2012的三角形都有周长为2009的三角形与之对应命题的论断将被证明设KNM是周长为2012的三角形的边长，则，它的所有边长大于1实际上，三角形的每条边大于另两边的差，所以如果某边长为1，那么两条另外的边应当是彼此相等的，并且在这种情况下三角形的周长是奇数，M+NK，由此(M1)+(N1)(K1)等式成立时，我们得到M+N+K=2K+1（奇数），它等于2012，这意味着数M1，N1和K1中两个较小数的和大于第三个，且这些数是某个三角形三边的长所以周长是2009的三角形与周长是2012的三角形的数量一样多五、（满分15分） 在锐角ABC中，O是外心，I是内心，连接AI，BI和CI的直线交ABC的外接圆分别于点A1，B1和C1求证：（其中R是ABC外接圆的半径，r是ABC内切圆的半径.）证明：由于I是内心，易知A1是的中点，B1是的中点，C1是的中点。连接AB1，B1C，CA1，A1B，BC1，C1A，则有A1B=CA1，B1C=AB1，C1A=BC1。设AA1交B1C1于H1，BB1交A1C1于H2，CC1交A1B1于H3，可得AH1B1=90，因此AA1B1C1，同理可得BB1A1C1，CC1A1B1 下面用两种方法计算六边形AB1CA1BC1的面积S 注意到AB1C1IB1C1(AB1C1=IB1C1，B1C1=B1C