《推荐》方法3.9构造函数法(讲)-2017年高考数学(文)二轮复习讲练测Word版含解析

【方法阐述】函数思想，是指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。构造函数方法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是数学方法的有机组成部分。是历年高考的重点和热点,主要依据题意,构造恰当的函数解决问题。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。一构造函数比较大小例1.【广东省惠州市2017届第二次调研】已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数), 若，, 则的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A， ，故选A.例2.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（ ）A B C D 【答案】B二构造函数证明不等式例3.【2016高考四川文科】设函数，其中，e=2.718为自然对数的底数.（）讨论f(x)的单调性；（）证明：当x1时，g(x)0；（）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立.【答案】（1）当时，0，单调递增；（2）证明详见解析；（3）.【解析】（I） 0，在内单调递减.由=0，有.当时，0，单调递增.（II）令=，则=.三，构造函数解决数列中的有关问题例4.【2015高考广东，理21】数列满足， (1) 求的值； (2) 求数列前项和； (3) 令，证明：数列的前项和满足【答案】（1）；（2）；（3）见解析（3）依题由知， ，记，则， 在上是增函数，又即， 又且时， 即， ，即有， ，即四、构造函数求参数的范围例5.【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C. D【答案】C【解析】由题意，得，则若存在，使得，则，所以设，则，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当，函数取最大值，最大值为，所以，故选C例6【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围【答案】()详见解析；（）（）由()知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是：即，设函数，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增又，故当时，当时，即式成立当时，由的单调性，即；当时，即综上，的取值范围是五、 构造函数研究方程的根或函数的零点例7【2015高考北京，理14】设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是【答案】(1)1，(2)或.若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.例8. 【2016高考上海文数】已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）（3）当时，所以在上单调递减函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得故的取值范围为六构造函数在解析几何中的应用例9.【河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试（二）】等腰直角内接于抛物线，为抛物线的顶点，的面积是16，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）A B C D【答案】C七、构造函数在解三角形中的应用例10. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】如图，已知平面上直线，分别是，上的动点，是，之间的一定点，到的距离，到的距离，三内角、所对边分别为，且.（）判断的形状；（）记，求的最大值.【答案】（）是直角三角形；（）的最大值为.【反思提升】构造函数思想是数学中的一种重要的思想方法,它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳法等思想,在数学教学工作中有意识地培养学生掌握这一方法, 可以开阔学生思路,培养学生分析问题、解决问题和创新的能力. 构造函数法解题有时虽然经历了一条曲