解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型类型一 判断三角形形状类型二 求范围与最值类型三 求值专题类型一 判断三角形形状例1：已知ABC中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状解：bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC， sinB=sinC B=C由 得 三角形为等腰直角三角形例：在ABC中，若=，b=a+c,试判断ABC的形状.解:b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=得sinA+sinC=由三角形内角和定理知sinA+sin()=,整理得 sin(A+)=1A+,所以三角形为等边三角形.例3：在ABC中，已知，试判断ABC的形状解：法1：由题意得 ，化简整理得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B2A=2B或2A+2B= A=B或，三角形的形状为等腰三角形或直角三角形法2：由已知得结合正、余弦定理得，整理得 即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在ABC中，（1）已知sinA=2cosBsinC，试判断三角形的形状；（2）已知sinA=，试判断三角形的形状解：(1)由三角形内角和定理得sin(B+C)=2cosBsinC整理得sinBcosCcosBsinC=0即sin(BC)=0 B=C 即三角形为等腰三角形.(2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，结合正、余弦定理得，化简整理得 即三角形为直角三角形例5：在ABC中，（1）已知ab=ccosBccosA，判断ABC的形状（2）若b=asinC,c=acosB,判断ABC的形状解：（1）由已知结合余弦定理可得，整理得 ，三角形为等腰三角形或直角三角形（2）由b=asinC可知 ，由c=acosB可知整理得，即三角形一定是直角三角形，A=，sinC=sinBB=C，ABC为等腰直角三角形例6：已知ABC中，且，判断三角形的形状解：由题意令，则,由余弦定理得 即ABC为直角三角形7. 在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，则ABC的形状为_8. 在ABC中，若，则A= 类型二 求范围与最值1、在中，角所对的边分别为满足，,则的取值范围是 2、在ABC中，AD为BC边上的高线，ADBC，角A，B，C的对边为a，b，c，则的最大值是_解析因为ADBCa，由a2bcsin A，解得sin A，再由余弦定理得cos A，得2cos Asin A，又A(0，)，最大值为 解析几何或者几何法1解析几何法：2几何法：方程有解，利用判别式求范围。附例：4、已知中，B=，且有两解，则边a的取值范围是 5、借力打力型求取值范围附例：钝角三角形中，若最大边和最小边长的比为m，则m的取值范围是 ？ 6、 已知ABC中，AB1，BC2，则角C的取值范围是 BACacb7、在ABC中若,则的取值范围 8、已知中，B=，且有一解，则边a的取值范围是 9、已知中,若该三角形有两解,则的取值范围是 10、钝角三角形ABC的三边长为a,a+1,a+2()，则a= 11、在锐角中，则的取值范围为 .12、设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为 14、 在锐角三角形中，则的取值范围是 15、 在锐角三角形中，C既不是最大角，也不是最小角，求k值取值范围_. ， 16. 在钝角三角形中，已知则的取值范围为 类型三 求值专题1、在ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则ABC的最大角与最小角之和是 .2、在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，则sinAsinBsinC_.3、在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135，若ACAB，则BD_.解析：(bc)(ca)(ab)456，设bc4k，ca5k，ab6k(k0)，解得ak，bk，ck，sinAsinBsinCabc753.答案：7534、钝角三角形边长为a，a1，a2，其最大角不超过120，则a的取值范围是_5、在ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大内角为120，则a= .6、如果满足ABC60，AC12，BCk的三角形恰有一个，那么k的取值范围是_7、在ABC中，若C30，AC3，AB3，则ABC的面积为_解析：由正弦定理得：，sinBsinC，所以B60或120.当B60时，SABAC33；当B120时，SABACsin30.答案：或8、 仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入附例：在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，则的值是_4_9 海上有A、B两个小岛，相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角；则B、C间的距离是海里.10 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测得该渔轮在方位角45、距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角105的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即