谈解析几何解题中的设而不求技术

谈谈解析几何解题中的“设而不求”技术（一） 什么是“设而不求” ?我们先看下面的例子: 过圆外一点P(a,b)引圆x2+y2=R2的两条切线，求经过两切点的直线方程.按常规,应当先求切点的坐标,再求切线方程.可是求切点避免不了解方程组,而在通常情况下,解方程组牵涉到繁杂的计算,可不可以避免这一繁杂的程序呢?请看:【解析】设两切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则两切线方程分别为：x1x+y1y=R2,x2x+y2y=R2.切线经过点P(a,b),ax1+by1=R2,ax2+by2=R2.点(x1,y1),(x2,y2)适合方程ax+by=R2,所求直线方程为ax+by=R2.在这里,我们用四个参变量x1, y1,x2 ,y2分别表示两切点A、B的坐标,以此为基础进行推理,同样达到解题的目的.这种在一定条件下,通过合理的设参、消参以避免某些中间过程的计算,最终达到解题目的的手段,就是“设而不求”.（二） 哪些问题可以实施“设而不求”?【题1】椭圆 的弦被点（4，2）平分，那么此弦所在直线的方程是 【解析】设弦两端分别无A（x1，y1），B（x2，y2），则有 （1）-（2）： （3）由条件：AB中点为（4，2），故所求直线方程为：.【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的中点而求弦所在直线方程,可以对其交点实施“设而不求”. 【题2】已知直线（0ba且bZ）交于M、N两点，B是椭圆的上顶点，BMN的重心恰为椭圆的右焦点，求椭圆C的方程.【解析】设直线 且但点M、N在直线椭圆上顶点为B（0，b），且椭圆右焦点F（c，0）为BMN的重心，【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知直线方程（或其斜率）,而求曲线方程,可以对其交点 实施“设而不求”.【题3】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线y=x2上两点，那么： 设AB中点为M(x,y),那么：|AB|2=(x1x2)2+(y1y2)2=(1+4x2)(x1x2)2=(1+4x2)(x1+x2)24x1x2=(1+4x2)4x24(2x2y)=4（1+4x2）（yx2）已知|AB|=2.(1+4x2)(yx2)=1,所求点M的轨迹方程为：y=x2+.【评述】本解说明: 当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.【小结】按理说,解数学题避免不了求,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要求出最后的结果的.这里说的不求,专指可以简化的解题中间过程,用设去代替求.以上各例说明:在解析几何解题中,凡是与弦的中点或弦所在直线的斜率有关的问题,都可以实施“设而不求”.但是, “设而不求”的范围并不仅限于此,它还大量应用于求弦的长度等中间过程之中.因而,它在解高考解析几何大题中大有用武之地,请看：考场精彩【题4】（高考题）P.Q.M.N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知且求四边形PMQN的面积的最大值与最小值. 【分析】（1）PQMN，S四边形PMQN=，故应先求椭圆的弦PQ与MN之长；但是,求弦长不必先求交点,可以对交点实施“设而不求”.（2）“设而不求”必须先设参数,而参数的个数应越少越好.选用直线的参数方程可以使参数的个数减半.又由于PQMN，弦PQ与MN之长的计算过程类似,又可以用“同理”的技术处之.【解析】椭圆的上交点为F（1，0）.设直线PQ的参数方程为： ，t为参数.代入椭圆方程：设此方程之二根为t1，t2,则|PQ|=|t1-t2|=|MN|= 于是当=0时，Smax=2；当=时，Smin=.【评析】由于实施了“分析”中的两点措施,解这道解析几何大题所用的工夫仅相当于解一道小题.这说明:只要方法对路,“大题”也是可以“小做”的.【题5】（高考题） 设A、B是椭圆上两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程;（2）试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一圆上？并说明理由.【分析】（1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”； （2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.【解析】（1）点在椭圆内，312+3212，（12，+）.设AB两端为A（x1，y1），B（x2，y2），则有： （1）-（2）： 3（x1-x2）（x1+x2）+（y1-y2）（y1+y2）=0 （3）是线段AB的中点，x1+x2=2，y1+y2=6. 代入（3）：6（x1-x2）+6（y1-y2）=0， 于是kAB=-1，故直线AB的方程为：y-3=-（x-1），即x+y-4=0.（2）解法1：CD为AB的垂直平分线，且kAB=-1，kCD=1，直线CD：y-3=1（x-1），即x-y+2=0. 直线AB的参数方程是：代入椭圆方程得：，即.，（由（1）知12），设此方程之二根为tA，tB，则 （4）直线CD的参数方程方程是：代入椭圆方程得： ，即.设此方程之二根为tC，tD，则tctd=（5） 由（4），（5）知| tAtB | = |tctd|，也就是ANBN=CNDN，这就是说，存在12，使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.【题6】（2016年第一次全国联考浙江卷题19.解法为湖南曾维勇老师提供）如图所示，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点，求证：的周长是定值【分析】本题的解法要点是借助椭圆的关系式去分别表示和.【解析】(1) 由已知得，椭圆的左、右焦点分别为，则 点在椭圆上，则，故椭圆的方程是（2）如解图,连OP,OM.则OMPQ.设，则有, 又故.同理.故所求的周长为定值6评注：本题在计算中，充分利用椭圆方程，其核心思想，还是“设而不求”。【题7】已知椭圆G：过点（m,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.【分析】求与圆锥曲线有关的最值,常用办法是向三角函数寻根.【解析】（I）椭圆G中，故其焦点为：，离心率.（II）根据圆与椭圆的对称性，不妨设m0.有两种情况如解图1,m=-1,即直线AB切圆于M（-1，0）.在椭圆方程中，令x=-1,有，此时。如解图2,m-1,再根据对称性不妨设直线的倾斜角为锐角。设直线切圆于N，连ON,则直角三角形MON中，.过点M（m,0）的直线参数方程为：，代入椭圆方程：化简得：。设此方程之2根为，有：故.已求，代入化简得：故，综上，当且仅当时，之最大值为2，此时点M正是椭圆焦点。评注：由于是求最大值，故本题在实施“设而不求”的基础上，还运用了平均值不等式。 【题8】（李景冉灿老师提供）如图,已知椭圆C：的左右焦点分别为为椭圆上异于的点,若椭圆C的焦距为,且椭圆过点.（1） 求椭圆C的方程;（2）若OPQD 面积为,A1ROP,求证OQA2R.【解析】（1）椭圆半焦距,设椭圆方程为: 点代入:所求椭圆方程为：（2）由（1）知有设有: 已经有A1ROP,为证明OQA2R.,只需证明.这有两种情况.（1）如PQ与x轴垂直,如解图1设.已知代入（1）即得.（2）如PQ与x轴不垂直,如解图2不妨设P在一象限,Q在二象限.作PP1x轴于P1,QQ1x轴于Q1.设化简得:。不妨设.于是.所以在题设条件下,由A1ROP,必能推出OQA2R.评注:解本题使用的是命题转换思想.【小结】从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段. “设而不求”的灵