第十一章 扭转

第十一章扭转,3、轴上作用有均布力偶，轴长为L1.2米请画扭矩图,rm：薄壁圆筒横截面的平均半径;,4、薄壁圆筒的扭转切应力,二、单位长度扭转角：,或,三、刚度条件,或,GIp:,称为许用单位扭转角。,截面的抗扭刚度;,反映了截面抵抗扭转变形的能力。,111圆轴扭转的概念112扭矩和扭矩图113纯剪切114圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件115圆轴扭转时的变形与刚度条件116非圆截面杆扭转时的切应力,本章主要内容,11-1圆轴扭转的概念,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,对称扳手拧紧镙帽,扭转变形的受力特点,在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反且作用面垂直于杆件轴线的力偶；,变形特点：,杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。,轴：,工程中以扭转为主要变形的构件。,齿轮轴,直接计算,一.外力偶矩的计算,11-2扭矩和扭矩图,M=Fd,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功：,已知轴转速n转/分钟输出功率P千瓦计算：力偶矩M,二、扭转变形横截面的内力,扭转,扭矩：,求扭矩的方法,构件扭转变形时，横截面上的内力偶矩；,截面法,记作T。,“T”矢量离开截面为正，反之为负。,扭矩的符号规定：,右手螺旋法则,扭转,扭矩图：,目的,x,T,扭矩沿杆件轴线各横截面上变化规律的图线。,扭矩变化规律；,|T|max值及其截面位置（危险截面）。,危险面,处处是危险面,例1:图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？,1传递的外力偶矩,A、B、C、D:10、2、3、5KW,n=300r/min,2、求内力,在CA段和AD段,3、绘出扭矩图：,在CA段和AD段,4、直接绘出扭矩图：,5、将A、D轮的位置更换,AD段,因此将A、D轮的位置更换不合理。,1、直接画作扭矩图,练习：,2、直接画扭矩图,练习：,3、轴上作用有均布力偶，轴长为L1.2米请画扭矩图,113纯剪切,薄壁圆筒：,rm：为平均半径,壁厚,一、薄壁圆筒的扭转切应力,1、圆筒变形,纵向线发生了倾斜；,各圆周线的形状、大小、间距均未改变；,扭转,圆筒表面的各圆周线的形状、大小、间距均未改变；,各纵向线均倾斜了同一微小角度。,所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形;,2、观察现象,只是绕轴线作了相对转动；,表明：,当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力；,横截面上面只有切于截面的切应力；,可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；,3、切应力分布规律假设,因为筒壁的厚度很小，,rm：薄壁圆筒横截面的平均半径;,4、薄壁圆筒的扭转切应力,二、切应力互等定理,在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现；,切应力互等定理,且数值相等；,两者都垂直于两平面的交线；,方向：,共同指向或共同背离该交线；,三、切应变,纯剪切单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，,圆筒两端的相对扭转角为，圆筒的长度为L，则,使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量；,四、剪切虎克定律：,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，,切应力与切应变成线形关系；,对各向同性材料有,材料剪切弹性模量，单位：GPa。,114圆轴扭转横截面上的应力和强度条件,一、等直圆杆扭转实验,观察现象,横截面在变形前后都,3.纵向线变形后,通过变形观察现象,1、各圆周线的大小、形状、间距,半径仍保持,2.轴向,保持不变；,为直线；,保持为平面；,无伸缩；,仍近似为直线，,只是倾斜了一个角度；,观察小方格的变化,小方格,平行四边形,二、提出假设,横截面在变形后,大小、,半径,平面假设,仍然保持为平面；,形状、,间距不变；,仍保持为直线；,结论,横截面：,像刚性平面一样，,只是绕轴线旋转了一个角度。,在此假设的基础上，推导出的应力与变形计算公式，符合试验结果，且与弹性力学一致,三、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,扭转,1.变形几何关系：,距圆心为的任一点处的；,扭转角沿长度方向变化率。,与点到圆心的距离成正比。,切应力也与半径垂直；,扭转变形的切应力的分布规律,1、任意一点处的切应力与该点到圆心的距离成正比；,2、切应力的方向形成与扭矩同向的顺流；,扭转,2.物理关系：,胡克定律：,3、纵向面内切应力,扭转,3.静力学关系：,而,极惯性矩,GIP：抗扭刚度,扭转,横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式,t,max,（实心截面）,危险点的位置,圆截面边缘处；,令,抗扭截面系数,讨论,仅适用于各向同性、,线弹性材料，,在小变形条件下的,等圆截面杆；,截面的极惯性矩和抗扭截面系数计算,公式的适用范围,mm4，m4。,mm3，m3。,实心轴与空心轴Ip与Wt对比,扭转,空心圆截面的扭转切应力分布,t,max,t,max,t,max,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,(称为许用切应力。),强度计算三方面：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,对于阶梯圆轴：,1.等截面圆轴：,2.阶梯形圆轴：,扭转,例1功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子，许用切应力=30MPa,试校核其强度。,M,M,：扭矩图,计算并校核切应力强度,此轴满足强度要求。,计算外力偶矩,T=m,例2：已知：P7.5kW,n=100r/min，=40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。,求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,计算外力偶矩,实心轴,P7.5kW,n=100r/min，=40MPa,=0.5。二轴长度相同。,空心轴,d20.5D2=23mm,确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D246mm,d223mm,实心轴,d1=45mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。,采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。,从截面的几何性质分析:,采用空心轴的优势,轴心附近处的应力很小，,根据应力分布规律:,实心轴的轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,其极惯性矩Ip必大于实心轴，,扭转截面系数Wt也比较大，,强度和刚度均有提高；,横截面面积相同的条件下，,空心轴材料分布远离轴心，,对于轴的强度或刚度，,采用空心轴比实心轴都较为合理。,115圆轴扭转时的变形与刚度条件,一、扭转时的变形,扭转角：,任意两截面绕轴线转动而发生的相对角位移。,由静力关系：,二、单位长度扭转角：,或,三、刚度条件,或,GIp:,称为许用单位扭转角。,截面的抗扭刚度;,反映了截面抵抗扭转变形的能力。,的数值按照对机器的要求决定：,精密机器的轴：,一般传动轴：,精度要求不高的轴：,刚度计算的三方面：,校核刚度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,例1图示等截面圆轴，已知d=90mm,L=50cm,轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大切应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若在BC段钻孔且要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则BC段钻孔的孔径d应为多大？,(2)轴的最大切应力,d=90mm,L=50cm,，G=80GPa,(1)轴的扭矩图,（3）扭转角,截面B：,d=90mm,L=50cm,，G=80GPa,（4）BC段孔径d,例2长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,1：作内力图,40Nm,2：设计杆的外径,D0.0226m。,扭转,3校核刚度,4、右端面转角为：,扭转,例3某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=500马力，输出功率分别P2=200马力及P3=300马力，已知：G=80GPa，=70MPa，=1/m，试确定：AB段直径d1和BC段直径d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排,轴的受力合理？,7.024,4.21,1、外力偶及内力图,2、按强度设计直径,n=500r/min，P1=500马力，P2=200马力，P3=300马力,扭转,按刚度条件设计直径,T,x,7.024,4.21,(kNm),全轴选同一直径时,扭转,4.21,2.814,A轮和B轮应该换位。,轴的合理受力,扭矩的绝对值的最大值越小者越合理；,换位后,轴的扭矩如下；,轴的最大直径为75mm。,作业：外径100毫米，内径80毫米的空心圆轴，与一直径为80毫米的实心圆轴用平键连接。传递的力偶矩如图。已知轴的许用剪应力为45MPa，平键的尺寸为101030。键的许用剪应力为100MPa，许用的挤压应力为bs=280MPa。（1）校核轴的强度（不考虑键槽的影响）（2）确定平键的个数（3）如何安排圆轮比较合理,材料扭转破坏的力学性质,低碳钢的扭转破坏,观察破坏方位；,分析破坏原因；,铸铁的扭转破坏,观察破坏方位；,分析破坏原因；,扭转,解决扭转超静定问题的方法,静力学关系；,物理关系；,补充方程；,变形协调关系；,联立求解；,圆轴扭转超静定问题,三关系法,步骤,扭转,例1长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固定端反力偶。,这是一次超静定问题。,1、静力学关系,2、物理关系,扭转,4、补充方程：,3、变形协调关系,例2、一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管内的最大剪应力;,补充方程,（4）补充方程与静力平衡方程联立,（3）变形协调关系,（1）静力学关系,（2）物理关系：,（5）最大切应力,杆1：,管2：,练习一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。要求：1）作扭矩图；2）若M=10KN.m,材料的=60MPa，试选择此等直圆截面杆直径。,116非圆截面杆扭转时的切应力,非圆截面杆,一、非圆截面杆的自由扭转,非圆截面杆扭转时，,自由扭转,任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。,翘曲不受限制，,横截面不再保持为平面，而发生翘曲。,工字钢截面杆的自由扭转,横截面上只有切应力，没有正应力；,平面假设不成立；,须由弹性力学方法求解。,各截面发生翘曲不保持平面；,由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用；,对比圆截面杆与非圆截面杆的自由扭转,二、非圆截面杆扭转时切应力分布规律,1、非圆截面杆扭转时，横截面边缘上各点的剪应力形成与边界相切的顺流。,2、证明：,必定等于零；,由于纵向面为自由表面；,故边缘上