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矩阵的特征值与特征向量,第1节矩阵的特征值与特征向量第2节相似矩阵第3节实对称矩阵的对角化,第3节实对称矩阵的对角化,一复数及复数矩阵的运算性质若x,y是两个复数，则,证明：,二实对称矩阵的特征性质定理：实对称矩阵的特征值全为实数。证明：设A为实对称矩阵，由于方阵在复数下一定有特征值与特征向量，不妨设为A的任一个特征值，且x0为对应于的特征向量，即有Ax=x.,定理说明对称矩阵的特征根全是实根。由于当特征值为实数时，齐次线性方程(A-E)x=0是实系数方程组，由|A-E|=0知必有实的基础解系，所以对应的特征向量为实特征向量。,定理：属于对称矩阵A的不同特征值的特征向量必正交。证明：,得,定理：设是实对称矩阵A的任一特征值，则它的几何重数等于它的代数重数。证明：略。定理表明，若是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则对应于特征值，A有r个线性无关的特征向量，从而A有n个线性无关的特征向量，故A可对称化。进一步，若对A的属于同一特征值的特征向量进行施密特正交单位化过程，则还可得到A的n个正交的单位特征向量，将这n个正交的单位特征向量作成矩阵U,则有定理：设A为n阶对称阵，则必有正交阵U，使U-1AU=UTAU=，其中是以A的n个特征值为对角元的对角阵。,三实对称矩阵的对角化依据上述定理及推论，对称阵A对角化的步骤为：,例：,令,例：已知A如下，求正交矩阵T
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