层次分析步骤汇总

第一节 层次分析的基本原理为了说明AHP的基本原理，首先分析下面这个简单的事实。 假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只西瓜的重量分别为W1，W2，Wn。把这些西瓜两两比较（相除），很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的比较矩阵（以后称之为判断矩阵）： = （aij）nn （7.1.1） 显然aii= 1，aij =1/aij，aij =aik/ajk，i，j ，k = 1，2，n 且 AW = = = nW （7.1.2） 即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量A对应于特征根n的特征向量的各个分量。 很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题 AW = max W 求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的相对重量。同样，对于复杂的社会公共管理问题，通过建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方法即可确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供决策者参考。 事业AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系： aij = ，i，j ，k = 1，2，n （7.1.4） 上式完全成立是，称判断矩阵具有完全一致性。此时矩阵的最大特征根 max =n ，其余特征根均为零。在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征根为单根，且 max =n。当判断矩阵具有满意的一致性时， 稍大于矩阵阶数n，其余特征根接近于0，这时，基于AHP得出的结论才基本合理。但由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，要求所以判断都有完全的一致性是不可能的，但我们要求一定程度上的判断一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。 第二节 层次分析法的步骤 用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造判断矩阵；（3）层次单排序；（4）层次总排序；（5）一致性检验。其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。 一、 建立层次结构模型 运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，按照最高层、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来。例如，对于决策问题，通常可以将其划分为如图71所示的层次结构模型。 图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。 然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。层次之间可以建立子层次。子层次从属于主层次的某个因素。它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。 二、构造判断矩阵 任何系统分析都以一定的信息为基础。AHP的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断，这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式就是判断矩阵。判断矩阵是AHP工作的出发点，构造判断矩阵是AHP的关键一步。 判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相当重要性。假定A层中因素Ak与下一层次中因素B1，B2，Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如表7-1所示。 表71 判断距阵 Ak B1 B2 Bn B1 B2 Bn b11 b21 bn1 b12 b22 bn2 b1n b2n bnn 表 71中，bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示，通常bij取1，2，3，9及它们的倒数，其含义为： bij=1,表示Bi与Bj一样重要； bij=3,表示Bi比Bj重要一点（稍微重要）； bij=5,表示Bi比Bj重要一点（明显重要）； bij=7,表示Bi比Bj重要得多（强烈重要）； bij=9,表示Bi比Bj极端重要（绝对重要）； 它们之间的数2，4，6，8及各数的倒数具有相应的类似意义。 采用19的比例标度的依据是：（1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在59级之间，采用19的标度反映了大多数人的判断能力；（2）大量的社会调查表明，19的比例标度早已为人们所熟悉和采用；（3）科学考察和实践表明，19的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。 显然，任何判断矩阵都应满足： bij = 1，bij = ， i，j = 1，2，n 三、层次单排序 所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。它是本层次所有因素相对上一层而言的重要性进行排序的基础。 层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B，计算满足 BW =max W （式 7.2.2） 的特征根与特征向量。式中，max 为B的最大特征根；W为对应于max 的正规化特征向量；W的分量Wi即是相应因素单排序的权值。 为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI，定义 CI = （7.2.3） 显然，当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0。 max -n越大，CI越大，宇宙的一致性越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要见CI与平均随机一致性指标RI进行比较。对于19阶矩阵，RI分别如表72所示。 表72 19距阵的平均随机一致性指标 阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 对于1阶、2阶判断矩阵，RI只是形式上的，按照我们对判断矩阵所下的定义，1阶、2阶判断矩阵总是完全一致的。当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI，与同阶平均随机一致性的指标RI之比称为判断矩阵的随机一致性比例，记为CR。当CR=CI/RI0.01时，判断矩阵具有满意的一致性，否则就需对判断矩阵进行调整。 四、层次总排序 利用同一层次中所以层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素重要性的权值，这就是层次总排序。层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。假定上一层次所以因素A1，A2，Am的总排序已完成，得到的权值分别为a1,a2,am,与ai对应的本层次因素B1，B2，Bn单排序的结果为： ， ， 这里，若Bj与Ai无关，则 =0。层次总排序如表73所示。 显然， = 1 （7.2.4） 即层次总排序依然是归一化正规向量。 表73 层次总排序 层次 A1 A2 Am B层次的总排序 a1 a2 am B1 B2 Bn 五、一致性检验 为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需要计算与单排序类似的检验量。CI为层次总排序一致性指标；RI为层次总排序平均随机一直性指标；CR为层次总排序随机一致性比例。它们的表达式分别为： CI = （7.2.5） 式中，CIi为与ai对应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 RI = 式中，Rii为与ai对应的B层次中判断矩阵的平均随机一致性指标。 CR = 同样当 CR 0.10 时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。 第三节 层次分析法的计算方法 计算特征根的根本问题是如何计算判断矩阵的最大特征根max 及其对应的特征向量W。下面简要介绍常用的三种计算方法。 一、幂法 计算 特征根的幂法使我们有可能利用计算机得到任意精确度的最大特征 （插入）及其对应的特征向量W。这一方法的计算步骤为： （1） 任取与判断距阵B同阶的正规的初值向量W ； （2） 计算 k+1 = BWk，k = 0，1，2，； （3） 令 = ，计算W K+1 = ， k = 0，1，2，； （4） 对于预先给定的精确度，当 对所有i=1,2,，n成立时，则 W = Wk+1 为所求特征向量。 可由下式求得： = （7.3.1） 式中，n为矩阵阶数； 为向量Wk的第i个分量。 二、和积法 为简化计算，可采用近似方法和积法计算，它使得我们可以使用小型计算器在保证足够精确度的条件下运用AHP。其具体计算步骤如下： （1）将判断矩阵每一列正规化。 ij = ， i，j =1，2，n （7.3.2） （2）每一列经规划后的判断矩阵按行相加。 I = ， j = 1，2，n （7.3.3） （3）对向量 = T（1）正规化。 W = ， i =1，2，n （7.3.4） 所得到的 W = T 即为所求特征向量。（4）计算判断距阵最大特征根 。 = （7.3.5） 式中，（AW）i为向量AW的第i 个分量。 三、方根法 为简化计算，AHP也采用另一种近似方法方根法计算，其步骤为： （1）B的元素按行相乘。 uij = （2）所得的乘积分别开n次方。 ui = (3)将方根向量正规化，即得特征向量W的第i个分量。 Wi = （4）计算判断矩阵最大特征根 。 = 式中，（AW）i为向量AW的第i 个分量。 例7.1 用和积计算下述判断矩阵的最大特征根及对应的特征向量。判断矩阵列于表7-4。 表74 B C1 C2 C3 C1 C2 C3 1 5 3 1 3 1 解 （1）按上述和积的计算步骤，得到按正规化后的判断矩阵为 （2）按上述步骤，按行相加，得1 = = 0.111+0.130+0.077 = 0.318 2 =0.556+0.652+0.692=1.900 3 =0.333+0.217+0.231=0.781 （3）将向量W=0.318，1.900，0.781T正规化，得 = 0.318+1.900+0.781=2.999 W1 = = = 0.106 W2 = = 0.634 W3 = =0.260 则所求特征向量W=0.106，0.634，0.260T （4）计算判断矩阵的最大特征根 AW = (AW)1 = 10.106+ 0.634+ 0.260=0.319 (AW)2= 50.106+10.634+30.260=1.944 (AW)3= 30.106+ 10.634+10.260=0.789 = = + + = + + =3.040 第四节 层次分析法的计算方法 AHP法在公共管理中有多种用途，这里我们介绍AHP法用于方案的选择。 背景：某企业有一笔留成利润要由领导决定其用途，总目标是希望能促进工厂更进一步发展。可供选择的方案有：作为奖金发给职工；扩建食堂、托儿所等福利设施；开办职工业余学校进行职工培训；建设图书馆或俱乐部等娱乐设施；引进新设备进行技术改造。衡量这些方案（措施）可从以下三方面着眼：是否调动了职工的生产积极性；是否提高了企业的技术水平；是否改善了职工的物质文化生活状况。现在要对上述五种方案进行优劣性评价，或者说是按优劣顺序把这五种方案排列起来，以便领导从中选择一种方案付诸实施。 建立层次结构模型：我们应用AHP对此问题进行分析后，可建立如图72所示的层次模型。 根据各因素的重要性比较矩阵并进行计算，所得判断矩阵相应计算结果用表列出。(1) 判断距阵AC（相对于总目标而言，各着眼准则之间的相对重要性比较）。见表75。 表75 AC1 C2 C3 W C1 C2 C3 0. 1042 0. 6372 0.2583 = 3.0385 CI =0.0193 RI =0.58 CR =0.03320.10 可见判断距阵具有满意的一致性。 （2） 判断距阵C1P （相对于调动生产积极性准则而言，各方案之间的相对重要性比较）。见表76。 表76 C1 P1 P2 P3 P4 P5 W P1 P2 P3 P4 P5 1 3 1 5 3 1 2 4 2 7 5 3 3 1 0.491 0.232 0.092 0.138 0.046 = 5.126 CI=0.032 RI=1.12 CR=0.0280.10（3）判断距阵C2 P （相对于提高技术水平准则而言，各方案之间的相对重要性比较）。见表77。 表77 C2 P2 P3 P4 P5 W P2 P3 P4 P5 0. 055 0. 564 0. 118 0.263 = 4.117 CI =0.039 RI =0.90 CR =0.0430.10 （4）判断距阵C3P （相对于改善职工生活状况准则而言，各方案之间的相对重要性比较）。见表78。 表78 C3 P1 P2 P3 P4 W P1 P2 P3 P4 0. 406 0. 406 0. 094 0. 094 =4 CI = 0 RI = 0 （5）次总排序。计算结果见表79。 表7-9 层次总排序计算结果 层次 C 层次 P C1 C2 C3 层次P总排序权值 方案排序 0.104 0.637 0.285 P1 P2 P3 P4 P5 0.491 0.232 0.092 0.138 0.046 0 0.055 0.564 0.118 0.263 0.406 0.406 0.094 0.094 0 0.157 0.164 0.393 0.113 0.172 4 3 1 5 2 CI = 0.028 RI = 0.9231 CR = 0.03050.10 计算结果表明，为合